Современная портфельная теория (стр. 4 из 4)
Обозначим доходность общего портфеля через
: 
. (6.18)Риск (стандартное отклонение доходности) общего портфеля будет равен (учитывая, что стандартное отклонение детерминированной величины равняется нулю)
. (6.19)Уравнения (6.18) и (6.19) при xp ³ 0, x0 ³ 0, xp + x0=1 параметрически задают отрезок ОА на рисунке 6-6. Если xp=0, тогда х0=1 и параметры портфеля соответствуют точке О. Напротив, при xp=1 и х0=0, - все средства направляются в рискованные вложения, и портфель определяется точкой А. Все возможные промежуточные значения, когда часть инвестиций являются рискованными, а часть - безрисковыми, лежат на отрезке ОА.
Безрисковое заимствование
До этого мы говорили лишь о безрисковых инвестициях. Предположим теперь, что существует возможность не только инвестиций, но и заимствования по ставке m0.
Другими словами, инвестор может взять кредит по ставке m0 и инвестировать эти средства в рискованный портфель. Согласно введенной выше терминологии безрисковое кредитование аналогично «короткой продаже» безрискового актива. Используя наши обозначения, возможна ситуация, когда x0 < 1 и xp > 1 (естественно, что бюджетное ограничение xp+x0=1 сохраняется). В этом случае возможные комбинации риска и дохода также определяются уравнениями (6.18) и (6.19), но эти возможности не ограничиваются отрезком ОА, а расширяются на весь луч ОАА’ (комбинации риска и дохода, достигаемые через кредитование, изображены на рисунке 6-6 пунктирной линией).
11.Безрисковая ставка и эффективное множество
Попробуем теперь соединить, с одной стороны - возможности рискованных инвестиций, определенные множеством допустимых портфелей и соответствующим ему множеством допустимых сочетаний риска и дохода, и с другой - инвестирование в безрисковые активы. Рассмотрим, каким образом будет себя вести рациональный, не склонный к риску инвестор, когда он может одновременно формировать портфель из рискованных и безрисковых активов. Картина теперь существенно изменится. Рассмотрим рисунок 6-7. Пусть безрисковая ставка доходности равна m0 и допустимое множество рискованных портфелей ограничено кривой ЕЕ’.
Задачу инвестора теперь можно раделить на две подзадачи: во-первых, необходимо выбрать рискованный портфель из множества возможных, во-вторых, распределить средства между безрисковыми вложениями и рискованным портфелем. Какой из доступных рискованных портфелей будет выбран? Мы уже установили, что рациональный инвестор всегда стремится выбрать эффективный портфель, то есть такой, средняя доходность и риск которого лежат на границе допустимого множества ЕЕ’. Сравним два портфеля, например, А и В на рисунке 6-7. Допустимые сочетания риска и дохода при различных сочетаниях безрисковых и рискованных инвестиций в случае выбора портфеля А отражаются лучом ОА, при выборе портфеля В - лучом ОВ. Очевидно, что в случае портфеля В мы при любом решении получаем больший средний доход при одинаковой степени риска. Сравнивая аналогично портфели М и В, мы видим, что, в свою очередь, портфель М лучше портфеля В.
Вывод очевиден: если существует возможность безрискового инвестирования, то наилучшим для любого несклонного к риску инвестора будет тот портфель рискованных активов, который соответствует точке касания луча, проведенного из точки О (m=m0, s=0) к границе эффективности.
Таким образом, все инвесторы будут стремиться инвестировать средства в портфель М. Различными будут лишь пропорции, в которых инвесторы распределяют свое богатство между рискованным и безрисковыми инвестициями (то есть между портфелем М и безрисковым активом). Относительно более консервативный инвестор (с большей степенью несклонности к риску) выберет решение ближе к точке О. Агрессивный инвестор (менее несклонный к риску) может решить инвестировать средства в портфель М не только за счет собственных средств, но и за счет кредитования по ставке m0 (рисунок 6-8).
Границей эффективности при существовании безрисковой ставки будет уже не кривая EE’, характеризующая возможности рискованных инвестиций, а прямая (точнее - луч) - касательная к допустимому множеству, проведенная из точки O (линия OM на рисунке 6-8).
12.Модель Марковица
Модель поведения инвестора, согласно которой инвестиции оцениваются исключительно по двум параметрам - ожидаемой доходности и риску, измеряемому как величина стандартного отклонения доходности, позволяет сформулировать единое правило формирования портфеля, которому следуют все без исключения инвесторы: независимо от индивидуальных предпочтений, все инвесторы стремятся сформировать эффективный портфель - такой, который обеспечивает минимальную степень риска для выбранного уровня дохода, либо, что то же самое, максимальный ожидаемый доход при заданной степени риска. Этот подход, и сама задача, выбора эффективного портфеля носит название модели Марковица.
Пусть, как и прежде, существует n активов, каждый из которых обеспечивает случайную величину доходности xi (i=1,...,n), mi - ожидаемая (средняя) доходность i-го актива (математическое ожидание случайной величины xi):
,- стандартное отклонение доходности i-го актива:
,- ковариация между доходностями i-го и j-го активов:
,(rij - коэффициент корреляции случайных величин xi и xj).
Модель Марковица можно сформулировать следующим образом: необходимо найти такие пропорции распределения средств между доступными активами: x1,x2,...,xn (где xi - доля средств, инвестируемых в i-й актив), чтобы риск портфеля при заданном уровне доходности был бы минимальным. Математически модель можно сформулировать так: найти
, (6.20)при ограничениях
(6.21)В приведенной формулировке модели,
- заданный уровень средней доходности, 
(согласно принятым обозначениям).
Модель можно записать в матричной форме, обозначив: x - вектор распределения средств между рискованными активами: x={xi}i=1,...,n; - вектор доходности активов, V - ковариационная матрица (квадратная матрица, состоящая из значений sij, i=1,...,n; j=1,...,n ). Тогда необходимо найти
, (6.22)при ограничениях
(6.23)где e - единичный вектор:
,T - знак транспонирования вектора.
Для модели (6.22), (6.23) легко найти аналитическое решение
,где и - множители Лагранжа ограничений (6.23).
Если существует безрисковый актив, модель можно записать
, (6.24) 
, (6.25) 
, (6.26)где m0 - безрисковая ставка, x0 - доля богатства, инвестируемая в безрисковый актив. От ограничения (6.26) можно избавиться, сделав замену:
. (6.27)Тогда ограничение (6.25) будет выглядеть как
, (6.28)и решение задачи (6.24)-(6.26) можно записать
,где j - множитель Лагранжа ограничения (6.28).
13.Портфель, максимизирующий ожидаемую полезность
Модели (6.22)-(6.23) и (6.24)-(6.26) позволяют выбрать эффективный портфель. Но эффективных портфелей существует множество. Выбор оптимального для данного инвестора портфеля определяется его степенью несклонности к риску (то есть - формой функции полезности). Если сделать предположение о постоянной абсолютной несклонности к риску (см. главу 3) и о нормальном распределении доходности финансовых активов, то портфель, максимизирующий ожидаемую полезность инвестора, выбирается как решение задачи
(6.29)где k - степень несклонности к риску инвестора.
Используя (6.27), задачу (6.29) можно свести к безусловной
.Запишем условие первого порядка
,откуда получим решение
.Естественно, рассмотренные модели упрощены. В реальности существует множество не учтенных здесь дополнительных ограничений: невозможность или ограниченность коротких продаж, отсутствие делимости активов, и другие.
Список используемой литературы
1. Бланк И.А. Инвестиционный менеджмент. – Киев: МТ «ИТЕМ» ЛТД Юнайтед Лондон Трейд Лимитед (Москва-Лондон), 2005
2. Данилов О.Д., Ивашина Г.М , Чумаченко О. Г. Инвестирование: Учебник, 2001 – 364 с.
3. Плоткин Я.Д. Инвестиционный менеджмент. Конспект лекций. – Киев: ДУЛП, 20066 -53с.
4. Касимов Ю.Ф. Введение в теорию оптимального портфеля ценных бумаг. -М., Анкил, 2005.