Шпаргалка по Маркетингу 9 (стр. 2 из 6)
13. Биноминальное распределение
Случайный эксперимент состоит в том, что осуществляется n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться, причем вероят-ть наступления события А во всех испытаниях постоянна и равна р. Вероят-ть не наступления события А или наступления противоположно событию
: q=1- p.В качестве дискретной случайной величины будем рассматривать число появлений события А в этих испытаниях. Необходиммо найти закон распределения дискретной СВ. События А в испытаниях может либо не наступить, либо наступить 1 раз, 2 раза или n раз. Таким образом возможное значение х может записываться так
х1=0
х2=1
х3=2
……..
хn+1=n
Вероят-ть можно найти с помощью формулы Бернулли
, где n=1,2,…,n и m=1,2,…,mДанная формула считается аналитическим выражением закона распределения дискретной СВ Х. Ф-ция распределения вероят-тей рассматриваемой СВ:
Распределение степени вероят-ти, которая определяется формулой Бернулли, называется биноминальным распределением. Биноминальный закон записывается так:
| х | n | n-1 | n-2 | … | m |
| р | np | npn-1q | pn-2q2 | … | mp |
14. Распределение Пуассона. Для задач,в кот.число n независимых испытаний велико,а вероятность p наступления данного события А при каждом отдельном испытании мала,то искомые вероятности Pn(m) того,что в серии из n испытаний событие А наступит m раз могут быть вычислены с практически достаточной степенью точности по осимптотической формуле Пуассона:
Эта формула характеризует закон распределения Пуассона.Функция распределения вероятностей этой случайной величины имеет вид: 
Искомые вероятности можно вычислить с помощью специальных таблиц при известных m и λ. 15.Простейший поток событий. Поток событий – последовательность событий, кот. наступают в случайные заранее неизвестные моменты. Н-р, поступление вызовов на пункт неотложной скорой помощи. К основным св-вам, кот.хар-ют поток событий, относятся свойства стационарности, отсутствие последствий и ординарности. Свойство стационарности потока событий проявляется в том, что вероятность наступления m-событий на любом отрезке времени зависит только от числа m и от длительности его отсчета и не зависит от начала отсчета. При условии, что различные промежутки времени являются непересекающимися. Свойство отсутствия последствия проявляется в том, что вероятность наступления n-событий на любом отрезке времени не зависит от того, наступили или нет события в момент времени, кот. предшествуют началу рассматриваемого временного отрезка. Таким образом, если поток событий обладает свойством отсутствия последствия, то появление какого-либо числа событий в различные непересекающиеся отрезки времени считаются взаимно-независимыми. Свойство ординарности потока событий проявляется в том, что наступление 2-х и более событий за малый отрезок времени практически невозможно, т.е. вероятность наступления более 1-го события за малый отрезок времени, пренебрежимо мало, по сравнению с вероятностью наступления только 1-го события. Т.о. если поток событий обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый отрезок времени может появиться не более 1-го события. Поток событий, кот. обладает св-вом стационарности, отсутствие последствий и ординарности наз.простейшим или Пуассоновским потоком. Интенсивность потока λ – это среднее число событий, кот. наступает в единицу времени. При заданной постоянной интенсивности потока λ,вероятность появления m-событий простейшего потока за временной отрезок длит.t можно рассчитать по формуле Пуассона:
16.Мат.ожидание дискретной случайной величины. М(х) мат.ожидание дискретной случайной величины х, принимает значение х1,х2,…,хn с вероятностями соотв. p1, p2,…,pn наз.сумма произведений всех ее возможных n-значений на их вероятности.
Математическое ожидание дискретной случайной величины х явл. неслучайной постоянной величиной. Если число возможных значений дискретной случайной величины конечно, то предполагается, что ряд сходится абсолютно.Пример: случайная величина х задана следующим законом распределения: х 4 6 9
P 0.5 0.3 0.2
Математическое ожидание числа появления событий в одном испытании равно вероятности этого события.
Теорема: математическое ожидание прим.равно среднему арифметическому наблюдаемых значений и случ.величины.
17.Свойство мат.ожидания дискретной случайной величины. 1.Мат.ожидание постоянной величины k=самой постоянной: M(k)=k; 2.Постоянный множитель можно выносить за знак мат.ожидания:M(kx)=kM(k); 3.Мат.ожидание-произведение нескольких попарно независимых случ.величин=произведению их мат.ожиданий. M(kyz)=M[(xy)z]= M(xy)M(z)=M(x)M(y)M(z)
4.Мат.ожидание-сумма 2-х случайных величин-сумме их мат.ожидания. M(x+y)=M(x)+M(y).Следствие:мат.ожидание суммы нескольких случ.величин. M(x+y+z)=M[(x+y)+z]=M(x+y)+M(z)=M(x)+M(y)+M(z).Следствие:мат.ожидание суммы нескольких случайных величин: M(x+y+z)=M[(x+y)+z]=M(x+y)+M(z)=M(x)+M(y)+M(z).
18.Дисперсия дискретной случайной величины. Понятие дисперсии случ.величины вводится для характеристики отклонения данной величины от ее среднего значения.Для этого рассм.понятие отклонения.Пусть х-случ.величина и М(х)-ее мат.ожидание. Отклонением наз.разность между случ.величиной х и ее мат.ожиданием.Теорема: мат.ожидание отклонения=0; M[x-M(x)]=0. Дисперсией или рассеянием дискретной случ.величины х наз.мат.ожидание квадрата отклонения случ.величины от ее мат.ожидания. D(x)=M(x-M(x))2 . Дисперсия случ.величины также имеет закон распределения.Пусть случ.величина х задана законом распределения
| x | x1 | x2 | x3 | … | xn |
| P | p1 | p2 | p3 | … | pn |
В этом случае дисперсия распределена по след.закону:
| (x-M(x))2 | (x1-M(x))2 | (x2-M(x))2 | … | (xn-M(x))2 |
| p | p1 | p2 | … | pn |
По закону распределения квадрата отклонения можно непосредственно рассчитать значение дисперсии
Теорема: дисперсия равна разности между между мат.ожиданием квадрата случ.величины х и квадратом ее мат.ожидания, т.е. D(x)=M(x)2-(M(x))2 .
Пример: случ.величина х задана законом распределения. Х 3 2 9 Найти дисперсию. М(х)=3*0.4+2*0.4+9*0.2=3.8
Р 0.4 0.4 0.2 М(х)2 =9*0.4+4*0.4+81*0.2=21.4
D(x)=21,4-(3,8)2 =6.96
19. Свойство дисперсии дискретной случайной величины.
1) Дисперсия постоянной случ. Величины k=0; D(K)=0;
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии возводя его в квадрат, т.е. D(Kx)=K2 D(x);
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин = сумме дисперсий этих величин: D(x+y)=D(x)+D(y)
Следствие 1: дисперсия суммы нескольких попарно независимых с.в. = сумме дисперсии этих величин;
Следствие 2: дисперсия суммы постоянной и случайной величины = дисперсии с.в.: D(k+x)=D(x)
4) Дисперсия разности двух независимых с.в. = сумме их дисперсий: D(x-y)=D(x)+D(y)
20. Мат. ожидание и дисперсия числа появления событий в независимых испытаниях.
Пусть осуществляется n-незав. испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность наступления события А постоянно и =p. Необходимо определить среднее число появления события А в этих испытаниях.
Теорема: мат.ожидание М(х) числа появления события А в n-незав. испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытание.
M(x)=np
Пусть осуществляется n-незав. испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность наступления события А постоянно и =p. Необходимо определить дисперсию числа появления события А в этих испытаниях.
Теорема: дисперсия числа наступления события А в n-независимых испытаниях, в каждом их которых появления события постоянно и равно произведению числа испытаний на вероятность наступления и не наступления события в одном испытании.
D(x)=npq.
21. Среднее квадратичное отклонение.
Кроме дисперсии для оценивания, рассеивания возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения используют показатель среднее квадратичное отклонение.
Средним квадратичным отклонение с.в. X называется квадратный корень из ее дисперсии: G(x)=кв.корень из D(x)
Размерность квадратного отклонения совпадает с размерностью с.в.X.
Свойства: 1) G(K)=0; 2) при умножении случайной величины X на постоянное число k, ее среднее квадратичное отклонение умножается на туже постоянную k.
Теорема: Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа попарно независимых с.в. = кв. корень из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин.
22. Одинаково распределенные попарно независимые случайные величины.
Дано n-попарно независимых случайных величин x1,x2,…xn, кот. является одинаково распределенными. Следовательно, данные случайные величины имеют одинаковое мат. ожидание, дисперсию и другие числовые значения. Среднеарифметические с.в. X, рассм. с.в. по следующей формуле: X=x1+x2+…+xn/ n.