Логика предикатов с одним переменным (стр. 4 из 4)

П Р И М Е Р 2: Доказать, что формула U, отнесённая к некоторому полю L, представленная как

[("х)(

Q(x)) P(x)],

является тождественно истинной.

Для этого она должна быть тождественно истинной на поле, содержащем ровно элементов. В данном случае n = 2, т.е. L можно опять определить как { a₁, a₂, a₃, a₄ }.

Применяя равносильные преобразования над U, можем заключить её равносильность формуле: ($х)[(

Q(x)) P(x)], которая, отнесённая к полю L, равносильна : [( Q( )) P( )] [( Q( )) P( )] [( Q( )) P( )] [( Q( )) P( )].

Легко видеть, что

, как и в предыдущем примере, представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями P( ) и Q( ), где i= , а поэтому её можно отнести к формулам алгебры высказываний, у которой P( ) и Q( ) являются элементарными переменными высказываниями. Является ли формула тождественно истинной?

Формула

представляет собой дизъюнкции некоторых формул. Поэтому всякий раз, когда одна из них истинна, сама (по определению дизъюнкции) будет тождественно истинной. Составим таблицу истинности:

P Q Q ( Q) P

0 0 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 1 1

1 1 0 1 1

Таким образом, формула (

Q) P является выполнимой, следовательно, является тождественно истинной формулой в алгебре высказываний U также тождественно истинная формула на поле, содержащем элементов. Это оэначает, что U тождественно истинна.

ЛИТЕРАТУРА

П. С. Новиков, “Элементы математической логики”, государственное издательство физико-математической литературы, М., 1959