Последовательные процедуры различения сложных гипотез с использованием комбинированной решающей (стр. 1 из 2)

8. Последовательные процедуры различения сложных гипотез с использованием комбинированной решающей статистики.

8.1. Общие положения.

Рассмотренные в предыдущем разделе процедуры с отбором максимума и одновременным решением представляют основной интерес с точки зрения относительной простоты необходимых для их реализации математических операций. Наряду с ними в литературе исследовались и процедуры, использующие решапющую статистику безусловного отношения правдоподобия, хотя их реализация до недавнего времени представляла значительные вычислительные сложности. Примером может служить процедура Маркуса-Сверлинга (по именам американских учёных, впервые её исследовавших применительно к задачам радиолокационного обнаружения). Эта процедура базируется на схеме обнаружения – оценивания изображённой на рис.4.1, т.е. использует для обнаружения единственного сигнала (цели), появление которого в любом канале равновероятно, обобщённое отношение правдоподобия

. При выходе статистики за верхний порог в качестве оценки положения обнаруженной цели принимается индекс канала , в котором накоплено максимальное значение отношения правдоподобия , выявляемое путём ранжировки значений (см. раздел 4).

Приведённые на рис.8.1 зависимости средней длительности процедуры Маркуса-Сверлинга от числа каналов подтверждают, что абсолютная величина выигрыша, достигаемого относительно процедуры Неймана – Пирсона, практически не зависит от числа каналов (зависимости для обеих процедур идут параллельно), относительная величина выигрыша при составляет 2-3 раза. (Можно показать, что при оптимальном выборе порогов процедуры с отбором максимума и с одновременным решением по эффективности близки к процедуре Маркуса – Сверлинга).

Основной недостаток процедур, полностью базирующихся на статистике безусловного отношения правдоподобия, состоит в том, что в них отсутствует механизм разрешения и оценки параметров сигналов, число которых априори известно.

Указанный недостаток преодолевается при переходе к последовательным решающим правилам, построенным по принципу комбинированной решающей статистики. Основная идея этого принципа, впервые предложенного в МВТУ им. Н.Э.Баумана, состоит в том, что при последовательном анализе, благодаря наличию двух независимых решающих порогов, имеется возможность использовать для вынесения решений в пользу

и две различных статистики выборочных значений. Структура каждой из этих статистик, именуемых в дальнейшем соответственно “статистикой обнаружения” и “статистикой необнаружения”, выбирается исходя из конкретных условий решаемой задачи. Например, эти статистики могут представлять собой приближения к безусловному отношению правдоподобия соответственно в области и в области . В некоторых случаях может оказаться целесообразным использовать “статистику необнаружения”, рассчитанную при некотором фиксированном значении неизвестного параметра, т.е. не зависящую от его оценки и т.п. Ниже приводятсяпримеры последовательных процедур, построенных по принципу комбинированной решающей статистики.

8.2 Обнаружение априори неизвестного числа сигналов.

Будем, как и в предыдущем разделе рассматривать задачу проверки простой гипотезы

об отсутствии сигналов в исследуемой области пространства параметров против сложной альтернативы о наличии сигналов, при этом решение в пользу должно сопровождаться оценкой числа сигналов и неизвестного параметра каждого из них.

Предположим вначале, что максимально возможное число сигналов существенно меньше общего числа элементов разрешения

. Тогда для решения поставленной задачи может применяться процедура с комбинированной статистикой, предусматривающая, что проверка гипотезы в каждом канале производится путем сравнения его парциальной статистики с решающим порогом . При пересечении порога гипотеза в данном канале считается принятой независимо от состояния других каналов, т.е. для проверки используется последовательное правило с независимыми решениями. Гипотеза об отсутствии сигналов (хотя бы одного) проверяется на основании сравнения с вальдовским нижним порогом статистики безусловного отношения правдоподобия, вычисленнойдлятехканалов, гденебылпревышенверхнийпорог: . Здесь множество индексов каналов, в которых на м шаге число таких каналов, символ непринадлежности индекса к множеству .

Рассмотренное правило может быть записано в виде

(8.1)

Укрупненная структурная схема устройства, реализующего процедуру (8.1) представлена на рис.8.2.

Очевидно, что при отсутствии сигналов во всех каналах процедура с комбинированной статистикой (8.1) с вероятностью совпадает с процедурой Маркуса-Сверлинга, соответственно, совпадают и их средние длительности. Средняя длительность принятия решения в пользу гипотезы при малом числе сигналов также близка к соответствующей длительности процедуры Маркуса-Сверлинга. При большом числе сигналов начинает сказываться эффект затяжки процедуры, присущий правилу с независимыми решениями (см. раздел).

Для того, чтобы исключить указанный эффект, необходимо оценивать неизвестное число целей

впроцессепринятиярешения, а не после его вынесения. Оптимальная процедура такого рода должна предусматривать расчет отношений правдоподобия, соответствующих всем возможным расположениям целей в каналах. Число возможных размещений примерно пропорционально , поэтому реализовать такую процедуру при сложно. В качестве приближения к оптимальной может рассматриваться следующая процедура с комбинированной статистикой.

Примем за оценку числа и положения сигналов соответственно количество и номера индексов тех каналов, где парциальная статистика

превысила некоторый промежуточныйпорог (можно показать, что оптимальная величина ). Значения используются для формирования “статистики обнаружения”, имеющей в данном случае вид: