Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов 2 (стр. 3 из 6)
∑ (yt – yi)2 → min
где yt – выравненные (расчетные) уровни;
yi – фактические уровни.
Параметры уравнения аi , удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней yi плавно изменяющимися уровнями yt, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.
Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).
Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.
Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: yt = а0 + а1t. Параметры а0 , а1 согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия (1.1):
а0n + а1∑t = ∑y; (1.1)а0∑t + а1∑t2 = ∑yt ,
где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;
t – время (порядковый номер периода или момента времени).
Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент).
При нечетном числе уровней (например, 6) значения t – условного обозначения времени будет таким (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):
1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.
-5 -3 -1 +1 +3 +5
При нечетном числе уровней (например,7) значения устанавливаются по-другому:
1989 г. 1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
В обоих случаях ∑t = 0, так что система нормальных уравнений (1.1) принимает вид:
∑y = а0 n (1.2)∑yt = а1 ∑t2
Из первого уравнения а0=∑y / n (1.3)
Из второго уравнения а1= ∑yt / ∑t2 (1.4)
Проиллюстрируем на примере урожайности зерновых культур (см. табл.6, расчетные значения – табл.7) выравнивание ряда динамики по прямой.
Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель – уравнение прямой: yt = а0 + а1t . В нашем примере n = 10 – четное число.
Параметры а0 и а1 искомого уравнения прямой исчислим по формулам (1.3) и (1.4).
Таблица 7
Выравнивание по прямой ряда динамики урожайности зерновых культур
| Год | y | t | t2 | y*t | yt | yi - yt | (yi - yt)2 |
| 1986 | 15,4 | -9 | 81 | -138,6 | 15,15 | 0,25 | 0,062 |
| 1987 | 14 | -7 | 49 | -98 | 15,19 | -1,19 | 1,423 |
| 1988 | 17,6 | -5 | 25 | -88 | 15,24 | 2,37 | 5,593 |
| 1989 | 15,4 | -3 | 9 | -46,2 | 15,28 | 0,12 | 0,015 |
| 1990 | 10,9 | -1 | 1 | -10,9 | 15,32 | -4,42 | 19,528 |
| 1991 | 17,5 | 1 | 1 | 17,5 | 15,36 | 2,14 | 4,575 |
| 1992 | 15 | 3 | 9 | 45 | 15,40 | -0,40 | 0,162 |
| 1993 | 18,5 | 5 | 25 | 92,5 | 15,45 | 3,06 | 9,333 |
| 1994 | 14,2 | 7 | 49 | 99,4 | 15,49 | -1,29 | 1,656 |
| 1995 | 14,9 | 9 | 81 | 134,1 | 15,53 | -0,63 | 0,396 |
| ∑ | 153,4 | 0 | 330 | 6,8 | 153,40 | 0 | 42,744 |
Из табл.7 находим
∑ yt = 153,4 ∑ y*t = 6,8 ∑ t2 = 330,
откуда а0 = 153.4 / 10 = 15.34; а1 = 6,8 / 330 = 0,021.
Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид: yt = 15,34 + 0,021 t .
Подставляя в данное уравнение последовательно значения t, равные -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, находим выравненные уровни yt .
Если расчеты выполнены правильно, то ∑ y = ∑ yt . В нашем примере ∑ y = ∑ yt = 153,4. Следовательно, значения уровней ряда найдены верно.
Полученное уравнение показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1986 по 1995 гг. урожайность зерновых культур в среднем возросла на а1 =0,021 ц/га в год.
Фактические и расчетные значения урожайности зерновых культур представим в виде графика (рис.3)
Рис.3. Уровни урожайности зерновых культур (сглаженные)
Соединив точки, построенные по фактическим данным, получим ломаную линию, на основании которой затруднительно вынести суждение о характере общей тенденции в изменении урожайности.
Тенденция роста урожайности зерновых культур в изучаемом периоде отчетливо проявляется в результате построения выравненной прямой yt = 15,34 + 0,021 t .
III. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задание 1
Динамика отпуска электроэнергии за пределы РФ за 1990-2000 гг. характеризуется следующими данными:
Таблица 8
Год | Отпущено электроэнергии, млрд квт.час |
| 1990 | 43,4 |
| 1991 | 47,2 |
| 1992 | 44,0 |
| 1993 | 43,4 |
| 1994 | 41,7 |
| 1995 | 38,0 |
| 1996 | 31,8 |
| 1997 | 26,8 |
| 1998 | 26,4 |
| 1999 | 22,5 |
| 2000 | 22,9 |
| Итого | 388,1 |
Выявить основную тенденцию отпуска электроэнергии за пределы РФ за 1990-2000 гг.:
1) методом трехлетней скользящей средней;
2) методом аналитического выравнивания;
3) изобразить графически фактические и выравненные значения.
Алгоритм решения задачи:
1) Метод трехлетней скользящей средней
Исчисляем средний уровень из 11 первых по счету уровней ряда. Для этого используем формулу средней арифметической:
Y ср = y1 + y2 +… + yn / n
где y1 ;y2; yn – индивидуальные значения варьирующего признака;
n – число единиц совокупности.
В нашем примере трехлетняя скользящая средняя, поэтому n = 3.
Y2 ср = y1 + y2 + y3 / 3 = 43,4 + 47,2 + 44,0 / 3 = 44,87
Y3 ср = y2 + y3 + y4 / 3 = 47,2 +44,0 + 43,4 / 3 = 44,87
Y4 ср = y3 + y4 + y5 / 3 = 44,0 + 43,4 + 41,7 / 3 = 43,03
Y5 ср = y4 + y5 + y6 / 3 =43,4 + 41,7 + 38,0 / 3 = 41,03
Y6 ср = y5 + y6 + y7 / 3 = 41,7 + 38,0 + 31,8 / 3 = 37,17
Y7 ср = y6 + y7 + y8 / 3 = 38,0 + 31,8 + 26,8 / 3 = 32,2
Y8 ср = y7 + y8 + y9 / 3 = 31,8 + 26,8 + 26,4 / 3 = 28,33
Y9 ср = y8 + y9 + y10 / 3 = 26,8 + 26,4 + 22,5 / 3 = 25,23
Y10 ср = y9 + y10 + y11 / 3 = 26,4 + 22,5 + 22,9 / 3 = 23,93
В результате обработки ряда мы видим, что появилась тенденция к существенному уменьшению потребления электроэнергии (в 1990 году расход составил 43,4 млрд.квт.час, в 2000 году – 22,9). Графически эта тенденция выглядит так: