Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов 2 (стр. 2 из 6)
Для анализа данного временного ряда используется совокупность методов в зависимости от цели анализа.
1 направление: поверхностное изучение закономерностей развития того или другого показателя. Используются различные числовые характеристики: абсолютный прирост, темп роста, темпы прироста, абсолютный размер 1% прироста и др. Используются средине величины: среднегодовой уровень, среднегодовой темп роста, среднегодовой темп прироста, коэффициент сезонности, сезонные колебания, сезонная волна.
2 направление: более глубокое изучение закономерностей развития показателя. Используется компонентный анализ, который представляет из себя разложение данного временного ряда на конечное число соответствующих. Любой экономический процесс может быть представлен хотя бы одним из нижеуказанных компонент.
Наиболее часто встречающимися, на которые можно разложить временной ряд, являются следующие:
U (t) – характеризует устойчивые систематические изменения уровней ряда, т.е. тренд
K (t) – нестрого периодические циклические колебания
V (t) – строго периодические колебания (сезонные).
E (t) – случайная компонента (несистематические колебания, которые возникают от случая.
Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и общая тенденция развития неясна.
На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.
Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.
Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменения уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.
Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.
Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т. д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.
Рассмотрим применение метода укрупнения интервалов на ежемесячных данных о выпуске продукции на предприятии в 1996 г. (табл. 4).
Объем производства продукции предприятия (по месяцам) в сопоставимых целях, млрд.руб.
Таблица 4
Месяц | Объем производства |
| Январь | 5,1 |
| Февраль | 5,4 |
| Март | 5,2 |
| Апрель | 5,3 |
| Май | 5,6 |
| Июнь | 5,8 |
| Июль | 5,6 |
| Август | 5,9 |
| Сентябрь | 6,1 |
| Октябрь | 6,0 |
| Ноябрь | 5,9 |
| Декабрь | 6,2 |
Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам (табл. 5) , т. е. укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается.
Объем производства продукции предприятия (по кварталам) в сопоставимых ценах, млрд.руб.
Таблица 5
| Квартал | За квартал | В среднем за месяц |
| I | 15.7 | 5.23 |
| II | 16.7 | 5.57 |
| III | 17.6 | 5.87 |
| IV | 18.1 | 6.03 |
После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной:
5,23< 5,57< 5,87< 6,03 млрд руб.
Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3,5,7 и т. д. ), первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т. д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.
Расчет скользящей средней по данным об урожайности зерновых культур приведен в табл.6
Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га
Таблица 6
| Год | Фактический уровень урожайности | Скользящая средняя | |
| трехлетняя | пятилетняя | ||
| 1986 | 15,4 | - | - |
| 1987 | 14 | (15,4+14,0+17,6) / 3 = 15,7 | - |
| 1988 | 17,6 | (14,0+17,6+15,4) / 3 =15,7 | 14,7 |
| 1989 | 15,4 | (17,6+15,4+10,9) / 3 =14,6 | 15,1 |
| 1990 | 10,9 | 14,6 | 15,2 |
| 1991 | 17,5 | 14,5 | 17,1 |
| 1992 | 15 | 17 | 16,8 |
| 1993 | 18,5 | 15,9 | 17,6 |
| 1994 | 14,2 | 15,9 | - |
| 1995 | 14,9 | - | - |
| Итого ∑ y = 153,4 | |||
Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям – на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из–за случайных причин и четче, в виде некоторой плавной линии на графике (рис. 2), выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития.
Рис. 2 Динамика уровня урожайности
Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, потеря информации.
Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.
Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.
Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:
yt = f (t),
где yt – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.
Определение теоретических (расчетных) уровней yt производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппромиксирует) основную тенденцию ряда динамики.
Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).
Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:
линейная функция – прямая yt = а0 + а1t,
где а0, а1 – параметры уравнения;
t – время;
показательная функция yt = а0 а1t,;
степенная функция – кривая второго порядка (парабола)
yt = а0 + а1t + а2t2.
В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.
Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями: