Шпаргалка по Маркетингу 9 (стр. 4 из 6)

30. Условные характеристики НСВ

Пусть х – это НСВ, которая задана дифферен.ф-цией

. Предположим, что все возможные значения величины х принадлежат отрезку [a;b]. Разобьем этот отрезок на n частей, длины которых и выделим в каждой из них произвольную точку , где i=1,2,3,…,n. Для того чтобы дать определение матем.ожиданию НСВ, составим сумму произведений возможных значений на вероят-ти их попадания в интервал

Так как произведение

приближенно равно вероят-ти попадания х в интервал . В результате перехода к пределу при условии, что длина наибольшего из полученных отрезков стремится к 0, получим открытый интеграл

Матем.ожидание НСВ Х, чьи возможные значения принадлежат отрезку [a;b] – это число равное определенному интегралу вида

. В том случае если возможные значения НСВ Х принадлежат всей оси Х, то будет равно интегралу . Последнее справедливо при условии, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует интеграл вида

Если данное условие не выполняется, то значение интеграла независимо от скорости снижения нижнего предела к

, а верхнего – к по отдельности.

Дисперсия НСВ Х – это матем.ожидание квадрата её отклонения в том случае, если возможное значение НСВ Х принадлежит [a;b], то дисперсия определяется как

Если возможное значение НСВ Х принадлежит всей оси ОХ, то дисперсия равна

Среднее квадратическое отклонение НСВ Х – это корень квадратный из дисперсии данной величины

Те свойства матем.ожидания и дисперсии, которые были определены для дискретных случайных велични, справедливы и для НСВ Х.

31. Нормальное распределение

Нормальное распределение вероят-ти НСВ описывается дифференциальной функцией вида

f(x)=

Данная ф-ция задается 2 параметрами a и G, т.е. достаточно определить эти параметры, чтобы задать нормал. Распределение. Параметр а в этом случае понимается как матем. ожидание, а параметр G – как среднее квадратическое отклонение нормал. распределения.

Рассмотрим параметр а дифферен. Ф-ции нормал.распределения вероят-ти. Матем.ожидание нормал. распределения НСВ находится по формуле:

M(x) =

Введем новую переменную

; zG + a = x , тогда dx = G dz. С учетом новой переменной z матем.ожидание можно записать в виде:

M(x) =

1-ое слагаемое = 0; 2-ое слагаемое = a . Таким образом матем.ожидание нормал.распределения равно параметру а.

Рассмотрим параметр G дифферен.ф-ции нормал.распределния вероят-ти. Дисперсия нормал.распределния НСВ Х с учетом того что М(х)=а имеет вид:

D(x) =

Вновь используем переменную z,на основе к-рой получим след. равенство: zG+a=x ; dx=Gdz. С учетом новой переменной z дисперсию можно записать в след.виде:

D(x) =

В результате интегрирования данного выражения по частям получим D(x) =

, следовательно G(x) = . Таким образом среднее квадратическое отклонение нормал.распределения равно параметру G. Если нормал.распределения определяется М(х) = 0 и G(x) = 1, то такое распределение называется нормальным, и дифферен.ф-ция нормал.распределения имеет вид:

Вероят-ть того, что Х примет значение принадлежащее интервалу

), находиться по формуле: , где а – мат.ожидание, G – среднее квадратическое откл-е

- функция Лапласа

32. Нормальная кривая

Дифферен.ф-ция нормал.распределенной НСВ имеет вид

График дифферен.ф-ция нормал.распределения вероят-ти наз-ся нормал.кривой или кривой Гаусса. Исследуем дифферен.ф-ция нормал.распределения с помощью метода дифферен. Исчисления:

Данная ф-ция определена на всей оси ОХ

Нормал.кривая расположена над осью ОХ, т.к. при всех значениях х ф-ция принимает положительные значения

Предел ф-ции при неограниченном возрастании х равен 0

- это означает, что ось ОХ явл-ся горизонтальной асимптотой.

Найдем 1-ую производную ф-ции для исследования её на экстремум

При х=а, у’=0; при x< a , y’>0 ; при x> a , y’<0.

Отсюда следует, что при х= а ф-ция принимает максимальное значение

График симметричен относительно прямой х=a. Находим 2-ую производную ф-ции для исследования её на точке перегиба

А при переходе через эти точки он меняет знак. В обеих этих точках значение ф-ции равно

следовательно (a-G; ) и (a+G; ) явл-ся точками перегиба

При а=0 и G=0

Изменение величины матем.ожидания, т.е величины параметра а дифферен.ф-ции нормал.распределения не меняет формы, а приводит её к сдвигу вдоль оси абцисс. При увеличении а сдвиг вправо, при уменьшении а сдвиг влево

При возрастании G максимальная ордината нормал.кривой убывает, а сама кривая становиться более пологой, те.е сжимается к оси ОХ. При уменьшении нормал.кривая становиться более островершинной и растягивается.

Площадь фигуры ограниченной нормал.кривой и осью ОХ при любых значениях параметров а и G будет равно 1.

33. Правила 3х сигм

Пусть НСВ Х задана дифферен.ф-цией f(x), тогда по теореме вероят-ти того, что х примет значение принадлежащее интервалу

), будет равна

Пусть НСВ Х подчиняется нормал.закону распределения. В этом случае вероят-ть того, что Х примет значение принадлежащее интервалу

), равна

Можно воспользоваться готовыми таблицами, приведя данную формулу к виду

Определим вероят-ть что отклонение нормал.распреленной величины Х по абсолютной величине будет меньше заданного положительного числа а, т.е. найдем вероят-ть осуществления вероят-ти

На основании выше приведенной формулы получим

В этом случае если параметр а равен 0, мы имеем