Шпаргалка по Маркетингу 9 (стр. 3 из 6)

Свойства среднеарифметической случайной величины: 1) мат. ожидание среднеарифметической одинаково распред. попарно независимой с.в.= мат. ожидании, а каждое их них: M(x)=a;

2) дисперсия среднеарифметической n-одинаково распределенной попарно независимой с.в. в n-раз меньше дисперсии каждой из величин: D(x)=D(x)/n;

3) среднее квадратичное отклонение среднего арифметического n-один. распред. попарно независимых с.в. в кв. корень их n раз меньше средне квадратичного отклонения каждого из этих величин: G(x)=G(x)/кв.корень из n.

23. Неравенства Чебышева.

Для рассмотрения теорем , носящих общее название закона больших чисел, необходимо знание неравенства Чебышева. Пусть случайная дискретная величина X задана след. законом распределения:

необходимо оценить вероятность того, что отклонение с.в. от ее мат. ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа E, в том случае если E достаточно мало, то задачей будет оценивание вероятностей того, что с.в. X примет значение достаточно близкое к своему мат. ожиданию. Поставленная задача решается с помощью неравенства Чебышева.

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее M(x) по абсолютной величине меньше положительного числа E, не менее чем 1-D(x)/E2, т.е. вероятность P( [x-M(x)]меньше E)больше или равно 1- D(x)/E2.

24. Теорема Чебышева.

Если последовательность попарно независимых с.в. x1,x2,…xn, имеющих дисперсию, ограниченные одной и той же постоянной C, т.е. D(Xi)<_C; i=1,2…n, то как бы нибыло мало положительное число E, вероятность неравенства:

будет приближаться к 1, если число с.в. достаточно мало, т.е. для любого положительного числа E существует предел:

25. Теорема Бернулли

Осущ-ся n независимых испытаний, в каждом из этих испытаний вер-ти наступления соб. А-постоянна и равна p. Необходимо определить какова будет относительная частота появлении соб.А, для этого используют теорему Бернулли. Теорема. Если в каждом, из n независисых испытаний, соб.А имеет постоянную вероятность p, то как угодно близка к 1 вер-ть того, что отклонение относительной частоты m/n от вер-ти p, но абсолютная величина будет сколь угодно малой, если число наступлений достаточно велико, т.е. при соблюдении условий теоремы, справндливо равенство: lim p(|m/n-p|<E)=1 Док-во: xi-где х=1,2,3…n. Пусть xi-дискретная случайная величина, хар-щая числопоявления соб. В каждом из испытаний. Данная величина может принимать только два значения: соб.А-наступило с вер-тью p и 0-соб.А не наступило, с вер-ю q=1-p. Случайная дискретная величина xi-является попарно независимой и дисперсии их ограничены, следовательно к данной величине можно применить теорему Чебышева:

Мат.ожидание каждой из величин xi- равно вер-ти p наступления события, поэтому . Необходимо доказать, что дробь равна относительной частоте m/n появления соб.А, в n испытаниях. Каждая из величин xi, где i-1,2,3…n, при наступлении соб.А в соответст. испытании принимает значение равное 1, следовательно, тогда в испытаниях, с учётом последнего равенства можно записать: lim p(|m/n-p|<E)=1, ч.т.д.

При использовании теоремы Бернулли необходимо учитывать то, что из неё рав-во lim m/n=p. Главным утверждением теоремы является то, что при достаточно большом кол-ве испытаний относительная частота m будет сколь угодно мало отличаться от постоянной вер-ти p наступления события в каждом испытании, т.е. теорема Бернулли утверждает, что при , что относительная частота .

26. Интегральный функции распределения. Вероятность случайной величины.

Рассмотрим случ.величину Х, возможные значения которой заполняют интервал (a;b). В данном случае нельзя указать все возможные значения х, поэтому для описания данного случ. величины используется интегральная функция распределения вероятностей. Обозначим через F(x)- вероятность соб., состоящего в том, что случ.велич. х меньшее х. х-действительное чилсо. Но вероятность соб. Х<x обозначим, как F(x) в том случае, если число х будет изменяться, то будет изменяться и F(x). Определение: интегральной функцией распределения называется функция F(x), которая определена для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение < x, т.е. F(x)=Р, когда Х<x. F(x)= P(X<x)

Случайная величина Х- является непрерывной в том случае, если её интегральная функция распределения F(x) непрерывно дифференцируема. Свойства интегрируемой функции распределения вероятности.1). Значение интегрируемой функции заключается в интервале (0;1), 0 ≤F(x) ≤1. Док-во: данное свойство основывается на определении интегральной функции, как вер-ти, а вер-ть-неотрицательное число, которое не превышает 1. 2). F(x)-неубывающая функция, F(x2) ≥ F(x1), если х2>х1. Следствие1: Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (a;b) равно прирощённо данной функции в этом интервале. P (a ≤ x ≤b) = F(b)-F(a). Следствие2: Вероятность того, что нсв Х примет одно определённое значение =0. 3). Если возможные значения случайной величины принадлежат (a;b), то F(x)=0,при x<a; F(x)=1, при x≥b. Следствие: если возможные значения интервальной случайной величины расположены на всей оси Ох, то справедливы предельные соотношения: limF(x)=0 и limF(x)=1.

27. Дифференциальная функция распределений вероятностей нвс.

Определение:Дифер. функцией распределения f(x) называется первая производная от интегральной функции распределения. f(x)=F’(x)=> интегральная функция является первообразной для диф-ой функции.

Диф-ая функция непременима для задания распределения вероятностей дискретной случайной величины, если известна f(x) нсв, то на её основе можно вычислить вероятность того, что нсв примет значение, принадлежащее заранее заданному интервалу. Теорема:Вероятность того, что нсв Х примет значение, принадлежащее (a;b) = опред.интегр. диф.функции, взятому в пределах от а до b.

P(a<x<b)=

Теорема:Если известна диф.функция f(x), то интегральная функцию F(x) можно найти по формуле:

29. Закон равномерного распределения вероятностей.

При решении задач, которые выдвигает практика, сталкиваются с различными распределениями нсв. Диф.функция этих распределений называется также законами распределения. Определение: Распределение вер-тей нсв называют равномерным, если на интервале, котором все возможные значения случайной величины, дифферен.функция имеет постоянное значение.

Закон распределения нсв можно определить заданием, либо интегрир. F(x) нсв, либо диффер.функции f(x). Для равномерного распределения интегральной функции F(x) непрерывной случайной величины имеет вид и график:

0, при х≤0

F(x)=

= x-a/b-a, а≤x≤b

Определим диф.функцию равномерного распределения при условии, что все возможные значения случайной величины находятся в интервале (a;b), на котором диф.функция сохраняет постоянное значение. f’(x)=c, т.е.

f(x)= C, при a<x<b

0, при x≤a, x≥b

По свойству (2) функция f(x) есть не собственные интеграл

Таким образом c=1/b-a. График диф.функции f(x) нсв равномерного распределения выглядит так:

28. Свойство дифферен.функции распределения вероят-тей

1. Дифферен.ф-ция неотрицательна f(x)

0. Интегральная ф-ция есть неубывающая ф-ция => её производная. есть ф-ция неотрицательная. График дифферен.функции называется кривой распределения.

2. Несобственный интергал от дифферен.функции в пределах от

:

Доказательство: Несобственный интергал – это выражение вероят-ти события состоящего в том, что СВ х примет значение принадлежащее интервалу

, достоверное событие р=1. В том случае если все значения СВ х находятся в пределах интервала (a;b)

=> предел отношения вероят-ти того. Что НСВ х примет значение а интервале к длине этого интервала. равен значению интервал.ф-ции в точке Х. Значение в точке Х определяется как плотность вероят-ти в данной точке, те.е дифферен.ф-ция определяет плотность распределения вероят-ти для точки Х.