Выборочные наблюдения (стр. 3 из 4)

2. Расчетная часть

2.1. Решение задач по теме механическая (систематическая) выборка.

Задача 1. В области зарегистрировано 6000 малых предприятий. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определений средней численности занятых с ошибкой

человека (P=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение численности занятых составляет 9 человек. Произведем расчет, воспользовавшись формулой (1.2):

n=

С учетом полученного необходимого объема выборки (177 предприятий) определим интервал отбора:

6000:177=33,9

Определенный таким образом интервал всегда округляется в меньшую сторону, так как при округлении в большую сторону произведенная выборка не достигает рассчитанного по формуле необходимого объема. Следовательно, в нашем примере из общего регистра малых предприятий необходимо отбирать каждое 33-е предприятие. При этом процент отбора составит 3,03 % (100%:33).

Задача 2. В городе А 10 тыс. семей. В порядке механической выборки предполагается определить долю семей в городе А с числом детей три и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2. Рассчитаем необходимую численность выборки:

n = 4· 0,2 · 10 000 / (0,02)2 · 10 000 + 4 · 0,2 = 1 666 семей

При повторном способе отборки численность выборки рассчитывается по формуле:

n = w (1-w) t2 / Δ2

При типической (районированной) выборке генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы по какому-либо признаку или районы. Из каждой типической группы или района в случайном порядке отбираются единицы выборочной совокупности. Отбор единиц из типов может производиться тремя методами: пропорционально численности единиц типических групп, непропорционально численности единиц типических групп, пропорционально колеблемости в группах.

Рассмотрим типическую выборку с пропорциональным отбором единиц из типических групп. Объем выборки из типической группы при отборе, пропорциональном численности единиц типических групп, определяется по формуле

= n ·

где

— объем выборки из типической группы;

n — общий объем выборки;

— объем типической группы;

N — объем генеральной совокупности.

Средняя ошибка выборочной средней при бесповторном случайном и механическом способе отбора внутри типических групп рассчитывается по формуле (1.2), где

- средняя из выборочных дисперсий типических групп.

2.2. Решение задач по теме типическая (стратифицированная) выборка

Задача 1. Общая численность населения области составляет 1 млн. чел., в том числе городского – 600 тыс. чел. И сельского – 400 тыс. чел. Если в ходе выборочного наблюдения планируется обследовать 50 тыс. жителей, то эта численность должна быть поделена пропорционально объему типических групп:

городское населения -

= 50000* = 30000 чел.;

сельское население -

= 50000* = 20000 чел.

Процесс формирования данной выборки представлен на рисунке 1 (см. Приложение). Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:

(повторная выборка) (1.4)

(бесповторная выборка) (1.5)

где

- средняя из выборочных дисперсий типических групп.

Рассмотрим данный вариант типической выборки на условном примере.

10-% бесповторный типический отбор работников предприятия, пропорциональный размерам цехов, проведенный с целью оценки потерь из-за временной нетрудоспособности, привел к следующим результатам (табл. Результаты обследования работников предприятия в Приложении).

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

= =

Определим среднюю и предельную ошибки выборки (с вероятностью 0,954):

= 0.29;

Рассчитаем выборочную среднюю:

= 14.6 дня.

В результате проведенных расчетов с вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число дней временной нетрудоспособности одного работника в целом по предприятию находится в пределах:

14,6-0,58

14.6+0.58/

При определении необходимого объема типической выборки в рассмотренных выше формулах (1.4) и (1.5) общую дисперсию наблюдаемого признака необходимо заменить на среднюю из внутригрупповых дисперсий. Тогда данные формулы примут следующий вид:

n =

(повторный отбор) (1.6)

n =

(бесповторный набор) (1.7)

Предположим, в рассмотренном выше примере нам необходимо определить среднее число дней временной нетрудоспособности одного работника с предельной ошибкой 0,5 дня. Учитывая величину полученной ранее средней из внутригрупповых дисперсий определим необходимый объем типической выборки при условии бесповторного объема:

n =

= 420.4/

Таким образом, мы получили, что при заданных условиях для достижения требуемой точности необходимо обследовать выборочным методом не менее 421 чел. Распределим эту численность на три цеха рассматриваемого предприятия пропорционально их размерам:

= 421 = 131.6

= 421 = 184.2

= 421 = 105.3

Расчеты показывают, что в 1-м цехе необходимо обследовать 132 чел., во 2-м цехе-184 чел. И в 3-м цехе-105 человек.

2.3. Решение задач по теме собственно-случайная выборка

Задача 1. Предприятию связи с вероятностью 0,954 необходимо определить удельный вес телефонных разговоров продолжительностью менее 1 мин. с предельной ошибкой 2%. Сколько разговоров нужно обследовать в порядке собственно-случайного повторного отбора для решения этой задачи?

Для получения ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (1.6) и будем ориентироваться на максимальную возможную дисперсию доли телефонных разговоров такой продолжительности. Расчет приводит к следующему результату:

n =

= 2500

Таким образом, обследованием должны быть охвачены не менее 2500 разговоров на предмет их продолжительности.

Задача 2. Имеются следующие данные по РФ об урожайности и посевных площадях озимых зерновых культур в 1991 и 1995 гг. (первые пять граф таблицы).

Определить:

1. Общий индекс урожайности озимых зерновых культур;

а) переменного состава

б) фиксированного состава

2. Индекс структурных сдвигов.

Решение:

1. Общий индекс урожайности озимых зерновых культур:

I_y=åY₁П₁/åY₀П₀

I_y=(16,9*8,2+12,6*3,2+28,3*0,47)/(28,1*9,2+16,4*6,5+35,1*0,78)=0,490

а) Индекс переменного состава исчисляется по формуле:

I_p=(åY₁П₁/åП₁)/ (åY₀П₀/åП₀)

Ip=((16,9*8,2+12,6*3,2+28,3*0,47)/(8,2+3,2+0,47))/((28,1*9,2+16,4*6,5+35,1*0,78)/(9,2+6,5+0,78))=0,679

б) Индекс фиксированного состава исчисляется по формуле: