Планирование и организация эксперимента (стр. 6 из 6)
Отбросив (приравняв к нулю) незначимые коэффициенты, получим уравнение связи между откликом у и факторами хi:
y = f(x1, x2, x3) = ϴ0 + ϴ1·x1 + ϴ2·x2 + ϴ3·x3 + ϴ4·x1·x2 + ϴ6·x2·x3 + ε.
11. Оценим адекватность математической модели.
Для проверки адекватности полученной математической модели производится оценка дисперсии адекватности:
,где d = 6 - число значимых коэффициентов в уравнении; n = 8 - число опытов.
Найдем
, используя выбранную математическую модель и полученные коэффициенты регрессии.= ϴ0 + ϴ1 + ϴ2 + ϴ3 + ϴ4 + ϴ6 = 241,29947.
= ϴ0 - ϴ1 + ϴ2 + ϴ3 - ϴ4 + ϴ6 = 10,70687.
= ϴ0 + ϴ1 - ϴ2 + ϴ3 - ϴ4 - ϴ6 = 140,3821.
= ϴ0 - ϴ1 - ϴ2 + ϴ3 + ϴ4 - ϴ6 = 12,4347.
= ϴ0 + ϴ1 + ϴ2 - ϴ3 + ϴ4 - ϴ6 = 233,3867.
= ϴ0 - ϴ1 + ϴ2 - ϴ3 - ϴ4 - ϴ6 = 2,79413.
= ϴ0 + ϴ1 - ϴ2 - ϴ3 - ϴ4 + ϴ6 = 128,9781.
= ϴ0 - ϴ1 - ϴ2 - ϴ3 + ϴ4 + ϴ6 = 1,03069.
Тогда S2ад = 0,871040685.
Сформулируем гипотезу об адекватности модели:
Н0: Fкрит> F – модель адекватна,
Н1: Fкрит< F – модель не адекватна.
Для проверки гипотезы об адекватности воспользуемся критерием Фишера для выбранного уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы числителя при d = 6 и n = 8,
, для знаменателя при 
. Найдем критическое значение критерия Фишера по таблице:Fкрит(0,05; 2; 32) = 3,295.
Вычислим расчетное значение критерия Фишера по формуле:
= 
= 1,04657.Сравнив рассчитанное и критическое значения критерия Фишера, получим Fкрит > F, следовательно, данная модель является адекватной, принимаем гипотезу Н0.
12. Запишем модель в размерном виде для всех значимых коэффициентов. Для того чтобы перевести модель в размерный вид необходимо перейти от безразмерных величин к размерным величинам для этого формулу
подставляем в уравнение 
, занулив при этом незначимые коэффициенты. В результате получаем:y=
. 
Рассчитаем новые коэффициенты:
Θ0Р= -1,3119 ≈ -1,31;
Θ1Р= 1,9156 ≈ 1,92;
Θ2Р= 2,1512 ≈ 2,15;
Θ3Р= 14,6108 ≈ 14,61;
Θ4Р= 2,56613 ≈ 2,57;
Θ6Р= -3,8793 ≈ -3,88.
Запишем математическую модель в окончательном виде:
y = -1,31 + 1,92·x1 + 2,15·x2 + 14,61·x3 + 2,57·x1·x2 - 3,88·x2·x3.
13. Анализ робастности регрессионной модели.
Под анализом робастности понимается выяснение практической возможности полученной регрессионной модели.
Определяем коэффициент детерминации, который показывает долю общего рассеяния относительно среднего, обусловленного регрессионной зависимостью (20):
(20)где
- среднее по опыту; 
- расчетные значения отклика; 
- значение отклика для i-того опыта в j-том повторе; 
- среднее средних значений по опыту;i – количество опытов при каждом уровне фактора;
j – количество повторов в каждом опыте.
R2 = 0,999995357.
Модель считается работоспособной, если R2 > 0,75.
Таким образом, полученную регрессионную модель
y = -1,31 + 1,92·x1 + 2,15·x2 + 14,61·x3 + 2,57·x1·x2 - 3,88·x2·x3 можно считать работоспособной, так как R2 =0,999995357> 0,75.
Заключение
В результате проделанной работы мы познакомились с основными математическими статистическими методами планирования эксперимента, а также с методами анализа законов распределения вероятностей случайных величин. На первоначальном этапе была собрана априорная информация, необходимая для дальнейшего исследования, было выдвинуто предположение о виде закона распределения случайной величины и проведено доказательство данного предположения, были определены оценки параметров данного распределения. Во второй части работы выяснялась зависимость между факторами, действующими на исследуемую величину, и изменение этой величины. Для предвидения влияния определенных факторов используется полный факторный эксперимент для построения регрессионной математической модели. Эта модель позволяет нормировать измерения вне зависимости от влияющих факторов или указывает на влияющее воздействие, которое необходимо устранить.
Несмотря на простоту методов, они представляют собой мощный механизм повышения качества продукции и могут использоваться для решения весьма обширного круга задач, когда приходится принимать решения в условиях действия многочисленных влияющих на процесс факторов.
Преимущество простых статистических методов здесь выражается в том, что появляется возможность проведения корректировки производственного процесса еще тогда, когда в нем возникают некоторые отклонения, которые еще не приводят к браку, но уже создают угрозу появления дефектной продукции. Такое управление качеством процессов, называемое управлением по отклонениям, неизмеримо эффективнее, чем применяемый в настоящее время контроль качества продукции по результатам, при котором контролируется не процесс, а продукция на разных стадиях ее изготовления путем применения либо сплошного, либо выборочного статистического контроля.
Список использованной литературы
1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 816 с. - ISBN 5-9221-0707-0.
2. ГОСТ Р ИСО 5479-2002 «Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения».
3. ГОСТ Р 50779.21–2004 (ИСО 2854:1976) «Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным».
4. Козлов М. В., Прохоров А. В. Введение в математическую статистику. – М.: Изд-во МГУ, 1987. - 264 с.
Приложение А
Выборка случайных величин (n=500)
| -6,039 | 8,182 | 2,386 | -1,405 | -1,341 | 0,481 | 1,487 | -1,914 | 1,927 | 1,314 |
| 4,828 | 5,229 | 0,682 | 1,011 | 8,332 | 7,836 | 1,603 | -7,404 | -0,775 | 4,862 |
| 3,465 | 10,157 | 3,674 | 9,962 | -9,91 | 2,469 | -2,922 | 0,868 | 8,28 | -1,985 |
| 0,843 | 4,482 | 6,526 | -2,986 | 6,385 | 4,69 | 0,476 | 6,223 | 9,079 | 4,998 |
| 8,044 | 8,701 | -4,03 | -7,621 | -0,34 | 2,194 | 8,934 | -2,333 | 2,955 | 4,075 |
| 5,473 | -5,083 | -3,823 | 4,87 | 1,635 | 5,869 | 3,929 | 11,45 | 2,573 | 1,889 |
| 2,756 | 8,121 | 5,545 | 3,533 | 3,567 | 2,582 | -0,46 | -1,214 | 6,021 | -7,342 |
| -3,455 | 1,978 | 14,732 | 9,607 | -7,862 | 1,796 | -3,272 | -5,256 | -2,111 | 2,827 |
| 5,118 | 2,557 | 5,846 | -1,178 | 2,336 | -4,473 | -5,304 | 3,005 | 4,356 | 14,237 |
| -6,238 | 5,192 | -0,269 | -0,993 | -1,5 | 6,106 | -9,396 | 7,457 | -8,051 | 4,991 |
| 1,868 | -5,578 | -1,422 | -3,17 | -0,059 | 1,736 | 4,415 | -1,995 | 2,306 | 2,844 |
| 7,643 | -0,201 | 6,662 | 2,676 | 5,002 | -1,745 | 2,679 | 4,28 | -5,764 | -4,329 |
| 1,12 | 0,521 | 4,192 | -1,037 | -4,674 | 1,285 | 3,825 | 11,484 | 3,84 | 3,773 |
| 4,906 | -0,508 | 6,75 | 1,236 | 4,264 | 9,361 | -5,654 | 10,331 | 5,76 | -0,549 |
| 8,373 | 3,088 | -2,867 | 0,345 | 2,591 | 3,879 | 0,223 | 7,841 | 6,511 | -5,032 |
| -1,449 | -4,89 | 8,443 | 2,751 | 6,067 | 5,058 | 3,943 | 2,742 | 0,1 | 4,438 |
| 1,369 | -0,83 | 5,17 | 7,178 | -0,925 | 4,873 | 1,166 | 5,428 | 7,005 | 3,767 |
| 1,203 | -1,443 | 1,025 | -2,7 | 10,662 | 5,313 | 4 | 3,74 | 3,732 | 8,351 |
| 7,817 | -3,211 | 2,59 | 4,077 | -4,839 | 10,971 | 8,261 | -10,759 | 9,01 | -0,023 |
| 1,159 | 4,033 | 5,974 | 3,513 | 3,453 | 5,278 | -4,612 | -4,47 | 6,845 | 8,102 |
| -4,82 | 12,02 | 2,285 | 2,472 | -4,175 | 3,413 | -8,04 | 4,209 | 5,778 | 3,31 |
| -0,791 | 2,726 | 0,562 | -6,808 | 11,105 | 9,814 | 10,349 | -3,131 | 5,792 | 0,443 |
| -7,87 | 10,94 | -4,077 | -4,312 | 6,876 | -6,628 | 1,787 | -0,154 | 2,04 | -3,595 |
| 6,714 | -4,498 | -4,164 | -11,405 | -2,002 | 6,619 | 6,888 | -4,194 | 2,904 | 8,026 |
| 8,265 | 4,371 | -4,374 | 5,451 | 3,03 | 0,104 | 7,629 | -0,864 | 1,096 | 3,456 |
| -2,344 | 2,769 | 7,967 | 3,753 | -0,298 | 0,809 | 3,772 | 0,019 | 0,209 | -1,403 |
| -0,233 | -4,28 | 7,226 | -4,47 | 5,764 | 2,096 | 2,558 | 7,107 | -0,032 | 4,517 |
| 10,377 | 1,076 | -0,236 | 8,311 | 7,472 | 2,134 | 3,553 | 2,102 | 13,981 | 0,905 |
| -4,847 | 10,066 | 1,002 | 2,685 | 4,871 | -4,54 | -0,743 | 1,27 | 4,954 | -4,076 |
| 5,253 | -0,52 | -7,13 | -3,944 | 2,082 | -1,537 | -9,642 | 4,944 | -5,491 | -0,845 |
| -3,71 | 3,529 | 3,542 | -1,729 | 1,496 | -4,809 | -1,662 | 9,107 | 6,093 | -1,445 |
| 10,559 | -7,257 | -0,915 | -0,841 | -5,139 | -0,932 | 0,872 | 0,258 | 4,981 | 0,812 |
| -2,581 | -0,091 | 8,148 | 0,514 | -0,251 | 2,096 | 4,727 | -3,021 | -4,292 | 4,883 |
| -5,084 | 3,343 | -1,287 | 6,799 | 6,756 | 4,403 | -10,361 | 2,517 | 3,787 | 7,52 |
| -7,462 | 4,425 | -4,425 | 2,846 | 1,657 | 5,512 | 0,544 | 0,011 | 0,1 | -3,012 |
| -2,02 | 0,345 | 1,434 | 6,536 | 5,632 | 8,212 | -2,882 | 2,978 | -1,095 | 3,067 |
| 6,546 | 8,398 | 12,29 | -7,319 | 0,196 | 0,568 | 4,242 | -1,027 | 6,687 | 0,275 |
| 5,741 | -4,407 | -4,091 | -1,456 | -2,697 | 4,082 | 1,004 | 6,881 | 2,583 | -2,917 |
| 10,422 | -5,135 | 7,478 | 9,164 | -1,261 | 4,897 | -4,234 | 6,422 | -2,268 | -1,219 |
| 1,279 | 4,951 | -2,452 | 2,887 | 0,969 | 0,71 | 11,569 | -2,504 | 5,845 | 0,399 |
| 4,912 | -3,373 | 4,596 | -0,601 | 5,103 | -0,137 | 3,035 | -0,665 | 8,49 | -3,68 |
| 2,145 | 0,84 | 9,438 | 1,97 | 2,114 | 1,819 | 6,123 | 0,657 | 6,11 | 5,064 |
| 11,57 | -3,025 | -2,993 | 4,973 | 8,625 | 3,975 | -3,728 | 4,871 | -3,183 | -3,5 |
| -1,981 | 0,704 | 7,943 | 12,774 | 1,313 | 4,96 | 2,336 | -0,984 | 6,594 | -6,467 |
| 0,317 | 1,919 | -3,085 | 7,993 | 10,955 | 0,851 | -6,562 | 9,876 | 5,189 | 2,623 |
| 2,575 | 8,101 | 13,832 | 5,362 | -1,571 | -4,962 | 3,176 | -1,259 | 8,897 | -2,329 |
| 9,168 | 5,812 | -7,515 | 7,226 | -2,184 | -1,596 | 6,68 | 2,496 | -1,247 | -1,883 |
| 9,333 | -8,179 | -0,499 | 8,907 | -1,871 | -1,445 | -1,49 | -12,141 | 0,976 | 0,66 |
| 3,985 | 3,051 | 1,987 | 9,918 | 0,25 | 4,785 | 2,165 | 5,953 | 2,625 | 9,295 |
| 9,846 | 4,785 | -0,32 | 4,777 | 3,067 | 3,298 | 3,604 | -2,463 | 7,195 | 0,133 |
Приложение Б
Выборка случайных величин (n=30)
| -5,623 | 0,893 | 4,587 | -3,576 | -1,016 | 3,500 |
| 5,124 | 4,282 | 0,542 | 1,656 | 12,398 | 2,723 |
| 2,788 | 3,331 | 4,010 | 2,556 | -2,365 | 3,956 |
| -7,706 | -6,927 | 0,867 | 9,781 | 4,695 | -0,813 |
| -0,347 | 9,380 | 4,619 | -0,675 | -0,312 | -0,481 |