Стекло и изделия из него (стр. 4 из 6)

В результате графического построения получается ступенчатая фигура в виде сдвинутых друг к другу столбиков (рисунок. 4.5).

Сделаем предположение, что закон распределения случайной величины -нормальный. Для подтверждения данного предположения рассчитаем числовые характеристики (точечные оценки) случайной величины:

1) математическое ожидание

(4.1)

Xi-середины интервалов времени;

Ni-количество отказов в соответствующих интервалах времени;

n-общее количество отказов;

Рисунок. 4.5-Гистограмма распределения отказов изделия во времени

=

=533.6 ≈ 534 дня.

дисперсия

(4.2)

.

3)среднее квадратическое отклонение

(4.3)

4)коэффициент вариации

*100 (4.4)

*100

%

5) для кривой нормального распределения характерно симметричное распределение результатов измерений случайной величины относительно математического ожидания. Проверка наличия этой особенности при распределении случайной величины осуществляется путем расчета асимметрии

(4.5)

A=0.121

6)судить о характере сплюснутости кривой распределения, по сравнению с кривой нормального распределения, позволяет эксцесс

-3 (4.6)

E=0.058. Полученное значение Е>0, следовательно, кривая исследуемого распределения более вытянута, по сравнению с формой кривой нормального распределения.

Функция распределения F_н(х) случайной величины, распределенной по нормальному закону, выглядит следующим образом:

(4.7)

Использование на практике выражения вызывает затруднения, поэтому преобразуем его – введем новую переменную

, откуда , а . Изменяя соответствующим образом пределы интегрирования, получим:

(4.8)

Применяя свойство определенных интегралов о разбиении отрезка интегрирования, полученный интеграл преобразуем:

(4.9)

В выражении первое слагаемое

; второе слагаемое равно половине значения функции , когда аргумент равен . Следовательно, .

Производная функции распределения случайной величины является плотностью вероятности j(х) непрерывной случайной величины, т.е.

.

Плотность вероятности случайной величины определяется равенством

, (4.10)

где

.

, тогда .

Так как исследуемое распределение является распределением с равными интервалами (значение (β_i – α_i) одинаково для всех интервалов и по условиям задания равно 5), то вероятность наступления отказа в интервале (α_i; β_i) можно вычислить по формуле

, (4.11)

откуда

.

Определим теоретические частоты. Результаты промежуточных расчетов представим в таблице 4.3.

Для определения значения функции f(t) при значении аргументов, приведенных в столбце 3 таблицы 4.3.

Теоретические численности Ni (столбец 8) получим умножением соответствующих вероятностей Р. (столбец 6) на объем совокупности и (общее количество отказов, в рассматриваемом примере равное 70).

Для того чтобы не было малочисленных групп, две последние группы теоретических частот объединим в самостоятельную группу.

Определим характер отклонения теоретических и фактических значений распределения случайной величины (отказа).

Для суждения о совпадении исследуемого распределения случайной величины с нормальным или с каким-либо другим распределением используются

различные критерии согласия. Опираясь на установленный вид распределения случайной величины или на функцию отклонений теоретических и фактических значений случайной величины, путем расчета критерия согласия можно установить, когда полученное в действительности указанное отклонение следует признать не существенным, случайным, а когда существенным. Для этой цели широко используется критерий согласия Пирсона х² .

Расчетный критерий Пирсона Хо для рассматриваемого примера равен 5,652 (столбец 11).

Определим число степеней свободы K=m-S, где т - число групп эмпирического распределения (в примере равное 8), S - число параметров теоретического закона распределения, найденных с помощью эмпирического распределения, равное 3 (математическое ожидание, дисперсия, теоретическая численность отказов). Следовательно, К=4.

Таблица 4.3-Результаты промежуточных расчетов надежности изделия

Интервалы времени	Середины интервалов, Xi					ni0	ni	ni-niо	(ni-ni0)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
300-350	325	-208.57	-2.47	0.0189	0.011	1	1	0.2	0.047	0.060
350-400	375	-158.57	-1.88	0.0681	0.040	3	3	0.2	0.032	0.011
400-450	425	-108.57	-1.28	0.1758	0.104	7	7	-0.3	0.079	0.11
450-500	475	-58.571	-0.69	0.3144	0.186	13	11	-2	4.088	0.314
500-550	525	-8.5714	0.10	0.3970	0.235	16	20	3.6	12.651	0.769
550-600	575	41.4286	0.49	0.3538	0.209	15	16	1.3	1.812	0.124
600-650	625	91.4286	1.08	0.2227	0.132	9	5	-4.2	17.841	1.934
650-700	675	141.429	1.67	0.0989	0.059	4	4	-0.1	0.009	0.002
700-750	725	191.429	2.27	0.0303	0.018	1	3	1.7	3.045	2.426
Итого					1	70	70			5.652

По полученным значениям

и К найдем вероятность того, что случайная величина, имеющая -распределение, примет какое-нибудь значение. Для рассматриваемого случая P( )=1.