Теория чисел Фибоначчи (стр. 13 из 14)
Рассмотрим, как решаются такие соотношения при k=2, то есть изучим соотношения вида:
f(n+2) = a1 f(n+1) – a2 f(n). (44)
Решение этих соотношений основано на следующих двух утверждениях:
1) Если f1(n) и f2(n) являются решениями рекуррентного соотношения (44), то при любых числах А и В последовательность f(n) = A f1(n) + B f2(n) также является решением этого соотношения.
В самом деле, по условию, имеем:
f1(n+2) = a1 f1(n+1) + a2 f1(n) и
f2(n+2) = a1 f2(n+1) + a2 f2(n).
Умножим эти равенства на A и В соответственно и сложим полученные тождества. Мы получим, что
A f1(n+2) + B f2(n+2) = a1 [A f1(n+1) + B f2(n+1)] + a2 [A f1(n) + B f2(n)]).
А это и означает, что A f1(n) + B f2(n) является решением соотношения (44).
2) Если число r1 является корнем квадратного уравнения
r2 = a1 r + a2,
то последовательность:
1, r1, r12, …, r1n-1, …
является решением рекуррентного соотношения:
f(n+2) = a1 f(n+1) + a2 f(n).
В самом деле, если f(n) = r1n-1, то f(n+1) = r1n и f(n+2) = r1n+1.Подставляя эти значения в соотношение (44), получаем равенство:
r1n+1 = a1 r1n + a2 r1n-1.
Оно справедливо, так как по условию имеем r12 = a1 r + a2.
Заметим, что наряду с последовательностью {r1n-1} любая последовательность вида f(n) = r1n+m., n=1,2,… также является решением соотношения (44). Для доказательства достаточно использовать утверждение (44), положив в нем A = r1m+1, B = 0.
Из утверждений 1) и 2) вытекает следующее правило решения линейных рекуррентных соотношений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Пусть дано рекуррентное соотношение:
f(n+2) = a1 f(n+1) + a2 f(n). (44)
Составим квадратное уравнение:
r2 = a1 r + a2, (45)
которое называется характеристическим для данного соотношения. Если это уравнение имеет два различных корня r1 и r2, то общее решение соотношения (44) имеет вид:
f(n) = C1 r1n-1 + C2 r1n-1
Чтобы доказать это правило, заметим сначала, что по утверждению 2) f1(n) = r1n-1 и f2(n) = r2n-1 являются решениями нашего соотношения А тогда по утверждению 1) и C1 r1n + С2 r2n г" является его решением Надо только показать, что любое решение соотношения (44) можно записать в этом виде Но любое решение соотношения второго порядка определяется значениями f(1) и f(2). Поэтому достаточно показать, что система уравнений:
имеет решение при любых а и b. Непосредственно проверяется, что этими решениями являются: C1 =
, C2 = Случай, когда оба корня уравнения совпадают друг с другом, мы здесь не рассматриваем. А сейчас приведем пример на доказанное правило.
При изучении чисел Фибоначчи мы пришли к рекуррентному соотношению:
F(n) = f(n – 1) + f(n – 2). (46)
Для него характеристическое уравнение имеет вид: r2 = r + 1.
Корнями этого квадратного уравнения являются числа:
, .Поэтому общее решение соотношения Фибоначчи имеет вид:
f(n) = C1 (
)n + C2( )n (47)(мы воспользовались сделанным выше замечанием и взяли показатели № вместо № – 1).
Мы называли числами Фибоначчи решение соотношения (46), удовлетворяющее начальным условиям f(0) = l и f(1)=2, то есть последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13,... Часто бывает более удобно добавить к этой последовательности вначале числа 0 и 1, то есть рассматривать последовательность 0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,... Ясно, что эта последовательность удовлетворяет тому же самому рекуррентному соотношению (46) и начальным условиям f(0)=0, f(1) = 1.Полагая в формуле (47) № = 0 и n=1, получаем для C1 и C2 систему уравнений:
.Отсюда находим, что C1 = – C2 =
и потому:F(n) =
[( )n + C2( )n]. (48)На первый взгляд кажется удивительным, что это выражение при всех натуральных значениях № принимает целые значения.
Заключение
Итак, числа Фибоначчи и проблема золотого сечения волнуют умы многих поколений ученых, философов, математиков, архитекторов. История золотого сечения уходит в пласты тысячелетий. В наше время трудно назвать сферу человеческой деятельности, где бы золотое сечение не находило практического использования. Оно, золотое сечение, вездесуще. Об этом убедительно говорят публикации, посвященные исследованию золотого сечения, число которых растет год от года. Сегодня уже нет надобности собирать отдельные факты в той или иной сфере научного поиска – накопленный эмпирический материал очень велик. Сегодня палитра самых разных проявлений золотого сечения обязывает выдвинуть тезис о том, что золотое сечение вовсе не частный случай пропорциональной зависимости, уникальной своими закономерностями, среди прочих пропорциональных соотношений, а что оно – золотое сечение – есть феномен [18, с. 124-128], пронизывающий собой все уровни организации материальных объектов, обладающих динамическими качествами, т. е. общесистемное явление.
В связи с этим в заключение в качестве итога приведем выборку из шкалы названий целых отраслей знания, где в том или ином виде золотое сечение обнаруживает и проявляет себя.
1) Растительные и животные организмы.
2) Пропорции тела и органов человека. Отметим, что закономерность золотого сечения в организации нейрофизиологической структуры человека прослеживается наиболее многопланово: помимо указанных факторов это и строение слуховой улитки, и взаиморасположение палочек и колбочек глазного яблока, и характер пульсации сердечной мышцы, – вся конституция человеческого тела пронизана единой ритмической зависимостью. И если в природе доминирует правило золотого сечения как основной организационный коррелят, то человеческий организм есть зеркало природы, которое настроено в резонанс с прочими объектами, дискретный характер организации которых инвариантен биоритмике человека. По этой причине "зеркало", подобно радару, способно активно и с наименьшими усилиями реагировать на сигналы, исходящие от этих объектов, и наиболее ёмко воспринимать их посредством органов чувств, транспортируя по нервным каналам для "прочтения" на уровень сознания.
3) Биоритмы головного мозга.
4) Компоненты генного аппарата человека и животных.
5) Строение почвенного плодородного слоя.
6) Планетарные системы.
7) Энергетические взаимодействия на уровне элементарных частиц.
8) Аналоговые ЭВМ.
9) Теория кодирования, обработка и защита информации
10) Темперированный звукоряд.
11) Произведения всех видов искусства, включая архитектуру. Певучесть скрипки, красота ее голоса находится в прямой зависимости от того, в какой мере форма инструмента согласована с пропорцией золотого сечения.
Утверждаемая закономерность гармония – есть общая закономерность в смысле качественного обобщения. Поэтому законы гармонии есть числовые законы. Они не противоречат уже открытым законам природы.
При сравнении законов гармонии с экспериментом числа должны состоять, как минимум, из трех значащих цифр. Точность – фундаментальная черта гармонии. Принцип неопределенности здесь не действует, так как при построении теории числовой гармонии не вводятся пространственно-временные координаты. Поэтому связь с экспериментом принципиально не содержится в математической форме закона (как в законах физики, химии и т. д.) Тем не менее, законы гармонии приложи мы к любым объектам, так как любые объекты системны, т. е. обладают структурой и, следовательно, могут быть переведены на числовые параметры.
Многие исследователи гармонии связывают ее с золотым сечением и пытаются объяснить известными законами. Одни ищут физический смысл гармонии, другие – биологический, психологический и т. д. Дело же состоит в расширении точки зрения на познание и формулировке законов гармонии, при которой золотое сечение оказывается в ряду этих законов.
Методологически (в элементарном смысле) можно представить себе две точки зрения на изучение множества объектов: 1) положение каждого объекта в пространстве и изменение этого положения со временем; 2) отношение объектов (по тем или иным параметрам) и их расположение в целостной системе. Первый метод общеизвестен, он относится к познанию законов движения, второй – к познанию гармонии. Факты показывают, что второй метод принципиально возможен и необходим.
Наконец, один из главных итогов данной работы заключается в том, что проблематика, связанная с гармонией и золотым сечением, не стоящая в центре внимания современного естествознания, а скорее представляющая как бы ее "задворки", возникает вдруг как следствие ОТО и постоянной Планка.
Тем самым поставлена проблема гармонии как проблема большой науки.