Прогнозирование емкости и коньюктуры рынка (стр. 2 из 4)

Рис. 2. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный и сглаженный ряд)

После построения графика (рис. 2) можно сделать вывод о наличии возрастающей тенденции. После построения сглаженного ряда стало более наглядно видно наличие возрастающей тенденции.

2). а) Метод Фостера – Стюарта

t	Yt	Ut	lt	S	D	Pt
1	11,9	-	-	-	-	-
2	12,6	1	0	1	1	1
3	12,2	0	0	0	0	1
4	13,9	1	0	1	1	3
5	14,3	1	0	1	1	4
6	14,6	1	0	1	1	5
7	15,3	1	0	1	1	6
8	14,4	0	0	0	0	5
9	15,8	1	0	1	1	8
10	16,7	1	0	1	1	9
11	17,4	1	0	1	1	10
12	16,1	0	0	0	0	9
175,2	8	8	61

Выдвинем нулевую гипотезу: во временном ряде (данные графы 2) нет тенденции среднего уровня и нет тенденции дисперсии. Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы необходимо рассчитать по формулам

и значения t₁ и t₂. Но для этого надо знать значения μ, σ₁,σ₂ . В приложении 1 приведены данные для n=10 и для n=15, а нам надо найти данные для n=12.

Для нахождения данных при n=12 используем принцип интерполяции, предположив, что эти данные в интервале от n=10 до n=15 изменяются линейно, т.е. равномерно. Поэтому нам нужно к значениям данных при n=10 прибавить их изменения за два (2=12–10) шага и получить искомые данных.

Найдем μ для n=12 следующим образом. Значение μ для n=10, согласно приложению 1, равно 3,858. Увеличение μ при изменении n на 2 шага найдем следующим образом

.

Отсюда μ(12)=μ(10)+Δμ=3,858+0,311=4,169. Аналогичным образом найдем значения для σ₁(12)=1,381 и для σ₂(12)=2,040. По формулам (2.7) найдем значения t₁ и t₂

= (8 – 4,169)/1,381 = 3,326; = (8-0)/2,040 = 3,92

Случайные величины t₁ и t₂ имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы К = n – 1 = 12 – 1 = 11 и уровнем значимости a, который может принимать значения 0,01; 0,05 и т.д. Примем уровень значимости (вероятность, с которой исследователь может ошибиться), равный 0,05 (5%). На основе выбранного уровня значимости а = 0,05 рассчитаем доверительную вероятность: g = 1 – а = 1 – 0,05 = 0,95.

По числу степеней свободы К = 11 и величине доверительной вероятности g = 0,95 по таблице «Значение t-критерия Стьюдента» (Приложение 1)определим табличное значение случайной величины (t_g): t_g = 2,201.

Расчетные значения t₁ и t₂ сопоставим с табличным t_g.

Если сопоставить расчетные значения t₁ и t₂ с табличным t_g, то может возникнуть четыре ситуации.

1) |t₁| > |t_g|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью g во временном ряде имеет место тенденция дисперсии.

2) |t₁| < |t_g|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции принимается и с вероятностью g во временном ряде нет тенденции дисперсии.

3) |t₂| > |t_g|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью g во временном ряде имеет место тенденция в среднем.

4) |t₂| < |t_g|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции принимается и с вероятностью g во временном ряде нет тенденции в среднем.

1) 3,326 > 2,201; 3,92 > 2,201Þ нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью g = 0,95 можно говорить, что во временном ряде имеет место тенденция дисперсии

б) Метод коэффициента Кенделла

Определим расчетное значение коэффициента Кендэла (t_р):

tр =	4 × р	– 1,
	n× (n – 1)

где n – количество уровней во временном ряде.

tр =	4 × 61	– 1 = 0,85
	12 × (12 – 1)

Коэффициент Кендэла является случайной величиной, соответствует нормальному распределению и изменяется от -1 до +1. Теоретическими характеристиками коэффициента Кендэла являются математическое ожидание, которое равно нулю (М_t = 0) и дисперсия, рассчитываемая по формуле:

st2 =	2 × (2 × n + 5)	.
	9 × n ×(n – 1)

st2 =	2 × (2 × 12 + 5)	=	58	= 0,049
	9 × 12 × (12 – 1)		1188

Если сопоставить расчетное и теоретическое значение коэффициента Кендэла, то может возникнуть три ситуации.

1) (0 – t_d×

) < t_р < (0 + t_d× ),

где t_d – коэффициент доверия.

Данный вариант означает, что с вероятностью t_d во временном ряде нет тренда.

2) t_р < (0 – t_d×

)

Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место убывающая тенденция.

3) t_р > (0 + t_d×

)

Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место возрастающая тенденция.

При выбранной вероятности 0,95 (95%) коэффициент доверия t_d = 1,96.

t_р > (0 + 1,96 ×

)

0,85 > + 0,434

Таким образом, с вероятностью 0,95 (95%) можно говорить о наличии в ряде возрастающей тенденции в среднем (тренда).

В ходе анализа временного ряда на наличие в нем тенденции среднего уровня (тренда) по методу Фостера – Стюарта и методу коэффициента Кенделла получены аналогичные результаты. Следовательно, в ряде отмечается возрастающая тенденция в среднем.

Таким образом, визуальная оценка нашла свое подтверждение в ходе аналитических расчетов с использованием соответствующих методов оценки временного ряда на наличие в нем тенденции.

3). Метод усреднения по левой и правой половине

Метод усреднения по левой и правой половине - графический метод, используется для нахождения параметров линейного тренда.

Для нахождения параметров а₀ и а₁ разделим исходные данные пополам и по каждой половине рассчитаем средние значения фактора и уровня ряда.

1 =	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6	= 3,5
	6

1 =	11,9 + 12,6 + 12,2 + 13,9 + 14,3 + 14,6	= 13,25
	6

2 =	7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12	= 9,5
	6

2 =	15,3 + 14,4 + 15,8 + 16,7 + 17,4 + 16,1	= 15,95
	6

В результате расчетов получили две точки: А (3,5; 13,25), В (9,5; 15,95).

Построим графическую модель исходного временного ряда и найдя точки А и В, проведем через них прямую, которая будет отображать тенденцию исходного временного ряда (рис. 3).

Рис. 3. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный ряд и линейный тренд)

Из графика видно, что построенный линейный тренд отражает тенденцию исходного ряда: возрастающий тренд.

Для нахождения параметра а₀ продолжим линию до пересечения с осью ординат. Чтобы найти параметр а₁, преобразуем уравнение тренда:

а₁t =

– а₀ | :t

а1 =	– а0
	t