Смекни!
smekni.com

Метод экспертных оценок (стр. 9 из 11)

3.4. Обработка парных сравнений объектов

При решении задачи оценки большого числа объектов (ранжирование, определение относительных весов, бал­льная оценка) возникают трудности психологического характера, обусловленные восприятием экспертами мно­жества свойств объектов. Эксперты сравнительно легко решают задачу парного сравнения объектов. Возникает вопрос, каким образом получить оценку всей совокуп­ности объектов на основе результатов парного сравнения, не накладывая условия транзитивности? Рассмотрим алгоритм решения этой задачи. Пусть m экспертов про­изводят оценку всех пар объектов, давая числовую оценку [12]

(5.36)

Если при оценке пары

экспертов высказались в пользу предпочтения
экспертов высказались наоборот
и
экспертов считают эти объекты равноценными, то оценка математического ожидания случайной величины
равна [12]

(5.37)

Общее количество экспертов равно сумме

(5.38)

Определяя отсюда

и подставляя его в (5.37), полу­чаем [12]

(5.39)

Очевидно, что

Совокупность величин
образует матрицу
на основе которой можно по­строить ранжировку всех объектов и определить коэф­фициенты относительной важности объектов.

Введем вектор коэффициентов относительной важно­сти объектов порядкаt следующей формулой [12]:

(5.40)

где

- матрица
математических ожиданий оценок пар объектов,
- вектор коэф­фициентов относительной важности объектов порядка t.Величина
равна [12]

(5.41)

Коэффициенты относительной важности первого по­рядка есть относительные суммы элементов строк мат­рицы X. Действительно, полагая t=1, из (5.40) получаем [12]

(5.42)

Коэффициенты относительной важности второго по­рядка (t=2} есть относительные суммы элементов строк матрицы X2 [12].

(5.43)

Если матрица Х неотрицательна и неразложима, то при увеличении порядка

величина
сходится к максимальному собственному числу матрицы Х[12]

(5.44)

а вектор коэффициентов относительной важности объек­тов стремится к собственному вектору матрицы X, соот­ветствующему максимальному собственному числу

(5.45)

Определение собственных чисел и собственных век­торов матрицы производится решением алгебраического уравнения [12]

(5.46)

где Е—единичная матрица, и системы линейных урав­нений [12]

(5.47)

гдеk – собственный вектор матрицы X, соответствующий максимальному собственному числу

. Компоненты соб­ственного вектора есть коэффициенты относительной важности объектов, измеренные в шкале отношений.

С практической точки зрения вычисление коэффици­ентов относительной важности объектов проще произво­дить последовательной процедурой по формуле (5.40) при t=1, 2, … Как показывает опыт, 3-4 последователь­ных вычислений достаточно, чтобы получить значения

и k, близкие к предельным значениям, определяемым уравнениями (5.46), (5.47).

Матрица

неотрицательная, поскольку все ее элементы (5.39) неотрицательны. Матрица называется неразложимой, если перестановкой рядов (строк и одно­именных столбцов) ее нельзя привести к треугольному виду [12]

(5.48)

где

- неразложимые подматрицы матрицы X. Пред­ставление матрицы Х в виде (5.48) означает разбиение объектов на l доминирующих множеств [12]

(5.49)

При 1=n матрица Х неразложима, т. е. существует толь­ко одно доминирующее множество, совпадающее с ис­ходным множеством объектов. Разложимость матрицы Х означает, что среди экспертов имеются большие раз­ногласия в оценке объектов.

Если матрица Х неразложима, то вычисление коэф­фициентов относительной важности

по­зволяет определить, во сколько раз один объект превос­ходит другой объект по сравниваемым показателям. Вычисление коэффициентов относительной важности объектов позволяет одновременно построить ранжиров­ку объектов. Объекты ранжируются так, что первым объ­ектом считается объект, у которого коэффициент относи­тельной важности наибольший. Полная ранжировка определяется цепочкой неравенств [12]

из которой следует

Если матрица Х является разложимой, то определить коэффициенты относительной важности можно только для каждого множества

. Для каждой матрицы
определяется максимальное собственное число и соответ­ствующий этому числу собственный вектор. Компоненты собственного вектора и есть коэффициенты относитель­ной важности объектов, входящих в множество
. По этим коэффициентам осуществляется ранжировка объ­ектов данного множества. Общая ранжировка объектов дается соотношением [12]

Таким образом, если матрица Х неразложима, то по результатам парного сравнения объектов возможно какизмерение предпочтительности объектов в шкале отно­шений, так и в шкале порядка (ранжирование). Если же матрица Х разложима, то возможно только ранжиро­вание объектов.

Следует отметить, что отношение предпочтения

может быть выражено любым положительным числом С. При этом должно выполняться условие
В частности, можно выбрать С=2 так, что если
, то
если
то
и если
, то
.