Шпаргалки по управленческим решениям (стр. 8 из 10)

{ИО2, ИО3} - индексы однородности для 2-го уровня;

{ИО4, ИО5, ИО6} - индексы однородности для 3-го уровня;

{W1} - вектор приоритетов критериев K2 и K3 относительно критерия K1;

{W2},{W3} - векторы приоритетов критериев K4, K5, K6 относительно критериев K2 и K3 второго уровня.

В этом случае индекс однородности рассматриваемой иерархии можно определить по формуле:

где Т - знак транспонирования.

Определение отношения однородности ООИ для всей иерархии осуществляется по формуле

ООИ = ИОИ / М(ИОИ),

где М(ИОИ) - индекс однородности иерархии при случайном заполнении матриц попарных сравнений.

Расчет индекса однородности М(ИОИ) с учетом экспериментальных данных выполняется по формуле:

Однородность иерархии считается удовлетворительной при значениях ООИ <= 0,10.

23. Многокритериальный выбор на иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями.

В практике принятия решений нередко встречается задача, когда ранжируемые по множеству критериев альтернативы оцениваются экспертом не по всем критериям. Эта задача характерна для ситуаций, в которых множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относительно одной или нескольких альтернатив. Таким образом, в рассматриваемом случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью.

Рассмотрим методику определения вектора приоритета альтернатив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом с учетом значимости критериев, и разное количество альтернатив у каждого критерия. Методика предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.

Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде иерархии, устанавливающей взаимосвязь между множеством сравниваемых альтернатив и множеством критериев.

Процедура 2. На основе иерархической структуры определяется бинарная матрица [В], устанавливающая соответствие между альтернативами и критериями. Матрица [В] содержит элементы bij = {0,1}. При этом если альтернатива Аi оценивается по критерию Ej, то bij = 1, в противном случае bij = 0.

Процедура 3. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по соответствующим критериям. Для этой цели используются метод попарного сравнения, метод сравнения относительно стандартов или метод копирования. На основе экспертных оценок с учетом матрицы [В] строится матрица [А] следующего вида:

В матрице [А] экспертные оценки {aij} представляют векторы приоритетов альтернатив относительно критериев Ej. При этом если альтернатива Ai не оценивается по критерию Еj, то в матрице [А] соответствующее значение aij = 0. Векторы в указанной матрице имеют различное число значений aij и могут быть нормированными или ненормированными в зависимости от используемого метода сравнения альтернатив.

Процедура 4. В результате обработки матрицы попарных сравнений критериев Еj определяется нормированный вектор приоритетов критериев.

Процедура 5. Формируются структурные критерии S и L, отображаемые соответствующими диагональными матрицами [S] и [L].

Рассмотрим состав упомянутых матриц.

Матрица [S] имеет следующий вид:

где aij - значения векторов приоритетов из матрицы [А].

С помощью матрицы [S] обеспечивается нормирование векторов приоритетов альтернатив, образующих матрицу [А], если последняя заполнена методом сравнения относительно стандартов или копирования без предварительного нормирования.

Матрица [L] имеет следующий вид:

где Rj - число альтернатив Ai, находящихся под критерием Еj,

- суммарное число альтернатив, находящихся под всеми критериями.

Здесь следует отметить, что число N в матрице [L] может приниматься равным числу рассматриваемых альтернатив r, т.е. N= r. При этом на конечный результат способ определения N не оказывает влияния.

Процедура 6. Определяется вектор приоритетов альтернатив W относительно критериев. Данная процедура реализуется последовательным перемножением слева направо следующих матриц и векторов:

а) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] ненормированы:

W=[A]*[S]*[L]**[B];

б) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] нормированы:

W=[A]*[L]**[B].

В выражениях диагональная матрица [В] предназначена для окончательного нормирования значений вектора приоритетов альтернатив. Эта матрица имеет следующий вид:

где xi - значение ненормированного вектора приоритетов альтернатив, полученное после последовательного перемножения слева направо матриц [A], [S], [L] и вектора ;

r - число альтернатив.

24. Методика решения прикладных задач.

Метод статических предпочтений и приоритетов

Рассмотрим пример использования метода анализа иерархий для выбора наиболее надежного обеспечения кредита. Количество и состав рассматриваемых критериев и альтернатив ограничен, поскольку пример носит учебный характер.

В качестве альтернатив примем наиболее часто применяемые в России виды обеспечения кредитов: A1 - иностранная валюта, A2 - драгоценные металлы, A3 - ценные бумаги, A4 - недвижимость.

Для выбора наиболее рациональной альтернативы используем подход "выгоды - издержки". В соответствии с этим подходом необходимо построить две иерархии, упорядочивающие критерии качества и определяющие общие выгоды и издержки для рассматриваемых альтернатив. Наилучшей является альтернатива с наибольшим отношением количественно определенных выгод к издержкам.

В приведенных иерархиях на первом уровне расположены основные факторы, определяющие выгоды и издержки, на втором - критерии качества, характеризующие собственно выгоды и издержки, на третьем - альтернативы, из которых предстоит сделать выбор.

Используя метод попарного сравнения элементов иерархии, построим матрицы парных сравнений для иерархии, отражающей выгоды от обеспечения кредита. Для каждой матрицы рассчитаем нормированный вектор приоритетов (W), собственное число матрицы (λmax) и отношение согласованности (ОС). Построим матрицы парных сравнений альтернатив относительно критериев качества. Осуществим иерархический синтез в целях определения вектора приоритета альтернатив относительно факторов и фокуса иерархии.

Вектор приоритетов альтернатив относительно экономического фактора (WAЭ) определяется путем перемножения матрицы, сформированной из значений векторов приоритетов W5, W6, W7, на вектор W2, определяющий значимость критериев качества, расположенных под экономическим фактором:

WAЭ = [W5, W6, W7]* W2.

26. Элементы теории нечетких множеств.

Рассмотрим основные элементы теории нечетких множеств [l]. Пусть U- полное множество, охватывающее все объекты некоторого класса. Нечеткое подмножество F множества U, которое в дальнейшем будем называть нечетким множеством, определяется через функцию принадлежности μF (u), uU. Эта функция отображает элементы Ui, множества U на множество вещественных чисел отрезка [0,1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству F.

Если полное множество U состоит из конечного числа элементов uЄi, i = 1, 2, ..., n, то нечеткое множество F можно представить в следующем виде:

где "+" означает не сложение, а, скорее, объединение: символ "/" показывает, что значение μF относится к элементу, следующему за ним (а не означает деление на ui).

В случае, если множество U является непрерывным, F можно записать как интеграл:

Нечеткие множества широко применяются для формализации лингвистических знаний.

Рассмотрим для примера множество процентных ставок, предоставляемых банками по вкладам. Каким образом можно выделить подмножество высоких процентных ставок? В условиях динамично изменяющейся среды не всегда возможно точно ответить на этот вопрос, однозначно выделив множество высоких ставок. При использовании аппарата теории нечетких множеств решить такую задачу можно даже при отсутствии полной количественной информации об окружении. Функция принадлежности для элементов нечеткого множества F1, соответствующих понятию "высокие процентные ставки" (рис. 4.1), будет иметь следующий вид:

Функция принадлежности к нечеткому множеству низких процентных ставок запишется следующим образом:

27. Нечеткие операции, отношения, свойства отношений.

Операции над нечеткими множествами. Над нечеткими множествами, как и над обычными, можно выполнять математические операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение множества, объединение и пересечение множеств.

Операция дополнения может быть представлена следующим образом:

Операция объединения будет иметь следующий вид: