Математические методы в маркетинге 2 (стр. 8 из 8)
Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна
где μ совпадает с математическим ожиданием величины Х: μ =М(Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: s =s(Х). График функции нормального распределения, как видно из рисунка, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты (а; 1/σ√2π). Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра μ (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох.
Нормальное распределение с параметрами μ=0 и s=1 называется нормированным. Функция распределения СВ в этом случае будет иметь вид:
.
(1)Проверим оценки студентов по предмету «Методы СЭП» на нормальность распределения, используя Хи критерий.
Критерий Пирсона, или критерий χ2 — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.
Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H0 о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического F * (x) и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.
Для проверки критерия вводится статистика:
(2)где
— предполагаемая вероятность попадания в i-й интервал, 
— соответствующее эмпирическое значение, ni — число элементов выборки из i-го интервала.Эта величина в свою очередь является случайной (в силу случайности X) и должна подчиняться распределению χ2.
Таблица (2)
Таблица (3)
Распределение не подчиняется нормальному закону.
Проведя дальнейшую подгонку распределений, можно будет заметить, что для обеих выборок оно будет биноминальным, т.е. приближенным к нормальному.
Рассмотрим средние в двух выборках «Методы СЭП 48» и «Методы СЭП 47». Предположим, что они равны в двух независимых выборках. Для исследования воспользуемся t-критерием Стьюдента для независимых выборок.
Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок
В случае с незначительно отличающимся размером выборки применяется упрощённая формула приближенных расчётов:
(3)В случае, если размер выборки отличается значительно, применяется более сложная и точная формула:
(4)Где M1M2- средние арифметические,σ1 σ2- стандартные отклонения, а N1N2 – размеры выборок.
Количество степеней свободы рассчитывается как
(5)Таблица (4)
Из таблицы видно, что гипотеза о равенстве средних имеет место, при этом так же верна гипотеза о равенстве дисперсий.Итак, в ходе проведенного исследования, выяснилось, что курсы по улучшению навыков работы с программой Статистика могут быть проведены в обеих группах, так как средняя успеваемость студентов равна.
Исследование 2.
В течение второго семестра студенты групп 47 и 48 посещали занятия и улучшали свои познания в области статистического анализа с помощью программы Статистика. В конце курсов они должны были предоставить индивидуальные отчеты с различными анализами файлов статистических данных. Помимо этого студенты должны были уметь объяснять суть проведенных анализов. Были выставлены оценки, которые занесены в вышеприведенную таблицу (1).
Выставленные оценки в двух группах так же проверим на нормальность распределения.
Таблица (5)
Таблица (6)
Таблицы (5) и (6) ясно дают понять, что полученные оценки также не имеют нормального распределения.
Следующий анализ – анализ средних в двух выборках с помощью t-критерия Стьюдента.
Таблица (7)
Средние приблизительно равны, так как уровень значимость р-критерия равен 0,615. Так же верна гипотеза о равенстве дисперсий.