Нечеткие множества в системах управления (стр. 7 из 11)

= (0,1L0,9)V(0,7L0,3)V(0,4L0,1) = 0,1V0,3V0,1 = 0,3

m_R1·R2(x₁,z₂) = (0,1L0)V(0,7L0,6)V(0,4L 1) = 0V0,6V0,4 = 0,6

m_R1·R2(x₁,z₃) = 0,1

...................

...................

m_R1·R2(x₂,z₅) = 0,5

Замечание. В данном примере вначале использован "аналитический" способ композиции отношений R₁ и R₂ , т.е. i-я строка R₁ "умножается" на j-й столбец R₂ с использованием операции L, полученный результат "свертывается" с использованием операции V в m (x_i,z_j).

Ниже приведены графы, соответствующие R₁ и R₂, "склеенные" по Y. В полученном графе рассматриваем пути от x_i к z_j и каждому ставим в соответствие минимальный из "весов" его составляющих. Затем определяем максимум по всем путям из x_i в z_j, который и дает искомое m(x_i,z_j).

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R₃·(R₂·R₁) = (R₃·R₂ )·R₁,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

R₃·(R₂È R₁) = (R₃·R₂)È (R₃·R₁),

R₃·(R₂Ç R₁)¹(R₃· R₂)Ç(R₃· R₁).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если R₁ÌR₂ то, R·R₁ÌR·R₂.

(max-*) - композиция

В выражении m_R1·R2(x, z) =

[m_R1(x, y)Lm_R2(y, z)] для (max-min)-композиции отношений R₁ и R₂ операцию L можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для L: ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

m_R1·R2(x, z) =

[m_R1(x, y)*m_R1(y, z)]

В частности, операция L может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество a - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством a - уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение Ra такое, что

m_R1(x,y) =

Очевидно, что из a₁£a₂ следует R_a1³ R_a2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

R =

a×Ra, 0<a£1,

где a×R_a означает, что все элементы R_a умножаются на a.

Условные нечеткие подмножества.

Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением R: (X´Y)®[0,1], т.е. для каждой пары (x,y)ÎX´Y задано значение функции принадлежности m_R(x,y)Î[0,1].

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е. определена функция принадлежности m_A(x) для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

m_B(y) =

min[m_A(x), m_R(x,y)] = [m_A(x)Lm_R(x,y)].

Обозначение: B = A·R.

Пример:

Пусть X = {x₁, x₂, x₃}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄} и заданы нечеткое отношение

XRY =	y1	y2	y3	y4
	x1	0,8	1	0	0,3
	x2	0,8	0,3	0,8	0,2
	x3	0,2	0,3	0	0,4

и нечеткое множество A = {0,3/x₁,0,7/x₂,1/x₃}.

Проведем операцию L для А и столбца y₁ :

L

y₁

0,8

0,8

0,2

=

y₁

0,3L0,8

0,7L0,8

1L0,2

=

y₁

0,3

0,7

0,2

После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

m_B(y₁) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

Проделав аналогичные вычисления для y₂, y₃, y₄ имеем:

m_B(y₂) = 0,3

m_B(y₃) = 0,7

m_B(y₄) = 0,4.

И окончательно:

A	R	B