Статистика производительности труда (стр. 6 из 11)
где n- число единиц совокупности.
Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k= 5, xmax= 0,36 млн руб./чел., xmin= 0,12 млн руб./чел.:
При h = 0,048 млн руб./чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):
Таблица 2
| Номер группы | Нижняя граница, млн руб./чел. | Верхняя граница, млн руб./чел. |
| 1 | 0,12 | 0,168 |
| 2 | 0,168 | 0,216 |
| 3 | 0,216 | 0,264 |
| 4 | 0,264 | 0,312 |
| 5 | 0,312 | 0,36 |
Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число организаций, входящих в каждую группу (частоты групп
Процесс группировки единиц совокупности по признаку Уровень производительности труда представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).Таблица 3.Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки
| Группы организаций по уровню производительности труда. | Номер организации | Среднесписочная численность работников, чел. | Выпуск продукции, млн. руб. |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0,12 – 0,168 | 15 | 120 | 14,4 |
| 20 | 130 | 18,2 | |
| 2 | 156 | 23,4 | |
| Всего | 3 | 406 | 56 |
| 0,168 – 0,216 | 6 | 158 | 26,86 |
| 24 | 158 | 28,44 | |
| 10 | 159 | 30,21 | |
| 21 | 159 | 31,8 | |
| Всего | 4 | 634 | 117,31 |
| 0,216 – 0,264 | 14 | 161 | 35,42 |
| 29 | 161 | 35,903 | |
| 1 | 162 | 36,45 | |
| 16 | 162 | 36,936 | |
| 22 | 162 | 39,204 | |
| 9 | 163 | 40,424 | |
| 18 | 164 | 41 | |
| 5 | 165 | 41,415 | |
| 27 | 166 | 41,832 | |
| 11 | 167 | 42,418 | |
| 25 | 168 | 43,344 | |
| 3 | 179 | 46,54 | |
| Всего | 12 | 1980 | 480,886 |
| 0,264 – 0,312 | 30 | 186 | 50,22 |
| 13 | 187 | 51,612 | |
| 17 | 188 | 53,392 | |
| 8 | 190 | 54,72 | |
| 19 | 192 | 55,68 | |
| 23 | 193 | 57,128 | |
| 4 | 194 | 59,752 | |
| Всего | 7 | 1330 | 382,504 |
| 0,312 – 0,36 | 12 | 205 | 64,575 |
| 28 | 207 | 69,345 | |
| 26 | 208 | 70,72 | |
| 7 | 220 | 79,2 | |
| Всего | 4 | 840 | 283,84 |
| ИТОГО | 30 | 5190 | 1320,54 |
На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения организаций по уровню производительности труда.
Таблица 4
Распределение организаций по уровню производительности труда
| Номер группы | Группы организаций по уровню производительности труда, х | Число организаций,f |
| 1 | 0,12 – 0,168 | 3 |
| 2 | 0,168 – 0,216 | 4 |
| 3 | 0,216 – 0,264 | 12 |
| 4 | 0,264 – 0,312 | 7 |
| 5 | 0,312 – 0,36 | 4 |
| Итого | 30 |
Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 1.4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj,получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле
.Таблица 5
Структура организаций по уровню производительности труда
| № группы | Группы организаций по уровню производительности труда | Число организаций, fj | Накопленнаячастота,Sj | Накопленнаячастоcть, % | |
| в абсолютном выражении | в % к итогу | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 0,12 – 0,168 | 3 | 10,0 | 3 | 10,0 |
| 2 | 0,168 – 0,216 | 4 | 13,33 | 7 | 23,33 |
| 3 | 0,216 – 0,264 | 12 | 40,0 | 19 | 63,33 |
| 4 | 0,264 – 0,312 | 7 | 23,34 | 26 | 86,67 |
| 5 | 0,312 – 0,36 | 4 | 13,33 | 30 | 100 |
| Итого | 30 | 100,0 | |||
Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по уровню производительности труда не является равномерным: преобладают организации с производительностью труда в пределах от 0,216 до 0,264 млн руб./чел. (это 12 организаций, доля которых составляет 40%); 23,34% с производительностью труда в пределах от 0,264 до 0,312 млн руб./чел.; 23,33 % организации с производительностью труда менее 0,216 млн руб./чел., а 86,67% – менее 0,312 млн руб./чел..
1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов
Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.
Мода Модля дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности[1]. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).
Рис. 1 Определение моды графическим методом
Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:
(3)где хМo– нижняя граница модального интервала,
h–величина модального интервала,
fMo – частота модального интервала,
fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,
fMo+1– частота интервала, следующего за модальным.
Согласно табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 0,216 – 0,264 млн руб./чел., так как его частота максимальна (f3 = 12).
Расчет моды по формуле (3):
млн руб./чел.Вывод. Для рассматриваемой совокупности организаций наиболее распространенный уровень производительности труда характеризуется средней величиной 0,245.
Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.
Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).
Рис. 2. Определение медианы графическим методом
Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:
, (4)где хМе– нижняя граница медианного интервала,
h – величина медианного интервала,
– сумма всех частот,fМе – частота медианного интервала,
SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.
Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот
или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).В демонстрационном примере медианным интервалом является интервал 0,216 – 0,264 млн руб./чел., так как именно в этом интервале накопленная частота Sj= 19 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (
= 
).Расчет значения медианы по формуле (4):
млн руб./чел.Вывод. В рассматриваемой совокупности организаций половина организаций имеют в среднем уровень производительности труда не более 0,248 млн руб./чел., а другая половина – не менее 0,248 млн руб./чел..
3. Расчет характеристик ряда распределения
Для расчета характеристик ряда распределения
, σ,σ2, Vσ на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6 ( 
– середина j-го интервала).Таблица 6
Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения
| Группы организаций по уровню производительности труда, млн. руб./чел. | Середина интервала,  | Число организаций,fj |  |  |  |  |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0,12 – 0,168 | 0,144 | 3 | 0,432 | -0,104 | 0,01 | 0,03 |
| 0,168 – 0,216 | 0,192 | 4 | 0,768 | -0,056 | 0,003 | 0,012 |
| 0,216 – 0,264 | 0,24 | 12 | 2,88 | -0,008 | 0,000064 | 0,000768 |
| 0,264 – 0,312 | 0,288 | 7 | 2,016 | 0,04 | 0,0016 | 0,0112 |
| 0,312 – 0,36 | 0,336 | 4 | 1,344 | 0,088 | 0,007744 | 0,030976 |
| Итого | 30 | 7,44 | - 0,04 | 0,022408 | 0,084944 |
Расчет средней арифметической взвешенной: