Дальнейшее развитие этого направления связано с работами Бернайса[63] (См. примечание 5) и ГЁделя [69] и [70]. Исследования ГЁделя интересны в частности тем, что развивают своего рода реалистическую гносеологию. В них делается попытка объяснения, каким образом независимые от человека сущности математического мира становятся доступными познанию. ГЁдель основывает математическое знание на особой интуиции, способности непосредственно обнаруживать свойства математических сущностей и формулировать их в виде аксиом. Такое непосредственное обнаружение ГЁдель уподобляет чувственному восприятию в естествознании. Числа, геометрические фигуры или множества, воспринимаемые интуицией, он полагает столь же реальными как физические тела, воспринимаемые чувствами. Интуиция при этом не только позволяет непосредственно видеть определенные факты, но также выступает как критерий истинности математических утверждений более общего характера, которые не являются интуитивно ясными, но оказываются плодотворными при выводе теорем. "Могут существовать аксиомы столь богатые поддающимися проверке следствиями, проливающие столь много света на всю область и приносящие столь мощные методы решения проблем, что не имеет значения являются ли они интуитивно ясными или нет, их следует принять, по крайней мере так же, как и всякую хорошо обоснованную физическую теорию" ([70], c. 477). Следовательно, факты, принимаемые несмотря на их недоступность интуиции подобны постулатам физических теорий, связывающим в единое целое совокупность чувственно воспринимаемых явлений.
На параллелизм математического и естественнонаучного знания указывает современная американская исследовательница П.Мэдди. В своей монографии, посвященной реализму в математике [77], она делает довольно полный обзор существующих ныне реалистических концепций и, разбирая их проблемы, дает собственную версию математического "платонизма". Приводимое ей общее "кредо" всего исследуемого направления выглядит так: "математика есть научное рассмотрение объективно существующих предметов (entities), точно так же, как физика есть изучение физических сущностей" (с. 21). Мэдди указывает на слабую сторону представленного взгляда - она состоит в том, что такие математические сущности, если они совершенно независимы от нашей мысли, должны быть полностью ей трансцендентны и совершенно неясно как они могут стать достоянием научного знания. (Мы видели, что эту проблему пытался решать и ГЁдель). Сильной стороной реализма она считает тот факт, что с его позиций можно объяснить необычайную эффективность математики в исследовании физического мира. Если реальность математических предметов такова, как реальность физических тел, то мы можем мыслить некий единый мир, состоящий из физических и математических сущностей, находящихся в стройном взаимодействии. Свои усилия Мэдди направляет в значительной мере на преодоление указанной ей трудности, уделяя, вслед за ГЁделем, большое внимание проблеме интуиции.
Мэдди считает реализм не только философским течением, но и наиболее распространенным типом воззрений, почти стихийно установившимся среди математиков. Она пишет, что математики видят себя и своих коллег исследователями, открывающими свойства разнообразных увлекающих их областей математической реальности" ([77], c. 1). Но как бы ни был распространен этот взгляд, он отнюдь не является единственным. Нам представляется интересной характеристика, которую дает Ван-дер-Варден стилю математического мышления Эмми НЁттер: "Максима, которой постоянно руководствовалась Эмми НЁттер, могла бы быть сформулирована следующим образом: все отношения между числами, функциями и операциями становятся абсолютно ясными, способными к обобщению и истинно плодотворными лишь тогда, когда они освобождены от их конкретных объектов и сведены к общим отношениям понятий" (Цит. по [59], c. 299). Именно такой стиль мышления стал основной темой для философско-математического направления, известного как структурализм. Впрочем, центральной фигурой для мыслителей, причисляющих себя к этому течению, является не НЁттер, а Гильберт. Его аксиоматические построения очевидно имеют дело не с сущностями, а с отношениями элементов, собственные свойства которых не играют никакой роли для развития теории. Именно к аксиоматическим системам гильбертовского типа апеллирует работа Н. Бурбаки "Архитектура математики"([10]), в которой подробно рассматривается категория структуры. Под структурой понимается множество элементов, природа которых не определена, но для которых задана некоторая совокупность отношений. Эта совокупность отношений содержится в аксиомах, которые собственно и определяют структуру математической теории. Последняя получается в виде логических следствий из аксиом, сделанных при полном игнорировании от всяких, не содержащихся в этих аксиомах гипотез относительно свойств элементов (с. 251). Математика, следовательно, понимается как работа со структурами, а не как исследование сущностей. "В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм" (с. 258-259). Замечание, взятое в скобки, можно, вообще говоря, истолковать как признание некоторой слабости структурализма в сравнении с реализмом. Как мы видели последний претендует на способность объяснить связь математической и "экспериментальной" действительности.
Структурное направление в рассмотрении природы математических объектов получило в дальнейшем значительное развитие, преимущественно усилиями французских исследователей. Обзор их работ приводится, например, в [59]. Здесь же указывается на взаимосвязь математического структурализма со структурализмом в языкознании. Серьезное исследование понятия структуры в математике и естествознании предпринято в монографии Н. Мулуда [37]. Этот ученый указывает на два нетождественных представления о структуре, используемых в науке. Согласно первому, структура есть комплекс взаимодействующих элементов, каждый из которых не может быть рассмотрен изолированно от остальных. Второе представление рисует структуру как "множество элементов, определяемых некоторыми отношениями такого рода, что становится возможным вывести все реляционные свойства элементов в случае, если даны операциональные правила, позволяющие преобразовывать доминирующие отношения". Первое из названных представлений характерно для описания природных и общественных феноменов (например ансамбля частиц в физике или общественных групп в социологии). Второе прежде всего относится к аксиоматическим построениям в математике. Мулуд, впрочем, замечает, что при развитии теоретического знания представление о структуре как о комплексе неизменно превращается в описание "операционального" (или "аксиоматического") типа ([37], c. 30-32).
Математический структурализм получил также существенное развитие в работах группы английских и американских авторов. Их исследования также касаются главным образом аксиоматических систем и потому центральным персонажем их работ неизменно оказывается Гильберт (см. [81] и [82]). Приведем весьма емкую характеристику структурализма, которую дает один из ведущих философов этого направления М. Резник: "Под структурализмом я понимаю общий философский подход к математике, основное кредо которого состоит в том, что математика изучает структуры и что математические объекты суть ничто иное как места в этих структурах" ([81], c. 83). Важной особенностью исследований англоязычных авторов является, на наш взгляд, попытка выяснить отношения с реализмом (или платонизмом), который некоторые из них рассматривают как главную альтернативу структурному подходу. Так Б. Хейл, выделяя ряд течений в рамках структурализма, отмечает, что все они "противостоят платонистскому взгляду на математику". Характеризуя последний, Хейл цитирует С. Шапиро: "Традиционный платонизм полагает, что предметом исследований той или иной математической дисциплины является совокупность абстрактных объектов, таких как натуральные числа, каждый из которых в определенном смысле онтологически независим от любого другого" ([73], c. 126).
Существует одна, на наш взгляд странная, особенность, присущая практически всем исследователям, придерживающимся структуралистского подхода. Мы уже отмечали, что идея структуры разрабатывалась - задолго до возникновения структурализма - в творчестве Кассирера (равно как и других философов Марбургской школы). Однако никто из структуралистов (насколько, по крайней мере, нам известно) не указывает на какую-либо связь с кантианской или нео-кантианской традицией. Более того, в ряде работ встречается известное отторжение этой традиции. В частности Мулуд указывает на несовместимость кантовской системы с аксиоматическим подходом ([37], c. 36). (См. примечание 6) Шапиро ([82], c.149) рассматривает появление аксиоматических методов и связанного с ними структурного подхода как попытку освободить математику от априорных форм созерцания (т.е. от интуиции пространства и времени). Гильбертовскую программу он считает поэтому "глубоко анти-кантовской", несмотря на то, что сам Гильберт неоднократно заявлял о своих кантианских пристрастиях (с. 156).