Розробка пасивного термодатчика (стр. 8 из 11)

де r — щільність середовища. Для коефіцієнтів жорсткості с11 і с11(р) можна записати співвідношення

де k1-коефіцієнт електромеханічного зв'язку для поздовжньої хвилі. Із цих рівностей можна одержати:

Таким чином, відносна зміна фазової швидкості ідеальної об'ємної поздовжньої хвилі, викликана п'єзоелектричним ефектом, пропорційна квадрату коефіцієнта електромеханічного зв'язку для цієї хвилі.

У випадку ПАХ її швидкість зміниться, якщо вільну поверхню пье-зоелектрика покрити ідеально провідним шаром, товщиною якого можна зневажити. Змінe швидкості ПАХ викликано тією обставиною, що провідний шар закорочує складову електричного поля, що паралельна поверхні. Це явище має велике значення для практичних застосувань, особливо при збуренні ПАХ за допомогою перетворювача. У зв'язку із цим теоретично й експериментально були визначені швидкості ПАХ на вільній і металізованій поверхнях для різних напрямків поширення хвиль і різної орієнтації поверхні. Якщо позначити через Dv різницю між швидкістю на вільній поверхні v й і швидкістю на металізованій поверхні v о, то величину Dv / v о можна вважати мірою зв'язку.

Коефіцієнт електромеханічного зв'язку k для ПАВ, як і для поздовжньої хвилі, визначається співвідношенням

Це співвідношення підтверджене експериментально. Також в інший спосіб визначено коефіцієнт електромеханічного зв'язку:

Тут ΔVµ = Vµ — Vo, при цьому Vµ — фазова швидкість ПАХ у випадку «вільних» граничних умов [тобто поверхневий імпеданс Zp прилягаючого середовища нескінченний і діелектрична проникність для даного середовища дорівнює нулю, що практично важко здійсненно] й Vo — фазову швидкість при «закороченных» граничних умовах (Zp = 0, що прилягає середовище провідна). Зв'язок з визначенням задається співвідношенням

де

Для рішення завдання про поширення ПАХ необхідно знати інтенсивність і напрямок потоку енергії. Перенос енергії у випадку гармонійної зміни в часі всіх величин при квазистатическом наближенні електричного поля можна характеризувати в будь-якій крапці середовища (використовуючи електроакустичну аналогію) за допомогою комплексного вектора Пойнтинга р — поняття, широко використовуваного в теорії електромагнітного поля. Інтенсивність ПАХ в напрямку осі Х обумовлена як середнє значення потужності, що пройшла через одиницю поверхні перпендикулярно осі, є дійсною складовою i-ої компоненти комплексного вектора Пойнтинга:

де символ Re позначає дійсну складову, а зірочкою відзначені комплексно-сполучені величини. Наведені величини дані в масштабі амплітуд. У випадку непьезоелектрического середовища відсутній член ip* у виразі для р і п'єзоелектричний внесок ek,jEk у виразі для T,j.

Інтенсивність ПАХ в обраному напрямку, обумовлений формулою для р, зменшується в напрямку вглиб середовища. В елементах електроніки на ПАХ нас, як правило, цікавить інтегральна величина -загальний потік енергії ПАХ в даному напрямку, що лежить у площині границі двох середовищ. При цьому маємо на увазі середню енергію, що ПАХ переносить на поверхні в смузі шириною 1 м: де символ Re позначає дійсну складову, а зірочкою відзначено комплексно-сполучені величини. Наведені величини дані масштабі амплітуд. У випадку непьезоелектричного середовища відсутні член ip* у виразі для і п'єзоелектричний внесок ek,jEk у виразі для T,j .

Інтенсивність ПАХ в обраному напрямку зменшується в напрямку в глиб середовища. В елементах електроніки на ПАХ нас, як правило, цікавить інтегральна величина -загальний потік енергії ПАХ в даному напрямку, що лежить у площині границі двох середовищ. При цьому маємо на увазі середню енергію, що ПАХ переносить на поверхні в смузі шириною 1 м:

За винятком випадків псевдоповерхневих хвиль, які будуть описані нижче, величина Pi = 0, і потік енергії ПАХ паралельний поверхні.

В анізотропному середовищі в загальному випадку напрямок потоку енергії ПАХ не паралельний напрямку її поширення. Відхилення потоку енергії від напрямку поширення можна характеризувати відношенням величин Р\/Рг, заданих останнім виразом. Випадок коли напрямок, поширення ПАХ, обумовлений хвильовим вектором, збігається з напрямком потоку енергії ПАХ, називається чистою модою ПАХ

Рис. 21. Криві повільності для ПАХ, що поширюються в площині (110) у нікелі

Оскільки нас цікавить напрямок потоку енергії, можна також використати таке поняття, як крива повільності (рис. 21). Цю криву одержимо, відкладаючи в напрямку поширення ПАХ значення, обратно пропорційні її швидкості.

Напрямок групової швидкості, тобто напрямок потоку енергії {вектора Р), для даного напрямку поширення ПАХ, певного хвильовим вектором, задано напрямком нормалі до кривої повільності. На рис. 21 кут t визначає напрямок поширення й Ф — кут між векторами Р и к, тобто кут відхилення потоку енергії від напрямку поширення. Із кривої на рис. 21 можна визначити напрямку, уздовж яких поширюються чисті моди ПАХ (вони позначені кружечками), що характеризуються тим, що вектори Р и к колінеарні. Наприклад, для напрямків, близьких до кута й = 90° (рис. 21), потік енергії ПАХ відхиляється в напрямку д = 90°, отже, пучок ПАХ фокусується.

Для ПАХ в ізотропному середовищі Використаємо загальне рішення, наведене в попередніх розділах, для випадку поширення ПАХ в ізотропному неп'єзоелектричному напівпросторі. Із властивостей вектора поляризації треба, щоб механічні змішання в цьому випадку мають місце лише в сагиттальній площині. Пружні коливання назвемо поверхневою хвилею Релея. Запишемо рівняння для розрахунку фазової швидкості vr, які виходять з вікового рівняння системи:

де vt й vi являють собою відповідно швидкість поперечних й повздовжніх об'ємних хвиль, що завжди більше швидкості ПАХ Релея vj . Для складових змішань при поширенні уздовж осі Xi дійсні співвідношення мають позитивні дійсні значення, з -пр вільная константа, що залежить від інтенсивності ПАХ. З формули слідує, що поздовжня (U) і поперечна (V) складові змішання зсунуто по фазі на 90°, що є причиною еліптичного руху часток. На рис. 22 показана залежність амплітуд коливань хвиль Релея від відстані до поверхні. З малюнка видно, що хвиля торкає шар під поверхнею товщиною лише кілька довжин хвиль.

Рис. 22. Залежність складових ПАХ Релея від глибини, вираженої в одиницях довжин хвиль

Крива 1 — поздовжня складова з негативним знаком, крива 2 — поперечна складова; криві нормовані відносно амплітуди поперечної складової на поверхні ізотропного твердого тіла.

Вектор Пойнтинга паралельний напрямку поширення хвилі й швидко зменшується із глибиною (-х3). З рис. 23 виходить, що енергія хвилі зосереджена поблизу поверхні. Рух середовища, викликане ПАХ Релея, наочно зображено на рис. 24, де показана деформація прямокутної сітки в сагиттальній площини. Дійсні зсуви становлять величини порядку 10-5 довжини хвилі ПАХ.

Рис. 24. Залежність інтенсивності хвиль Релея, нормованої по одиничній амплітуді на поверхні ізотропного твердого тіла, від глибини, вираженої в одиницях довжин хвиль

Рис. 25. Деформація прямокутної сітки в сагиттальной площини, викликана ПАХ Релея в ізотропному середовищі [ 170]

А — незбурена поверхня, В — рух поверхні, викликаний ПАХ. Інтервали позначають зсув у різних крапках твердого тіла.

Деякі основні властивості ПАХ в анізотропному середовищі аналогічні властивостям ПАХ Релея. Вони мають еліптичну поляризацію, перенос хвильової енергії відбувається в приповерхньому шарі й фазовій швидкості не залежить від частоти. Однак анізотропія може вносити рял відмінностей. Наприклад, фазова швидкість залежить від напрямку поширення, і потік енергії не обов'язково паралельний хвильовому вектору. Площина еліптичної поляризації хвилі може не збігатися із сагиттальною площиною, і в тих випадках, коли вона збігається з нею, головні осі еліпса (рис. 24) не обов'язково паралельні осям Х\ н Хц. Загасання амплітуди хвилі в загальному випадку відбувається не за експонентним законом, а по синусоїді з експоненциально загасаючою амплітудою. Якщо анізотропне середовище має п'єзоелектричні властивості, то крім трьох складових механічних змішань існує й електричний потенціал, завдяки чому швидкість поширення ПАХ стає залежної від електричних умов на поверхні або поблизу її. У цьому випадку ПАХ супроводжується електричним полем з еліптичною поляризацією в сагитальної площини.

Підкладки для ПАВ можна вибирати із цілого ряду комбінацій орієнтації поверхні, напрямку поширення хвилі й кристалографічної симетрії середовищ. Найбільш широке поширення одержали матеріали з відносно високою кристалографічною симетрією. Це пов'язане з тим, що напрямок потоку енергії в них паралельно хвильовому вектору. Ці напрямки відповідають екстремумам криво повільності (рис. 21). Деякі екстремуми визначаються значенням пружних і п'єзоелектричних констант, інші тільки кристаллографічною симетрією середовища. Необхідною й достатньою умовою для існування чистої моди є задоволення однієї з наступних умов: