1. Аргумент Х является НСВ, которая задана дифферен.ф-цией
1) Можно рассчитать дифферен.ф-цию q(y) случайной величины Y, а затем применить формулу:
2) Если расчет дифферен.ф-ции q(y) является достаточно трудоемким, то матем.ожидание ф-ции
Если возможные значения СВ Х принадлежат интервалу (a;b), то матем.ожидание находят по формуле
38. Функция двух случайных величин.Распределение суммы независимых слагаемых.
Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и Y соответ-ствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y : Z = φ(X, Y).
Рассмотрим в качестве такой функции сумму Х + Y. В некоторых случаях можно найти ее закон распределения, зная законы распределения слагаемых.
1) Если X и Y – дискретные независимые случайные величины, то для определения закона распределения Z = Х + Y нужно найти все возможные значения Z и соответствующие им вероятности.
2) Если X и Y – непрерывные независимые случайные величины, то, если плотность вероятно-сти хотя бы одного из аргументов задана на (-∞, ∞) одной формулой, то плотность суммы g(z) можно найти по формулам
где f1(x), f2(y) – плотности распределения слагаемых. Если возможные значения аргументов неотрицательны, то
39. Показательное распределение (экспоненциальное)
Это распределение которое описывается деф.функцией вида:
Где
Интегральная функция:
Для решения данной задачи
Найдем Мат.ожидание НСВ Х распределенной по показательному закону:
Дисперсия НСВ Х распределенной по показательному закону:
Среднеквадратическое отклонение НСВ Х:
40. Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t. Функция надежности.
Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t0 = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F(t) = p(T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна
R(t) = p(T > t) = 1 – F(t).
Эта функция называется функцией надежности.
Показательный закон надежности.
Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть
F(t) = 1 – e-λt .
Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:
R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e-λt) = e-λt .
Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством
R(t) = e-λt ,
где λ – интенсивность отказов.
41. Интегральная функция распределения двумерной СВ.
Пусть (ХУ) –двумерная СВ а ху пара действительных чисел. Обозначим через F(x,y) – вероятность события состоящего в том что СВ Х примет значение <х и в тоже время СВ У <у при изменении чисел х, у будет изменятся F(x,y) т.е F(x,y) рассматривается как функция от х и у.
Интегральная функция распределения двумерной СВ – это функция F(x,y) которая для каждой пары чисел (x,y) определяет вероятность того что СВ Х примет значение<х и в тоже время СВ У <у :
Свойства:
1)значение интегральной функции F(x,y) удовлетворяет:
2) интегральная функция F(x,y) является неубывающей функцией по каждому аргументу:
3) для интегральной функции распределения двумерной СВ справедливо:
4) при
При помощи интегральной функции F(x,y) системы СВ Х и У можно рассматривать и рассчитать вероятность того что в результате эксперемента случайная точка попадает в полуполосу
Для определения вероятности попадания случайной точки в полуполосу х:
42. Деф.функция двумерной НСВ.
Двумерная НСВ может быть задана не только при помощи интегральной но и при помощи деф.функции распределения вероятностей.
Деф.функция распределения двумерной НСВ Х и У это вторая смешенная частная производная от интегральная функции F(x,y):
Если известна деф.функция f(x,y) двумерной СВ то интегральную функцию F(x,y) можно рассчитать по формуле
Свойства:
1) деф.функция f(x,y) является неотрицательной
2) двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от деф.функции =1
3) если все возможные значения (x,y) принадлежат конечной области Д то
43. (1) Условные законы распределения
Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.
Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.
Условная плотность распределения вычисляется по формулам:
Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.