В экономике, как правило, исследуются причинно-следственные взаимосвязи между признаками. При этом результативный признак рассматривается как функция и обозначается у, а факторный признак - как аргумент и обозначается х. Предполагается, что связь между х и у может быть выражена некоторой аналитической формулой. В общей форме можно записать, что у = ƒ(х) или у = ƒ (х1, …, х2), когда одновременно изучается влияние многих факторов. Задача заключается в том, чтобы найти, раскрыть эту закономерность и выразить ее в виде конкретной формулы, например линейной: у = а+вх.
Различаются два типа связи между признаками:
а) функциональная,
б) корреляционная.
При функциональной связи изменению факторного признака (аргумента) соответствует строго определенное изменение результативного признака (функции). Размер заработной платы при неизменной оплате за единицу работы функционально зависит от объема выполненной работы.
В экономических явлениях чаще встречается и имеет особое значение нежесткая, неполная форма связи между признаками - корреляционная связь, которая обнаруживается лишь в среднем, по большому числу наблюдений. При этом сама закономерность проявляется как некоторая тенденция, завуалированная случайными отклонениями. Такова, например, зависимость заработной платы от объема выполненной работы, от производительности труда, от фондовооруженности и т.д. Во всех этих случаях изменение факторного признака не сопровождается строго определенными изменениями результативного показателя.
При исследовании взаимосвязей между признаками необходимо установить:
• существует ли связь между признаками;
• какова количественная мера тесноты этой связи;
• если между признаками существует причинно-следственная связь, то какова аналитическая форма ее выражения;
• какова надежность найденной закономерности и возможно ли ее использовать для решения практических задач.
Ответы на эти вопросы находятся в определенной последовательности, предусматриваемой схемой корреляционного анализа. Рассмотрим ее на упрощенном примере.
Следует заметить, что при использовании статистических методов, особенно корреляционного анализа, важно, чтобы число наблюдений было достаточно большим; необходимо иметь по крайней мере 20-30 наблюдений. При малом числе наблюдений достоверность выводов резко снижается. В данном примере мы рассматриваем лишь пять пар наблюдений, чтобы проиллюстрировать схему расчетов, обращая основное внимание на методические особенности анализа, в то же время избегая громоздких арифметических расчетов.
Имеются сведения о зависимости объемов продаж в течение 5 месяцев от расходов на рекламу (табл. 1). Приступая к анализу взаимосвязей между признаками, в первую очередь необходимо выяснить, какова общая форма зависимости у от х.
Данные о зависимости объема продаж в течение пяти месяцев от расходов на рекламу
Таблица 1
| Месяц | |||||
| 1 январь | 2 февраль | 3 март | 4 апрель | 5 май | |
| Расходы на рекламу (х) | 40 | 70 | 20 | 90 | 50 |
| Объемы продаж (у) | 265 | 370 | 170 | 385 | 250 |
Анализ таблицы показывает, что форму зависимости в первом приближении можно выразить уравнением прямой линии у = а+вх, где у - объемы продаж, какие наблюдались бы при строго линейной зависимости; х - расходы на рекламу; а, в - неизвестные параметры уравнения, которые следует определить.
Рассмотрим прежде всего логику метода, положенного в основу определения параметров а и в.
Логика рассуждений такова: если бы объем продаж изменялся строго пропорционально дозам расходов на рекламу, то закономерность связи выражалась бы прямой линией с уравнением у1 = а + вх, значения же V продаж на графике соответственно располагались бы строго на прямой линии. Следовательно, чем меньше разность между фактическими значениями объема продаж (у) и теоретически ожидаемыми (у1), тем яснее выражена закономерность связи между признаками. Поэтому при определении параметров а и в важно обеспечить минимум отклонений у-у1. Поскольку отклонения имеют разные знаки, необходимо, чтобы минимальной была сумма квадратов отклонений. В этом состоит сущность метода наименьших квадратов.
Для определения искомых параметров а и в необходимо построить систему из двух уравнений (в общем случае число уравнений равно числу неизвестных параметров) и решить ее. При составлении системы можно пользоваться следующими правилами.
1. Первое уравнение получают почленным умножением исходной формулы на коэффициент при первом параметре и суммированием по всем наблюдениям. Итак, первый параметр - а, коэффициент при нем - единица. Умножим исходную формулу у = а + вх почленно на единицу и, суммируя, получим:
Σу = па + вΣх,
где п - число наблюдений;
Σу, Σу - суммы значений признаков.
2. Второе уравнение системы получают почленным умножением той же исходной формулы на коэффициент при втором параметре и суммированием по всем наблюдениям. Итак, второй параметр исходного уравнения - в, а при нем - х. Следовательно, умножая почленно уравнение у = а + вх на х и суммируя, получим:
Σух=аΣх+вΣх2.
Значения рассчитываются на основе исходной информации. Σух и Σх2.
Итак, система из двух уравнений имеет вид
Σу=па+вΣх, Σух=аΣх+вΣх2.
Для решения ее вычислим величины Σу, Σх, Σух, Σх2.
Расчет данных для определения параметров уравнения связи
Таблица 2
| Номер наблюдения | У | X | Ух | х2 | У2 |
| 1 | 265 | 40 | 10600 | 1600 | 70225 |
| 2 | 370 | 70 | 25900 | 4900 | 136900 |
| 3 | 170 | 20 | 3400 | 400 | 28900 |
| 4 | 385 | 90 | 34650 | 8 100 | 148225 |
| 5 | 250 | 50 | 12500 | 2500 | 62500 |
| Всего | 1440 | 270 | 87050 | 17500 | 446750 |
| В среднем | 288 | 54 | 17410 | 3500 | 89350 |
После подстановки числовых значений система приобретает следующий вид:
1440 = 5а + 270b;
87050 = 270а + 17500b.
Чтобы исключить одно из неизвестных (например, а), разделим почленно первое уравнение на -5, второе на - на 270 и сложим:
-288 = -а – 54b,
322,4074 = а + 64,8148b,
34,4074= 10,8148b.
Таким образом, в = 3,1815 = 3,18. Подставив найденное значение в — 3,1815 в первое уравнение системы, определяем значения а:
288= а+ 54-3,1815,
288= а + 171,801, откуда а = 116,20.
Итак, искомое уравнение линейной связи между у и х имеет вид
у =116,20 + 3,1815х.
Уясним экономический смысл найденных коэффициентов. Коэффициент b имеет особое значение как коэффициент пропорциональности. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак у при изменении факторного признака х на одну единицу. Иначе говоря, коэффициент b показывает среднюю эффективность фактора х, поскольку отражает средний прирост результата на единицу прироста фактора. Коэффициент b называют также коэффициентом регрессии, а уравнение, описывающее характер связи между признаками, -уравнением регрессии. Коэффициент а является началом отсчета; на графике он соответствует точке пересечения линии уравнения регрессии с осью ординат, когда х = 0.
Анализ уравнения регрессии позволяет оценить роль исследуемого факторного признака в формировании результативного. Для этого необходимо определить долю фактора в общей изменчивости (вариации) результативного признака, опираясь на метод разложения вариации по факторам.
Логика дальнейшего анализа методом разложения вариации основана на следующем: в рассматриваемом примере объем продаж колеблется от 170 до 385; очевидно, общая изменчивость объема продаж вызывается: а) влиянием изучаемого фактора -расходов на рекламу (они изменяются от 20 до 90); б) влиянием ряда случайных и неконтролируемых в данном примере факторов.
Возникает важная задача - количественно измерить долю влияния изучаемого фактора и случайной компоненты.
Выше было показано, что уравнение регрессии в среднем описывает закономерную связь между объемом продаж и расходами на рекламу. Поэтому, вычисляя теоретически ожидаемые значения объема продаж уi, при разных расходах на рекламу, мы тем самым можем наблюдать изменчивость объема продаж только под влиянием расходов на рекламу, т.е. оценить "чистое" влияние расходов на рекламу и измерить вариацию, вызванную данным фактором.
Экономические процессы в сфере сервиса зависят от влияния большого числа факторов и многовариантны по способам реализации; производство осуществляется в условиях ограниченных ресурсов труда, материально-денежных средств; цель производства всегда задана; технико-экономические взаимосвязи и условия производства, как правило, поддаются математическому описанию в виде системы уравнений и неравенств. Поэтому имеются реальные возможности для использования методов линейного программирования в планировании на предприятиях сферы сервиса.
Выпуск продукции на предприятии сферы сервиса является результатом совместной работы большого количества подразделений, которые проектируют продукцию, разрабатывают методы ее производства и выполняют различные части процесса производства продукции.
Оперативное планирование и управление процессом и объектом, в которых принимают участие несколько предприятий, осуществляется с помощью систем сетевого планирования и управления, имеющих две основные разновидности: система сетевого планирования и управления по времени и система сетевого планирования и управления по стоимости.