Прийняття рішень в умовах ризику (стр. 6 из 10)
2. Ухвалення рішень в умовах ризику
Якщо рішення ухвалюється в умовах ризику, то вартості альтернативних рішень звичайно описуються розподілами вірогідності. З цієї причини ухвалюване рішення ґрунтується на використовуванні критерію очікуваного значення, відповідно до якого альтернативні рішення порівнюються з погляду максимізації очікуваного прибутку або мінімізації очікуваних витрат. Такий підхід має свої недоліки, які не дозволяють використовувати його в деяких ситуаціях. Для них розроблені модифікації згаданого критерію. Тут розглядаються часто використовувані підходи до ухвалення рішень в умовах ризику.
2.1 Критерій очікуваного значення
Критерій очікуваного значення зводиться або до максимізації очікуваного (середньої) прибутку, або до мінімізації очікуваних витрат. В даному випадку передбачається, що прибуток (витрати), пов'язаний з кожним альтернативним рішенням, є випадковою величиною.
Дерево рішень.
У приведеному нижче прикладі розглядається проста ситуація, пов'язана з ухваленням рішення за наявності кінцевого числа альтернатив і точних значень матриці доходів.
Приклад 1.
Припустимо, що ви хочете вкласти на фондовій біржі 10 000 доларів в акції однієї з двох компаній: А або В. Акції компанії А є ризикованими, але можуть принести 50% прибутку від суми інвестиції впродовж наступного року. Якщо умови фондової біржі будуть несприятливі, сума інвестиції може знецінитися на 20%. Компанія В забезпечує безпеку інвестицій з 15% прибутку в умовах підвищення котирувань на біржі і лише 5% - в умовах пониження котирувань. Всі аналітичні публікації, з якими можна познайомитися (а вони завжди є удосталь в кінці року), з вірогідністю 60% прогнозують підвищення котирувань і з вірогідністю 40% - пониження котирувань. У яку компанію слід вкласти гроші?
Інформація, пов'язана з ухваленням рішення, підсумовувана в наступній таблиці 1.
| Альтернативне рішення | Прибуток від інвестиції за один рік | |
| При підвищенні | При пониженні | |
| котирувань (дол.) | котирувань (дол.) | |
| Акції компанії А | 5000 | -2000 |
| Акції компанії В | 1500 | 500 |
| Вірогідність події | 0.6 | 0.4 |
Виходячи з схеми таблиці 1, одержуємо очікуваний прибуток за рік для кожної з двох альтернатив.
Для акцій компанії А: $5000 х 0.6 + (-2000) х 0.4 = $2 200. Для акцій компанії В: $1500 х 0.6 + $500 х 0.4 = $1 100.
Вашим рішенням, заснованим на цих обчисленнях, є покупка акцій компанії А.
У теорії ухвалення рішень підвищення і пониження котирувань на біржі іменуються станами природи, можливі реалізації яких є випадковими подіями (в даному випадку з вірогідністю 0.6 і 0.4). У загальному випадку задача ухвалення рішень може включати n станів природи і m альтернатив. Якщо pj - вірогідність j-го стану природи, а aij - платіж, пов'язаний з ухваленням рішення i при стані природи j (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), тоді очікуваний платіж для вирішення i обчислюється у вигляді,
де за визначенням p1+p2+…+pn=1.
Якнайкращим рішенням буде те, яке відповідає 
або 
, залежно від того, чи є платіж в задачі доходом (прибутком) або збитком (витратами).
2.2 Складніші ситуації ухвалення рішень
Для демонстрації інших можливостей застосування критерію очікуваного значення розглянемо ситуації ухвалення рішень, в яких платня є математичною функцією альтернативних рішень. В цьому випадку представлення задачі у вигляді дерева рішень хоча і є можливим, але може бути не таким корисним, як в попередніх прикладах.
Приклад 2.
Електроенергетична компанія використовує парк з 20 вантажних автомобілів для обслуговування електричної мережі. Компанія планує періодичний профілактичний ремонт автомобілів. Вірогідність pt поломки автомобіля після закінчення t місяців після профілактичного ремонту оцінюється таким чином.
Таблиця 2.
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ≥10 |
| pt | 0.05 | 0.07 | 0.1 | 0.13 | 0.18 | 0.23 | 0.33 | 0.43 | 0.5 | 0.55 |
Випадкова поломка одного вантажного автомобіля обходиться компанії в 200 доларів, а планований профілактичний ремонт в 50 доларів. Необхідно визначити оптимальний період (у місяцях) між планованими профілактичними ремонтами. Позначимо через N шукане число місяців між профілактичними ремонтами. Впродовж N-місячного циклу можуть мати місце два види витрат:
1) витрати, пов'язані з усуненням поломки автомобіля впродовж перших N-1 місяців;
2) витрати на профілактичний ремонт в кінці циклу.
Витрати другого вигляду (профілактичний ремонт) складають $50х20 автомобілів, тобто 1000 доларів на цикл. Витрати, пов'язані з усуненням поломок автомобілів, повинні ґрунтуватися на середній кількості автомобілів, що вийшли з ладу впродовж перших N-1 місяців циклу. Тут ми маємо два стани після закінчення місяця t: поломка автомобіля з вірогідністю pt і її відсутність з вірогідністю 1-pt. Отже, очікуване число поломок після закінчення місяця t рівне кількості автомашин в парку, помноженому на pt, тобто 20pt. Використовуючи цей результат, підрахуємо очікуване загальне число автомобілів, що зламалися, впродовж перших N-1 місяців циклу у вигляді суми відповідних величин для кожного місяця окремо, тобто
Позначивши через ЄС(N) загальну очікувану вартість для циклу між профілактичними ремонтами,
маємо наступне.
.
Задача вибору рішення компанією зводиться таким чином до визначення довжини циклу N, яка мінімізує загальні очікувані витрати за один місяць ECPM(N), тобто величину
.
Мінімізацію функції ECPM(N) не можна виконати в явній формі. Натомість використовується наступна таблична форма знаходження рішення.
Таблиця 3.
| N | pi |  | ECPM(N) | |
| 1 | 0.05 | 0 | 1000 | |
| Оптимальне N → | 2 | 0.07 | 0.05 | 600 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | 493.33 | |
| 4 | 0.13 | 0.22 | 470 | |
| 5 | 0.18 | 0.35 | 480 | |
| 6 | 0.23 | 0.53 | 520 |
Обчислення показують, що ECPM(N) досягає свого мінімуму при N-4. Отже, профілактичний ремонт автомобілів потрібно виконувати кожного четвертого місяця.
2.3 Інші критерії очікуваного значення
У цьому розділі розглядаються три модифікації критерію очікуваного значення. Перша полягає у визначенні апостеріорної вірогідності на основі експерименту над досліджуваною системою, друга - в корисності реальної вартості грошей, а третя модифікує критерій очікуваного значення таким чином, що він може бути використаний для ухвалення рішень при короткостроковому плануванні.
Апостеріорна вірогідність Байеса
Розподіли вірогідності, які використовуються при формулюванні критерію очікуваного значення, виходять, як правило, з накопиченої раніше інформації. В деяких випадках виявляється можливим модифікувати цю вірогідність за допомогою поточної і/або одержаної раніше інформації, яка звичайно ґрунтується на дослідженні вибіркових (або експериментальних) даних. Одержувану при цьому вірогідність називають апостеріорними (або Байесовськими), на відміну від апріорних, одержаних з початкової інформації. Наступний приклад показує, як розглянутий в розділі 2.1 критерій очікуваного значення можна модифікувати так, щоб скористатися новою інформацією, що міститься в апостеріорній вірогідності.
Приклад 3.
У прикладі 1 апріорна вірогідність 0.6 і 0.4 підвищення і пониження котирувань акцій на біржі була визначена з наявних публікацій фінансового характеру. Припустимо, замість того щоб повністю покладатися на ці публікації, ви вирішили провести особисте дослідження шляхом консультацій з другом, який добре розбирається в питаннях, що стосуються фондової біржі. Друг виказує загальну думку "за" або "проти" інвестицій. Ця думка надалі визначається кількісно таким чином. При підвищенні котирувань його думка з 90%-ний вірогідністю буде "за", при зниженні котирувань вірогідність його думки "за" зменшиться до 50%. Яким чином можна отримати користь з цієї додаткової інформації?
Думка друга фактично представляє умовну вірогідність "за-проти" при заданих станах природи у вигляді підвищення і пониження котирувань. Введемо наступні позначення:
v1 - думка «за»,
v2 - думка «проти»,
m1 - підвищення котирувань,
m2 - пониження котирувань.
Думку друга можна записати у вигляді співвідношень вірогідності таким чином.
