Метод случайного поиска. Метод имеет большое количество модификаций. Общее для них состоит в использовании элемента случайности (путем розыгрыша случайного события) при определении направления поиска и величины шага изменения параметров. Метод эффективен для сложных систем с большим числом параметров.
Методы первого порядка используют, если возможно найти первую производную исследуемой функции. К данному классу относятся градиентные методы. Их суть заключается в определении лучшего направления и шага поиска минимума функции по значениям первых производных в некоторой точке x. В зависимости от способа задания этого шага и производится классификация градиентных методов: градиентный спуск; наискорейший спуск; градиентный спуск с постоянным шагом; градиентный спуск с переменным шагом. Методы эффективны для функций со слабовыраженной нелинейностью.
Методы второго порядка используют, если возможно найти вторую производную исследуемой функции. Их основой является метод Ньютона, предполагающий аппроксимацию исследуемой функции квадратичным полиномом в окрестностях некоторой точки х (точки начального приближения). Различные модификации метода Ньютона в основном отличаются друг от друга способами расчета вторых производных. Методы второго порядка сходятся быстрее градиентных, однако требуют вычислений вторых производных.
1.5.2 Синтез систем управления с помощью многокритериальной оптимизации
Методы многокритериальной оптимизации используются в задачах многоцелевого характера, когда предназначение системы может быть реализовано лишь при достижении нескольких целей.
Многокритериальные задачи могут решаться как в условиях определенности, так и в условиях риска и неопределенности. Подобные задачи возникают в процессе реорганизации общественных систем управления, проектирования и эксплуатации автоматизированных и автономных технических систем управления, управления отраслями промышленности, войсками.
1.6 Синтез систем управления методами математического программирования
Методы математического программирования относятся к численным методам поиска оптимальных решений, которые позволяют найти решение только для конкретных значений параметров. Такими методами являются методы линейного, нелинейного дискретного, стохастического и динамического программирования.
1.6.1 Методы решения задач линейного программирования
Эти методы используются для решения однокритериальных задач оптимизации, целевая функция которых отвечает условиям детерминированности и линейности, а на значения переменных накладываются линейные ограничения. Линейность предполагает наличие двух свойств: пропорциональности и аддитивности. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в целевую функцию прямо пропорционален величине этой переметши, а аддитивность заключается в представлении целевой функции в виде суммы вкладов от различных переменных.
К особенностям использования данных методов относится то, что оптимальному решению всегда соответствует одна из экстремальных точек пространства решений (это является следствием такого важного свойства задач линейного программирования, как выпуклость пространства решений).
1.6.2 Методы решения задач нелинейного программирования
Нелинейное программирование используется для решения однокритериальных задач оптимизации с детерминированной целевой функцией при накладываемых ограничениях в виде равенств или неравенств. Для данного класса задач снимается условие линейности функций или ограничений.
Разработанные ныне методы решения задач нелинейного программирования могут быть разделены на ряд больших групп: методы линеаризации целевой функции и ограничений, основанные на их разложении в ряд, логарифмирование и т.д., с последующим применением методов линейного программирования для решения задачи; аналитические методы нахождения экстремальных значений целевой функции при наличии ограничений. Они могут применятся при условии, что неизвестные величины непрерывны, или на этот счет сделаны соответствующие допущения, а также целевая функция и ограничения имеют частные производные хотя бы до второго порядка включительно; поисковые методы оптимизации, обеспечивающие решение нелинейной задачи путем последовательного перехода от одного допустимого решения к другому, в направлении экстремума целевой функции, до тех пор, пока дальнейшее ее улучшение станет невозможным или нецелесообразным.
1.6.3 Методы решения задач дискретного (целочисленного) программирования
Дискретное программирование используется для решения задач с детерминированной целевой функцией при ограничениях на значения переменных.
Основной особенностью является то, что все или некоторые переменные должны принимать только целочисленные (дискретные) значения. Обычно это бывает при описании неделимых объектов (людей, машин и т.п.) или при наложении жестких ограничений типа равенств.
При решении задач возникают сложности с выбором специальных дополнительных ограничений для отсечения области решений с нецелочисленными переменными, которые часто приходится выбирать по эвристическим правилам.
1.6.4 Методы динамического программирования
Данные методы используются для решения задач математического программирования, позволяющих представлять их в виде нескольких менее сложных подзадач с одной целевой функцией.
Динамическое программирование особенно эффективно для задач, условия которых позволяют составить сетевой график перехода от этапа к этапу, где узлы сети будут соответствовать различным значениям переменных, а дуги — допустимым вариантам решения.
Основным принципом, положенным в основу метода динамического программирования, является принцип оптимальности, суть которого заключается в том, что каждое последующее решение строится оптимальным образом независимо от решений, получаемых на всех предыдущих этапах, кроме последнего.
1.6.5 Методы стохастического программирования
Методы используются для задач, в которых все или отдельные параметры описываются с помощью случайных величин. Для решения стохастических задач оптимизации можно использовать градиентные методы, методы стохастического моделирования и стохастической аппроксимации, методы программирования с вероятностными ограничениями.
1.7 Анализ и синтез систем управления с помощью математических теорий
1.7.1 Теория принятия решений
Принятие решений является одним из основных этапов процесса управления в организационных (общественных) системах и представляют собой выбор одной из альтернативных стратегий или способов действий, направленных на достижение цели. Теория принятия решений используется при необходимости сделать выбор варианта действий в условиях риска и(или) наличия неопределенности. Такие условия возникают, если исходная информация выражается через вероятностные характеристики (в таком случае говорят о принятии решения в условиях риска) либо исходные данные заданы неопределенно, например, интервалами изменения или вообще только названием.
1.7.2 Теория массового обслуживания
Теория массового обслуживания используется для исследования систем управления, в которых имеется необходимость пребывать в состоянии ожидания. Это является следствием вероятностного характера возникновения потребности в обслуживании и разброса показателей соответствующих обслуживающих систем. В таких случаях исследуемую систему представляют в виде системы массового обслуживания.
Задача заключается в построении математической модели, связывающей заданные условия работы СМО с эффективностью ее работы.
1.7.3 Теория эффективности
Теория эффективности позволяет оценивать результативность использования системы управления и выбрать лучшую организацию ее применения при конкретных обстоятельствах. Сущность теории состоит в оценке эффективности достижения системой цели и затраченных на это усилий.
Теория эффективности учитывает три группы показателей эффективности процесса, характеризующих: степень достижения цели (целевые эффекты); затраты ресурсов (ресурсоемкость процесса); затраты времени (оперативность процесса).
В теории эффективности различают задачи анализа и синтеза эффективности процесса. Задачи анализа эффективности процесса следующие: оценка эффективности процесса по выбранному критерию; анализ чувствительности показателей к изменению параметров; исследование направленности и степени влияния параметров на показатели эффективности; выбор параметров, наиболее существенным образом влияющих на показатели эффективности процесса. В задаче синтеза формулируется цель процесса в значениях ее показателей и критерия их оценивания, а затем вырабатываются требования к параметрам системы, организации и управления процессом при определенных условиях его проведения.
1.7.4 Теория игр
Игровые задачи управления предполагают участие в активном воздействии на объект управления двух сторон или игроков [х]: управляющей системы, которая определяет состояние объекта s = z, обеспечивающее эффективное управление, и среды, которая формирует воздействие, ухудшающее эффективность управления. Подобные ситуации, когда игроки преследуют прямо противоположные интересы, называются конфликтными ситуациями.