Шпаргалка по Статистике 3 (стр. 2 из 5)

Математическое ожиданиеMX (среднее значение)

или сумма произведения всех её возможных значений на их вероятность.

Взаимно корреляционная функция (ВКФ)

ВКФ представляет собой оценку корреляционных свойств двух случайных процессов. Для эргодических случайных процессов ВКФ вычисляется по данным отдельных реализаций

и . ВКФ по формуле где значение поля в i-той точке. i=1…n. m – интервал принимающий значения . n – число точек для каждой реализации. Допустим, что по реализации найдены их средние значения: и , тогда модно считать что , тогда получаем

Свойства взаимной корреляционной функции (ВКФ):

1) ВКФ не является ни чётной ни нечётной функцией, т.е. Rху(τ) не равно Rху(-τ).

2) ВКФ остаётся неизменной при перемене чередования функций и изменений знака аргумента, т.е. Rху(τ)=Rху(-τ). 3) Если случайные функции x(t) и y(t) не содержат постоянных составляющих и создаются независимыми источниками, то для них R_ху(τ) → 0. Такие функции называются некоррелированными.

Вариант 5

Числовые характеристики рассеяния случайной величины.

Числовые характеристики рассеяния случайных величин: дисперсия, среднее квадратическое от-клонение, коэффициент вариации.

Вводят числовую характеристику, которая называется дисперсией. Эта характеристика оценивает рассеяние случайной величины вокруг своего математического ожидания.

Дисперсия

. D(C)=0, где С=соnst.

D(CX)=C*C*D(X).

Средне квадратичное отклонение (стандарт)

Коэффициент вариации случайной величины — мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс. Вычисляется по формуле: квадратный корень из дисперсии случайной величины, деленный на ее математическое ожидание.

Размах вариацииR – разность между наибольшей и наименьшей вариантами. R=x_max-x_min.

Определение параметров уравнения регрессии по методу наименьших квадратов на примере линейной регрессии.

Выбрав вид функции регрессии, т.е. вид рассматриваемой модели зависимости Y от Х (или Х от У), например, линейную модель y(x)=a+bx, необходимо определить конкретные значения коэффициентов модели.

При этом b называют коэффициентом регрессии; a называют свободным членом уравнения регрессии и вычисляют по формуле: Полученная прямая является оценкой для теоретической линии регрессии. Имеем: является уравнением линейной регрессии.

Вариант 6

Числовые характеристики распределения – моменты, асимметрия, эксцесс, квантили, квартили, процентили.

Переход от M(X) к M(X²) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Поэтому вводится начальный момент порядка k – случайной величины X называют математическое величины X^k:

. Также целесообразно рассматривать центральный момент порядка k случайной величины X.

Асимметрия теоретического распределения – называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения

. Асимметрия положительна, если 'длинная часть' кривой распределения расположена справа от математического ожидания; Асимметрия отрицательна, если 'длинная часть' кривой расположена слева от математического ожидания.

Эксцесс распределения

. Если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и острую вершину; Если эксцесс отрицательный, то кривая имеет более низкую и плоскую вершину;

y– квантиль t_y — такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей: y. t_y=F^-1(y), где F^-1(y) – функция, обратная функции распределения F(y).

0.25-квантиль называется первым (или нижним) квартилем;

0.5-квантиль называется медианой или вторым квартилем;

0.75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем.

p-ой перценти́лью называют квантиль уровня α = p / 100. При этом обычно рассматривают перцентили для целых p, хотя данное требование не обязательно. Соответственно, медиана является 50-ой перцентилью, а первый и третий квартиль — 25-ой и 75-ой перцентилями. В целом, понятия квантиль и перцентиль взаимозаменяемы, также, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная. Перцентили также называются процентилями или центилями.

Применение АКФ и ВКФ в геофизике

АКФ: 1) Оценка корреляционных свойств сигналов (аномалий) и помех. 2) Расчёты весовой функции и частотной характеристики оптимальных фильтров базируются на знании АКФ сигнала и помех. 3) Трансформация наблюденного поля. 4) Разделение наблюденного участка на однородные по статистическим характеристикам участки. 5) Оценка глубины залегания источников аномалий в магнито- и гравии разведкепо интервалам корреляции. 6) Проверка стационарности наблюдённого поля может быть осуществлена по отношению двух оценок дисперсии АКФ. 7) Оценка разрешающей способности сейсмической записи.

ВКФ: 1) Оценка корреляции свойств сигналов. 2) Оценка простирания сигналов 3) Оценка отношения сигнала/помеха

Вариант 7

Непараметрическая статистика.

В основе метода выделения сигналов на фоне помех лежит предположения о нормальности закона распределения. Но предположение о нормальном законе распределения помех не всегда имеет место на практике. Построение непараметрической статистики не требует предположения относительно вида распределения. При решении задачи обнаружения сигнала на фоне помех распределения последних может носить любой характер. Отказ при построении алгоритмов выделения сигналов от конкретного вида распределения помех, кстати, как и самих сигналов, если они представлены случайным процессом, позволит обнаружить сигналы в тех случаях, когда параметрические способы не являются эффективными. Использование непараметрических способов обработки геофизических данных связано с применением знаковых, ранговых и знаково-ранговых статистик.

Ранговые коэффициенты корреляции и их значимость.

В том случае, когда определяется взаимосвязь между случайными величинами X,Y(физ. параметрами), распределёнными не по нормальному закону, а произвольно, зависимость между X и Y следует оценивать с помощью коэффициентов ранговой корреляции. Ранговая корреляция по Спирману. Отдельным значениям переменных присваиваются ранговые места. Коэффициент корреляции рангов Спирмэна (р) основан на рассмотрении разности рангов значений результативного и факторного признаков и может быть рассчитан по формуле

, где D = Nx - Ny , т.е. разность рангов каждой пары значений х и у; n - число наблюдений. Коэффициенты ранговой корреляции весьма близки к соответствующим значениям коэффициентов Пирсона (исходные переменные имеют нормальное распределение). Ещё одним вариантом - ранговый коэффициент корреляции Кендала. В этом методе одна переменная представляется в виде монотонной последовательности в порядке возрастания величин; другой переменной присваиваются соответствующие ранговые места. Ранговый коэффициент корреляции Кендэла(τ) можно определить по формуле где S = P + Q.

Ряд Фурье в декартовых координатах.

Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда

, , , Числа a₀, a_n и b_n (n=1,2…) называются коэффициентами Фурье функции f.

Амплитудный и фазовый спектр

Для тригонометрической формы ряда Фурье вводится амплитуда

и фаза m-ой гармоники, связанные с коэффициентами Фурье соотношениями: ,