3. Нахождение целевой функции и критерия ее оптимальности.
4. Математическая формализация всех исходных данных и поиск решения задачи.
Четвертый этап может осуществляться двумя способами:
· Нахождения решения вручную
· Использование ЭВМ
По всем параметрам второй способ является наиболее удобным, поскольку он сокращает затраты времени на поиск решения задач, обеспечивает необходимую наглядность информации и возможность корректировки исходных данных.
Особое значение ЭММ имеет в такой отрасли народного хозяйства, как животноводство. При помощи линейных моделей можно, например, составить оптимальный рацион кормления скота, который удовлетворял бы всем требованиям по питательности и одновременно обеспечивал бы минимум затрат.
математической модели
Составление экономико-математической модели покажем на примере оптимизации рациона кормления для дойной коровы живым весом 600 килограмм с суточным удоем 18 килограммов молока. Для обеспечения такой суточной продуктивности необходимо, чтобы в рационе коровы содержалось питательных веществ не менее норм, представленных в следующей таблице.
Таблица 1
| Живая масса, кг. | Суточный удой, кг. | Рацион должен содержать, не менее | ||
| Кормовых единиц, кг | Перевариваемого протеина, г. | Каротина, мг. | ||
| 600 | 18 | 14,1 | 1610 | 630 |
Содержание отдельных групп кормов в рационе может изменяться в следующих пределах: концентрированных кормов в рационе может быть не менее 18% и не более 35%, грубых кормов – не менее 12% и не более 30%, силоса – не менее 20% и не более 40%, корнеклубнеплодов – не менее 15%.
Удельный вес жмыха по массе в концентрированных кормах должно быть не более 20%, соломы в грубых кормах – не более 25%, силоса кукурузного во всем силосе - не менее 40%, кормовой свеклы в корнеклубнеплодах – не менее 30%. В общей питательности рациона удельный вес жмыха не должен превышать 10%.
Рацион должен полностью удовлетворять потребность животных во всех перечисленных питательных веществах при заданном соотношении отдельных видов и групп кормов и одновременно иметь минимальную стоимость. Данные по видам имеющихся в хозяйстве кормов, их питательным качествам и себестоимости представлены в таблице.
| Наименование кормов | Содержание в 1 кг корма | Стоимость 1 кг корма, руб | |||
| Кормо-вых единиц, кг | Переваримого протеи-на, г | Каротина, мг | |||
| Концентрированные корма | |||||
| Мука виковая | 1,16 | 209 | 2 | 144 | |
| Отруби ржаные | 0,76 | 112 | 3 | 260 | |
| Комбикорм | 0,9 | 160 | 2 | 150 | |
| Жмых льняной | 1,17 | 245 | 2 | 123 | |
| Грубые корма | |||||
| Сено клеверное | 0,52 | 79 | 25 | 40 | |
| Сено злаковое | 0,46 | 41 | 15 | 34 | |
| Солома просяная | 0,41 | 24 | 10 | 20 | |
| Силос | |||||
| Силос кукурузный | 0,20 | 14 | 15 | 19 | |
| Силос разнотравный | 0,13 | 15 | 10 | 19 | |
| Корнеклубнеплоды | |||||
| Свекла полусахарная | 0,55 | 14 | 0 | 30 | |
| Свекла кормовая | 0,12 | 9 | 0 | 27 | |
| Турнепс | 0,9 | 7 | 0 | 27 | |
| Прочие корма | |||||
| Жом | 0,11 | 7 | 0 | 20 | |
Таблица 2
В соответствии с перечисленными условиями задачи определим перечень переменных, который представим в следующей таблице.
Таблица 3
| Наименование кормов | Переменная, обозначающая корм |
| Мука виковая | X1 |
| Отруби ржаные | X2 |
| Комбикорм | X3 |
| Жмых льняной | X4 |
| Сено клеверное | X5 |
| Сено злаковое | X6 |
| Солома просяная | X7 |
| Силос кукурузный | X8 |
| Силос разнотравный | X9 |
| Свекла полусахарная | X10 |
| Свекла кормовая | X11 |
| Турнепс | X12 |
| Жом | X13 |
Единицами измерения всех вышеперечисленных переменных будут являться килограммы.
Основными ограничениями данной экономико-математической модели будут ограничения по балансам всех питательных веществ: кормовых единиц, перевариваемого протеина и каротина. Ограничение по балансу кормовых единиц будет показывать, что за счет всех имеющихся кормов необходимо обеспечить не менее 14,1 кг кормовых единиц:
1) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 + 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 + 0,2х8 + 0,13х9 + 0,15х10 + 0,12х11 + 0,9х12 + 0,11х13 >= 14,1
Аналогично записываются условия по балансу перевариваемого протеина и каротина:
2) 209х1+ 112х2 + 160х3 + 245x4 + 79x5 + 41x6 + 24x7 + 14x8 + 15x9 + 14x10 + 9х11 + 7х12 + 7х13 >= 1610
3) 2х1+ 3х2 + 2х3 + 2x4 + 25x5 + 15x6 + 10x7 + 15x8 + 10x9 + 0x10 + 0х11 + 0х12 + 0х13 >= 630
Далее запишем дополнительные ограничения по содержанию отдельных групп кормов в общем балансе кормовых единиц. Для этого введем накопительную переменную х14, которая будет обозначать общее количество кормовых единиц:
4) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 + 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 + 0,2х8 + 0,13х9 + 0,15х10 + 0,12х11 + 0,9х12 + 0,11х13 = x14
либо
4) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 + 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 + 0,2х8 + 0,13х9 + 0,15х10 + 0,12х11 + 0,9х12 + 0,11х13 – 1x14 = 0
Концентрированные корма в общем балансе питательных веществ могут занимать от 18% до 35%, поэтому для записи данного условия требуется два ограничения:
5) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 >= 0,18х14
или
5) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 – 0,18х14 >= 0
Аналогично:
6) 1,16х1+ 0,76х2 + 0,9х3 + 1,17х4 – 0,35х14 <= 0
Ограничения по содержанию в общем балансе грубых кормов будут выглядеть следующим образом:
7) 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 - 0,12х14 >= 0
8) 0,52х5 + 0,46х6 + 0,41х7 - 0,3х14 <= 0
Содержание силоса в общем балансе кормовых единиц должно быть от 20% до 40%:
9) 0,2х8 + 0,13х9 - 0,2х14 >= 0
10) 0,2х8 + 0,13х9 - 0,4х14 <= 0
Содержание корнеклубнеплодов в общем балансе кормовых единиц должно быть не менее 15%:
11) 0,15х10 + 0,12х11 + 0,9х12 - 0,15х14 >= 0
Теперь запишем ограничения по удельному весу отдельных видов кормов внутри кормовых групп. Их записывают с помощью коэффициентов пропорциональности.
Удельный вес жмыха в концентратах по массе может быть не более 20%, т.е.:
12) х4 <= 0,2(x1+ x2+ x3+ x4)
Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим:
12) – 0,2x1 – 0,2x2 – 0,2x3 + 0,8x4 <= 0
Таким же образом запишем и другие ограничения этой группы.
Удельный вес соломы в грубых кормах может быть не более 25%:
13) – 0,25x5 – 0,25x6 + 0,75x7 <= 0
Удельный вес силоса кукурузного во всем силосе может быть не менее 40%:
14) 0,6x8 – 0,4x9 >= 0
Кормовая свекла в корнеклубнеплодах должна составлять не менее 30%:
15) 0,3x10 – 0,7x11 + 0,3x12 >= 0
Последнее ограничение, состоящее в том, что удельный вес жома в общей питательности рациона не должен превышать 10%, запишется следующим образом:
16) 0,11x13 - 0,1х14 <= 0
Теперь перейдем к целевой функции. Условия задачи требуют, чтобы стоимость рациона была минимальной:
144х1+ 260х2 + 150х3 + 123х4 + 40х5 + 34х6 + 20х7 + 19х8 + 19х9 + 30х10 + 27х11 + 27х12 + 20х13® min
Таким образом, мы построили экономико-математическую модель задачи оптимизации рациона кормления коровы. Данную задачу я разрешу при помощи пакета MicroSoft – Office 2000, в который входит пакет с электронной таблицей MicroSoft Excel, в распоряжении которого имеется мощное средство поиска решений задач такого типа. Данные, полученные по результатам решения, удовлетворяют своей точностью и аналитическими свойствами. Можно также производить необходимую корректировку введенных данных, с автоматическим подсчетом конечного результата.
2.3. Анализ результатов решения задачи
Результаты расчетов, полученные с помощью программы Microsoft Excel представлены в таблице:
Таблица 4. Оптимальный кормовой рацион
| Переменные | Вид кормов | Количество кормов в рационе, кг | Содержание питательных веществ в кормах | Стоимость рациона, руб. | ||
| Кормо-вых единиц | Перева-римого протеи-на, г | Каротина, мг | ||||
| Х1 | Мука виковая | 1,992 | 2,311 | 416,328 | 3,984 | 286,848 |
| Х4 | Жмых льняной | 0,480 | 0,562 | 117,600 | 0,960 | 59,040 |
| Х5 | Сено клеверное | 8,648 | 4,497 | 683,192 | 216,200 | 86,480 |
| Х8 | Силос кукурузный | 27,266 | 5,453 | 381,724 | 408,990 | 518,054 |
| Х11 | Свекла полусахарная | 1,013 | 0,122 | 9,117 | 0 | 27,351 |
| Х12 | Турнепс | 2,363 | 2,127 | 16,541 | 0 | 63,801 |
| Итого | 56,680 | 15,072 | 1624,502 | 630,134 | 1041,574 | |
| Потребность в питательных веществах | - | 14,1 | 1610 | 630 | - | |
| Превышение потребности | - | 0,972 | 14,502 | 0,134 | - | |
В полученный рацион вошли 6 из 13 предоставленных видов кормов. Рацион удовлетворяет всем поставленным ограничениям.