Демография 4 (стр. 50 из 66)

6.5. Вероятностные таблицы смертности (чаще

называемые просто таблицами смертности)

Это самый совершенный инструмент для анализа состояния и тенденций уровня смертности. Они представляют собой систему взаимосвязанных показателей, характеризующих изменение вероятности смерти по мере увеличения возраста людей, или, напротив, изменение вероятности дожития до некоторого возраста, а также среднюю продолжительность жизни некоторого поколения родившихся. Иначе говоря, таблицы смертности описывают последовательность и скорость вымирания поколения.

Показатели (колонки) таблиц смертности:

l_x — числа доживающих до возраста «х» лет;

d_x — числа умирающих в возрасте «х» лет (т.е. в возрастном интервале от «х» до «х + 1»);

q_x — вероятность умереть в возрасте «х» (т.е. в возрастном интервале от «х» до «х + 1»);

р_х— вероятность для доживших до возраста «х» дожить и до следующего года возраста «х + 1»;

L_x — числа живущих в возрасте «x» (в возрастном интервале от «х» до «х + 1»;

Т_х — числа живущих в возрасте «х» лет и старше (число человеко-лет предстоящей жизни для данного поколения);

е₀ — средняя ожидаемая продолжительность жизни для новорожденных;

е_х — средняя ожидаемая продолжительность жизни для достигших возраста «х».

В таблицах смертности принимают первоначальную численность поколения (число родившихся, основание или корень таблицы смертности) неизменной во времени и равной единице и прослеживают, как с переходом от возраста к возрасту, от 0 до предельного возраста (100 лет или 100 с небольшим) первоначальная совокупность поколения родившихся убывает в результате смерти от 1 до 0.

Отсюда следует, что в таблицах смертности все числа, кроме числа родившихся, равного 1, меньше 1, т. е. дроби. Чтобы избежать большого количества дробных чисел, число родившихся (основание таблицы) в практических расчетах принимают равным 100000 или 10000, в зависимости от желаемой значности (точности) расчетов. Но не менее 10000.

Различают таблицы полные и краткие. В полных таблицах возрастные интервалы равны одному году, в кратких — пяти годам. Целесообразно рассмотреть взаимосвязи показателей таблиц смертности на примере полных таблиц. В них с переходом от возраста «х» к возрасту «х + 1» число доживающих l_xбудет последовательно уменьшаться на величину числа умирающих в возрасте «х», т.е. d_x. Математически эта связь выглядит следующим образом:

L_x₊₁= l_x – d_x(6.5.1)

Если проследить эту последовательность (порядок) вымирания поколения, начиная с основания таблицы смертности, то она будет выглядеть следующим образом: l₀ = 1 или 10000 или чаще 100000 – d₀ = l₁– d₁ = l₂ – d₂ = l₃ и т.д. В общем виде эту последовательность можно записать так: l_x₊₁= l_x–d_x(для полных таблиц) и l_х+п= l_x–d_x₊_n,где п — длина возрастного интервала.

Каждый родившийся рано или поздно умирает, и в конечном счете число умерших (из каждого поколения, численность которых мы определили заранее) составит l₀, т. е. число родившихся, или

где w–1 — предельный возраст, до которого доживает последний человек из поколения родившихся.

Формула (6.5.1) может быть использована в различных перестановках, к примеру:

l_x= l_x₊₁+ d_x; d_x = l_x– l_x₊₁, и т.д.

Вероятность смерти в возрасте «х» (в возрастном интервале от «х» до «х+1») ¾q_x — определяется в соответствии с правилами теории вероятностей как отношение числа умирающих в возрасте «х» –d_xк числу доживающих до этого возраста, т.е. l_z. В виде формулы эта связь выглядит так:

(6.5.2)

Из формулы хорошо видно, что вероятность смерти q_xможно интерпретировать и как долю умирающих в возрасте «х» из числа доживающих до начала возрастного интервала «х».

Напротив, вероятность дожития до возраста «х + 1» — р_хдля тех, кто дожил до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»), будет определяться как отношение числа доживающих до возраста «х + 1» к числу доживших до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»). Запишем эту связь в виде формулы:

(6.5.3)

Отсюда можно так же, как и в предыдущей формуле, видеть, что вероятность дожития есть не что иное, как доля переживающих возраст «х» из числа доживающих до его начала.

Формулы (6.5.2) и (6.5.3) так же, как и (6.5.1), используются в виде различных преобразований, например: l_x₊₁ = l_xр_х; d_x = l_xq_xbит. д.

Поскольку мы рассматриваем смертность, то в пределах одного возрастного интервала возможна только единственная альтернатива: либо пережить этот интервал и благополучно отметить следующий день рождения, либо, увы, не дожить до него. Иначе говоря, сумма вероятностей дожития до следующего возраста либо умереть, не дожив до него, равна единице, что можно изобразить в виде формулы:

q_x +р_х=1.(6.5.4)

Эта простейшая формула оказывается, однако, очень полезной, так как, зная одну из двух вероятностей, всегда легко найти вторую (вычитанием из единицы).

Начав прослеживать закономерное уменьшение чисел доживающих с основания таблицы смертности, замечаем вскоре, что: l₁= l₀p₀.

Если основание таблицы l₀= 1, то, естественно, l₀в формуле можно опустить, и она примет вид: l₁= р₀.

Далее, следуя той же логике: l₂ = l₁p₁. Подставим вместо l₁ его значение из предыдущей формулы (l₁ = р₀). Получим: l₂ = р₀p₁. Затем: l₃ = l₂р₂ = p₀p₁p₂и т.д. Отсюда, кстати, видно, что число доживающих — нечто иное, как произведение вероятностей дожития, или, иначе говоря, оно само — тоже вероятность, вероятность для новорожденного дожить до возраста «х». В обобщенном виде эту связь можно записать и так:

l_x = p₀p₁p₃x ………. x p_x-1. (6.5.5)

Поскольку в практических расчетах основание таблицы смертности принимается равным не 1, а 10000 и чаще всего 100000, то l₀опускать не приходится и формула (6.5.5) выражается в следующем виде:

l_x = l₀p₀p₁p₂p₃x ………. x p_x-1.

Здесь, пожалуй, самое время сказать, что в таблицах смертности нет ни одного доживающего или умирающего. Вообще — ни одного человека. Одна смерть в чистом виде. Одни вероятности и доли. В этом их большое преимущество перед другими измерителями уровня смертности, поскольку при отсутствии человека нет и зависимости показателей таблиц смертности от возрастной структуры населения. Наименования «числа доживающих», «числа умирающих» — опять же условные наименования, не более того.

Рис. 6.2. Вероятность умереть q_xдля мужского и женского населения СССР, 1986—1987 гг.

Последовательность изменений чисел доживающих l_x графически представляет собой линию дожития, характеризующую порядок вымирания поколения. Чем ниже уровень смертности, чем большая доля родившихся (поколения) доживает до старших возрастов, тем более выпуклой формы будет кривая дожития (см. рис.6.4).

Числа живущих. В таблицах смертности числа доживающих показывают долю остающихся в живых к началу каждого следующего года возраста, то есть к возрасту «x» лет остается в живых часть поколения l_x, к возрасту «х+ 1» — часть l_x₊₁, и т.д.

Однако на самом деле при переходе от одного возраста к следующему численность поколения убывает непрерывно, поэтому число живущих в возрасте «х» есть некоторая средняя величина между значениями чисел доживающих l_x и l_x₊₁. Если разбить каждый год возраста на предельно малые промежутки времени и с помощью дифференциального исчисления определить средние величины живущих в каждом таком мельчайшем интервале, то изменение чисел живущих определяется путем интегрирования таких средних. В реальности интегрирование заменяется суммированием.