Логистические операции (стр. 2 из 6)

Анализ выпуска продукции. Предприятие выпускает три вида изделия, используя три вида ресурсов.

Таблица 2.1

Ресурсы	Ед.изм.	Виды изделий			Суточный объем ресурса
Ресурсы	Ед.изм.	П1	П2	П3	Суточный объем ресурса
1.Материалы	д.е.	2	8	5	800
2 Трудовые	чел.-дней	8	5	8	1000
3. Оборудование	ст.-час	2	3	6	2000
Цена ед. изделия	д.е.	75	65	25
Себестоимость ед. изделия	д.е.	60	15	38

1. Определить входные и выходные потоки и построить логистическую систему производства.

2. Составить математические модели процессов производства и найти оптимальные потоки, максимизирующие объем производства в стоимостном выражении (целевая функция L1).

3. Провести экономический анализ оптимального процесса по последней симплекс-таблице.

4. Найти условие устойчивости структуры оптимального решения по отношению к изменениям: а) ресурсных входных потоков, б) коэффициентов целевой функции Cj.

5. Определить оптимальные потоки продукции, минимизирующие затраты производства при дополнительном условии выпуска продукции не меньше 45 % от максимально возможного (L1 max).

Примечание: 1. Задача решается аналитическим методом с применением симплекс-таблиц. 2. Работу сопровождать подробными записями и в выводах приводить экономическое наполнение полученных данных.

Решение:

Входной поток – материалы 800 д.е. / день. Выходной поток – готовая продукция. В зависимости от объемов производства.

Составим математическую модель производства. Пусть х₁ , х₂ , х₃ – объемы производства изделий П1, П2 и П3 соответственно. Тогда можно сформулировать ограничения на выпуск продукции исходя из ограниченности ресурсов:

2х₁ + 8х₂ + 5х₃ ≤ 800

8х₁ + 5х₂ + 8х₃ ≤ 1000

3х₁ + 3х₂ + 6х₃ ≤ 2000

х₁ ≥ 0 ; х₂ ≥ 0; х₃ ≥ 0

L1 = 75х₁ + 65х₂ + 25х₃ → max

Сиcтема отражает ограничения на потребляемые ресурсы. А целевая функция показывает стоимость произведенной продукции, которую надо максимизировать.

Для решения задачи симплекс-методом представим систему в виде таблицы. Базис задачи составляют дополнительные переменные x₄ , x₅ , x₆ .

Таблица 2.2

Базис	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	b_i	b_i/ a_i1
х₄	2	8	5	1	0	0	800	400
х₅	8	5	8	0	1	0	1000	125
х₆	3	3	6	0	0	1	2000	667
L1	– 75	– 65	– 25	0	0	0	0

Найдем ключевую переменную. Ключевой будет переменная, у которой в строке целевой функции минимальное значение, т.е. x₁ .

Теперь найдем ключевую строку. Ключевой строкой будет та, у которой отношение значения в столбце ресурсов к элементу ключевого столбца будет минимальным. Найдем эти отношения для всех строк:

800 / 2 = 400 ; 1000 / 8 = 125 ; 2000 / 3 = 667 .

Т.о. ключевой строкой является строка x₅.

Элемент находящийся на пересечении ключевого столбца и ключевой строки называется ключевым элементом. Делим всю ключевую строку на ключевой элемент. Теперь вычитаем ключевую строку из всех оставшихся строк системы, так чтобы в ключевом столбце все элементы, кроме ключевого, были нулевыми.

Построим полученную таблицу:

Таблица 2.3

Базис	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	b_i	b_i/ a_i₂
х₄	0	6,75	3	1	– 0,25	0	550	81,48
х₁	1	0,625	1	0	0,125	0	125	200
х₆	0	1,125	3	0	‑0,375	1	1625	1444,44
L1	0	‑18,125	50	0	9,375	0	9375

Исключаем из рассмотрения ключевой столбец (переменная x₁).

Найдем новую ключевую переменную – x₂ и новую ключевую строку:

550 / (6,75) = 81,48 ; 125 / 0,625 = 200 ; 1625 / 1,125 = 1444,44 .

Т.о. ключевой строкой является строка (x₄).

Делим всю ключевую строку на ключевой элемент. Теперь вычитаем ключевую строку из всех оставшихся строк системы, так чтобы в ключевом столбце все элементы кроме ключевого были нулевыми. Построим полученную таблицу:

Таблица 2.4

Базис	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	b_i
х₂	0	1	0,444	0,148	‑0,037	0	81,48
х₁	1	0	0,7225	‑0,0925	0,148	0	74,075
х₆	0	0	2,5	‑0,1665	‑0,333	1	1533,335
L1	0	0	8,0475	2,6825	9,704	0	10850

Все коэффициенты при переменных в строке целевой функции неотрицательные, это означает что достигнуто оптимальное решение. Значения переменных записаны в столбце ресурсов в той строке, на пересечении которой со столбцом переменной стоит не нулевой элемент. Получено оптимальное решение : x₁ = 74 , x₂ = 81,5 , x₃ = 0 , x₄ = 0 , x₅ = 0 , x₆=1533, максимум целевой функции

L1= 10850 (д.е.).

Проверим максимум функции:

L1 = 75 * 74 + 65 * 81,5 + 25 * 0 = 10850 д.е.

Т.е. для максимизации объема продаж в стоимостном выражении предприятие должно выпускать 74 единицы продукции П1 и 81,5 единицы продукции П2.

По последней симплекс таблице видим, что полностью израсходованы материалы и трудовые ресурсы. Оборудование может еще работать 1533 станко-часов.

Определим интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого из видов в отдельности.

Составим матрицу А из элементов столбцов, соответствующих переменных x₄ , x₅ , x₆ оптимальной симплексной таблицы:

Умножим матрицу А на вектор :

где Δb₁ , Δb₂ , Δb₃ – предполагаемое изменение соответствующего вида сырья

Запишем условие неотрицательности компонент полученного вектора AB, которое будет одновременно условием устойчивости базисных оценок.

Определим при каких значениях Δb₁ , Δb₂ , Δb₃ эта система неравенств верна.

Если Δb₁ = Δb₂ = 0 , то решая систему получим Δb₃ ≥ – 1533 .

Если количество доступных станко-часов работы оборудования будет уменьшено в пределах 1533 единиц или увеличено произвольным образом, то двойственное решение системы не измениться.

Если Δb₁ = Δb₃ = 0 , то решая систему получим: – 500 ≤ Δb₂ ≤ 2003.

Если количество доступных человеко-дней будет уменьшено в пределах 500 единиц или увеличено не больше чем на 2003единиц, то двойственное решение системы не измениться.

Если Δb₂ = Δb₃ = 0 , то решая систему получим: – 550 ≤ Δb₁ ≤ 800

Если количество материалов будет уменьшено в пределах 550 единиц или увеличено не больше чем на 800единиц, то двойственное решение системы не измениться.

Проведем анализ устойчивости к изменению коэффициентов целевой функции.

Составим систему по последней симплекс таблице:

Пусть C₁ ≠ 0, а остальные равны нулю. Тогда решение системы – 58,75 ≤ C₁ ≤ 29, т.е. при уменьшении цены товара П1 на 58,75 д.е. и при увеличении на 29 д.е. структура оптимального решения не измениться.

Пусть C₂ ≠ 0, а остальные равны нулю. Тогда решение системы – 18,13 ≤ C₂ ≤ 235, т.е. при уменьшении цены товара П2 на 18,13 д.е. и при увеличении на 235 д.е. структура оптимального решения не измениться.

Пусть C₃ ≠ 0, а остальные равны нулю. Тогда решение системы – 58,04 ≤ C₃, т.е. при уменьшении цены товара П3 на 58,04 д.е. и при ее увеличении.

Сформулируем двойственную задачу.

Пусть у₁ , у₂ , у₃ цены (оценки) единицы ресурсов каждого типа, чтобы при заданных количествах ресурсов и стоимости изделий общие затраты на производство Z были минимальными.

2y₁ + 8y₂+ 3y₃

8y₁ + 5y₂ + 3y₃

5y₁ + 8y₂ + 6y₃

y₁

0 , y₂

0 , y₃