Функціональне відображення поведінки споживача (стр. 2 из 3)

де

і відображають ступінь чутливості стосовно зміни .

Позначимо

, тоді в матричному позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:

,

де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, що облямована цінами, тобто

, де – вектор-рядок.

Припустимо, що

. Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні одержимо

де

– алгебраїчні доповнення елементів , відповідно.

Якщо

, то -й товар називається коштовним (цінним), при збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. На випадок, коли -й товар називається малоцінним.

2. Розглянемо вплив зміни ціни одного товару, наприклад

, на поведінку споживача. Диференціюючи (1) по

, одержимо:

(3)

де

– дельта Кронекера . Запишемо систему (3) у такому вигляді:

.

Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто

, тоді маємо при фіксованому такий розв’язок, який називають рівнянням Слуцького

(4)

Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності. Вираз

називається коефіцієнтом Слуцького. З рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на -й товар зміна попиту на -й товар наведена двома доданками, перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальний ефект = вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на -й товар відбувається зростання доходу (ефект доходу), але він іде не повністю на закупівлю -го товару – частина його витрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).

Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх

та таких, що , тоді матриця розміром симетрична й від’ємно визначена, тобто .

Можна встановити властивості цієї матриці.

Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначають зміну

, яка є результатом варіації ціни , за умови, що доход підтримується на такому рівні, що значення залишається незмінним.

При

товари та прийнято вважати взаємозамінюючими, при – взаємодоповнюючими, а при – незалежними.

3 Коефіцієнт еластичності

Коефіцієнтом еластичності функції одного аргументу

називається величина, отримана в результаті ділення відносного приросту функції на відносний приріст аргументу. Позначаючи еластичність через , маємо за означенням

,

де

– приріст аргументу;

– викликаний ним приріст функції.

Звичайно праву частину помножують і ділять на 100% та говорять, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків змінюється значення функції при зміні аргументу на 1%.

При

маємо

.

Якщо функція

є функцією декількох аргументів, то говорять про часткові коефіцієнти еластичності

.

Функція попиту

є векторною функцією, її можна розглядати як сукупність функцій попиту на окремі товари , кожна з яких є функцією від змінної. Отже, для кожної з цих функцій існує частковий коефіцієнт еластичності.

Залежно від типу аргументу розрізняють коефіцієнти еластичності за цінами й доходом.

Величини

, що показують, на скільки відсотків зміниться попит на -й товар у розрахунку зміни ціни -го товару на 1%, називають коефіцієнтами еластичності за цінами (якщо – то перехресними коефіцієнтами).

Показники

, що характеризують аналогічно зміну попиту від доходу, називаються еластичністю за доходом.

4 Алгоритми розв’язання задачі споживання

Умови Куна-Такера дають повну характеристику розв’язку, однак не містять конструктивного методу його пошуку. Одними з алгоритмів розв’язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтні методи.

Процес знаходження розв’язку ЗНП градієнтними методами полягає в тому, що, починаючи з деякої точки

, здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок, поки не буде знайдений прийнятний розв’язок задачі. При цьому градієнтні методи розділяють на два класи.

До першого класу відносять методи, в яких точки

, що досліджуються, не виходять за межі області припустимих розв’язків задачі. Найпоширенішим з таких є метод Франка-Вульфа.

До другого класу методів відносять методи, під час використання яких досліджувані точки

можуть як належати, так і не належати області припустимих значень (метод Ероу-Гурвіца, метод штрафних функцій).