Принципы регулирования (стр. 8 из 10)
§4. Частотный критерий Найквиста.
Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутых САР по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой САР.
Замкнутая САР устойчива, если устойчива разомкнутая САР и её АФЧХ не охватывает точки с координатами (-1, j0)
Пусть Wраз=N(p)/M(p), тогда К(jω)раз=N(jω)/M(jω) - выражение для АФЧХ. Построим АФЧХ разомкнутой САР.
Пусть АФЧХ проходит через точку (-1, j0). Что это значит?
 |
Пусть на выход разомкнутой САР подан сигнал xвх=Аsinωt. При некоторой частоте ω, К(jω1)=-1=1е-jπ, т.е. амплитуда сигнала на выходе системы равна амплитуде на входе. Далее: Отрицательная обратная связь сдвигает фазу колебаний на –π, кроме того, сама система сдвигает фазу колебаний на –π, т.е. общий сдвиг равен 2π.Входные и выходные колебания в фазе. Если замкнуть теперь САР, то выходные колебания совпадут с выходными. Входные можно отключить, а в системе всё равно останутся незатухающие колебания. Следовательно, САР находится на границе устойчивости.
Пусть Коб(jω)=Aоб еjφоб
Крег(jω)=Aрег еjφрег
тогда Краз(jω)= Коб(jω)·Крег(jω)=-1,
т.е Аоб · Арег = 1φоб + φрег = - π условие возникновения незатухающих колебаний
Если же АФЧХ охватывает точку (-1, j0), то при этом
Аоб · Арег >1φоб + φрег = -π
и следовательно, возникнут расходящиеся колебания.
Если же Аоб · Арег <1φоб + φрег = -π , т.е АФЧХ не охватывает точку (-1, j0), в системе возникают затухающие колебания и система устойчива.
§5. Структурно-неустойчивые (устойчивые) системы
автоматического регулирования.
Пусть структурная схема САР имеет вид:
 |
Определим, используя критерий Найквиста, устойчивость данной системы при отсутствии местной обратной связи. Для этого построим АФЧХ разомкнутой САР:
Из приведённого выражения видно, что АФЧХ разомкнутой САР совпадает с отрицательной полуосью и имеет направление из -∞ в 0
Замкнутая система, AФЧX разомкнутой которой имеет вид (*), неустойчива и будет оставаться неустойчивой при любых значениях параметров k1 и k2, т.к. будет иметь тот же вид. Такая система будет называться структурно неустойчивой, т.к. только изменяя структуру системы, можно сделать систему устойчивой.
Если охватить одно из интегрирующих звеньев жёсткой отрицательной обратной связью, АФЧХ разомкнутой системы изменится следующим образом:
Как видно из рисунка, Краз ск(jω) не охватывает точку (-1, j0) и не будет её охватывать ни при каких значениях параметров k1 и k2, т.к. никогда не пересечёт отрицательную действительную полуось. Таким образом, скорректированная система не просто устойчива, а структурно устойчива.
Признаком структурной неустойчивости системы является наличие двух интегрирующих звеньев в прямой цепи системы автоматического регулирования.
Показатели качества принято определять по кривой переходного процесса и называть прямыми. Кривая переходного процесса может быть получена теоретически (как решение дифференциального уравнения системы, когда правая часть уравнения [входной сигнал] единичная ступенька) или экспериментально.
Пусть кривая переходного процесса системы имеет вид:
1. Максимальное динамическое отклонение – максимальная разность между заданными и действительными значениями регулируемой величины в переходном режиме.
∆maxдин =hуст
2. Максимальное перерегулирование – максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения переходной величины, выраженное в относительных единицах.
Обычно σmax ≤ 20÷30%.
3. Колебательность процесса:
(определяется как отношение разности двух соседних амплитуд, направленных в одну сторону, к большей из них в относительных единицах)
Для работоспособных систем ψ ≥ 75÷90%
4. Время регулирования – tрегул – минимальное время от начала нанесения возмущения до момента, когда регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью; т.е.
|h(t) – hуст| ≤ ∆, где
∆ - постоянная величина, значение которой нужно оговаривать (обычно ∆=2÷5% hуст).
В настоящее время при бурном развитии вычислительной техники трудности, связанные с расчётом переходных процессов существенно уменьшаются, поэтому роль прямых оценок качества при проектировании САР возрастает.
Для получения общей оценки быстродействия системы и отклонения регулируемой величины от установившегося значения применяют интегральные оценки качества переходных процессов, которые являются интегралами от некоторых функций переходного процесса.Простейший интегральный критерий – линейный I1 определяется выражением
(с геометрической точки зрения I1 есть площадь между кривой h(t) и линией hуст) Величина I1 зависит от всех показателей качества. При этом с уменьшение ∆дин и tрегул (т.е. улучшением качества регулирования) I1 падает, а с увеличением колебательности (ψ →0) I1 тоже уменьшается, хотя качество регулирования при этом ухудшается.
Итак, уменьшение I1 свидетельствует об улучшении качества регулирования только для хорошо затухающих переходных процессов и применения для оценки апериодических и слабо колебательных процессов. Критерий I1 может быть вычислен через коэффициенты дифференциального уравнения или передаточной функции разомкнутой САР.
Для колебательных процессов применяют другие интегральные критерии:
(этот критерий не вычисляется через коэффициенты дифференциального уравнения)
и
Обеспечение устойчивости, повышение качества регулирования
В тех случаях, когда устойчивость САР и необходимое качество не могут быть достигнуты простым изменением параметров системы, эта задача решается введением в систему дополнительных устройств, называемых корректирующими.
Корректирующие устройства включают в систему по-разному. Различают последовательные (а) и параллельные (б) корректирующие устройства.
а)
б)
Wисх.(p) = Wнеохв.(p)Wохв.(p)
Последовательные корректирующие устройства включают непосредственно после ЭС или после предварительного усилителя в прямую цепь регулирования. Параллельные корректирующие устройства являются местной обратной связью, которая охватывает один из элементов прямой цепи. Причем, эти обратные связи могут быть положительными и отрицательными, жесткими и гибкими.
Синтезируют корректирующее устройство на основании некоторого комплекса требований к свойствам системы (обеспечение устойчивости, повышение точности регулирования, улучшения переходных процессов и т.д.)
Сначала определяют требуемые значения передаточной функции Wпосл.(р) последовательного корректирующего устройства. Затем выясняют, при каких значениях Wпар.(р) параллельного корректирующего устройства будет получен тот же эффект, после чего уже можно решать, какое корректирующее устройство целесообразнее создавать.
Составим формулы для такого расчёта: