Математические модели и инструментальные средства внутрифирменного управления персоналом (стр. 10 из 11)
hi(t) – количество работников, которое необходимо привлечь в i-ую категорию в период t, t
, i= 
;fi(t) – количество работников i -ой категории, которых необходимо сократить в период t, t
, i= ;di¯(t), di+(t)- отклонения от необходимого количества трудовых ресурсов категории i , i =
, в период t, t , вниз и вверх соответственно.При идеальных условиях хотелось бы на протяжении периода tдля каждой служебной категории иметь в точности ki(t) работников. Однако в зависимости от стоимостных показателей может быть более выгодным отклонение численности работников как в одну, так и в другую сторону от минимальных потребностей.
На первом этапе решения задачи проводится определение численности работников каждой служебной категории методом динамического программирования, в результате применения которого минимизируются суммарные затраты.
Если xi(t) – количество фактически работающих i- ой служебной категории в период t, то возможны затраты трех видов:
– Сi1(t)(xi(t)-ki(t)) – страты, связанные с необходимостью содержать избыток xi(t)-ki(t) работников i- ой служебной категории;
– Сi2(t)(xi(t)-xi(t-1))- затраты, связанные с необходимостью дополнительного найма xi(t)-xi(t-1) работников i- ой служебной категории;
– Сi3(t)(xi(t-1)-xi(t)) - затраты, связанные с необходимостью увольнения xi(t-1)-xi(t) работников i - ой служебной категории.
Элементы модели динамического программирования определяются для каждой служебной категории следующим образом:
1) этап tпредставляется порядковым номером периода t, t
.2) вариантами решения на этапе tявляются значения xi(t) - количество работников на протяжении периода t.
3) состоянием (управлением) на этапе tявляется xi(t-1) - количество работников на протяжении периода t -1.
Рекуррентное уравнение динамического программирования представляется в виде:
где t
, 
.Вычисления начинаются с этапа T при xi(T) = ki(T) и заканчиваются на этапе t= 1. Оптимальное решение
В результате вычислений, проведенных методом динамического программирования будут найдены величины xi(t), hi(t), fi(t) для всех служебных категорий i=
в периоде t 
, при этом будет найдено минимальное значение суммарных издержек.Если полученные суммарные издержки все-таки не укладываются в имеющийся бюджет предприятия, то на втором этапе решения данной задачи определяются оптимальные отклонения от найденных количеств работников. Уменьшение количества работников может быть проведено с помощью следующей модели, позволяющей учитывать возможность перехода работников из одной служебной категорией в другую и бюджет периода.
Критерии (взвешенная сумма нежелательных отклонений от требуемого количества работников):
, i = Ограничения:
1) по количеству работников в каждой служебной категории в периоды времени t, t
(в данные ограничения подставляются найденные на первом этапе величины xi(t) вместо требуемых ki(t)) 
i=
; 
i=
;2) бюджетные
, t 
;3) переходные
, i= , t ;4) требования неотрицательности всех переменных модели и зависимости переменных. Переменные нежелательных отклонений зависимы в том смысле, что только одна из пары этих переменных может принимать положительное значение. То же самое условие должно быть выполнено и для переменных hj(t) и fi(t), определяющих количество нанимаемых и увольняемых i - ой служебной категории в период t. Данные требования определяются следующими соотношениями:
, 
; 
, .Поставленная задача является задачей многокритериальной оптимизации, для решения которой предлагается воспользоваться разработанным нами интерактивным методом уступок. Использование метода уступок для решения задачи многокритериальной оптимизации предполагает, что ЛПР должен на первом этапе решения задачи упорядочить критерии по мере их значимости. Значимость каждого критерия в поставленной задаче соответствует важности обеспечения ресурсами соответствующей должности. Затем на каждом последующем этапе решается однокритериальная задача оптимизации в соответствии со следующим алгоритмом.
В общем случае математическая постановка задачи многокритериальной оптимизации с множеством допустимых решений 
и векторной целевой функцией
может быть записана так: 
или
Будем решать задачу минимизации векторного критерия. Решение задачи по методу уступок проводится в несколько этапов:
1) расположить критерии 
по их значимости (наиболее важный с точки зрения ЛПР располагается первым);
2) найти оптимальное значение 
целевой функции 
;
3) сделать уступку по первому показателю эффективности, т.е. ухудшить величину до значения
;
4) ввести в задачу дополнительное ограничение
;