Задача по Менеджменту

Задача №1

Дано: На предприятии выпускающем неоднородную продукцию четырех видов, при производстве изделий используются ресурсы: трудовые, материальные, мощности. Затраты ресурсов на обработку каждого изделия указаны в таблице №1. В ней же указаны потенциальные возможности предприятия по каждому из видов ресурсов, а также доход от реализации единицы изделия каждого вида.

Затраты ресурсов и производственные					показатели
Вид ресурсов	Затраты ресурсов на производство 1 изделия				Производственные возможности предприятия по каждому
	Вид 1	Вид 2	ВидЗ	Вид 4	виду ресурсов
Трудовые (чел/нед) Материальные (кг) Мощности (час)	1 7 3	1 5 5	1 3 10	1 2 15	15 120 100
Доход от продажи единицы продукции	4	5	9	11	Максимизировать
Прибыль от продажи единицы продукции	2	10	6	20	Максимизировать
Объем выпускаемой продукции	x1	x2	x3	x4	Определить

Требуется составить: производственный план предприятия, который включает показатели по номенклатуре (по видам изделий) и по объему, т.е. сколько изделий соответствующего вида изделия следует изготовить предприятию, чтобы доход и прибыль при их реализации были максимальными. Составить математическую модель задачи и решить ее.

Решение: В качестве неизвестного примем x₁ - количество единиц изделий первого вида, изготовленного на предприятии, аналогично x₂, x₃, x₄ - количество единиц второго, третьего и четвертого вида. Тогда для производства такого количества изделий потребуется затратить 1х₁+1х₂+1х₃+1х₄ - человеко/недель трудовых ресурсов. Так как общий фонд рабочего времени не может превышать 15 человеко/недель, то должно выполняться неравенство:

1x₁+lx₂+lx₃+lx₄

15

Аналогичные рассуждения относительно возможного использования материальных

ресурсов и мощностей приведут к следующим неравенствам:

7х₁+5х₂+Зх₃+2х₄

120

3х₁+5x₂+10х₃+15х₄

100

1х₁+1х₂+1х₃+1х₄

15

7х₁+5x₂+3x₃+2x₄

120

3х₁+5х₂+10х₃+15х₄

100

При этом, так как количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, то

x₁

0, х₂ 0, х₃ 0, х₄ 0.

Если будет изготовлено x₁… ...x₄ единиц изделий соответствующего вида, то доход от их реализации может быть представлен в виде следующей функции

Fl(x)=4x₁+5x₂+9x₃+11x₄

max

x={x₁,x₂,x₃,x₄}

x={xj, j=1-4}

Цель производителя получить доход от продажи изделий, как можно выше. Эта

целенаправленность может быть выражена в виде задачи линейного программирования:

F1(х)=mах(4х₁+5х₂+9х₃+11x₄),

При ограничениях

1x₁+lx₂+lx₃+lx₄

15,

7х₁+5х₂+Зх₃+2х₄

120,

3х₁+5x₂+10х₃+15х₄

100,

x₁

0, х₂ 0, х₃ 0, х₄ 0.

Аналогично можно сформулировать задачу для определения максимальной прибыли:

F2(x)=max(2x₁+10x₂+6x₃+20x₄),

При ограничениях

1x₁+lx₂+lx₃+lx₄

15,

7х₁+5х₂+Зх₃+2х₄

120,

3х₁+5x₂+10х₃+15х₄

100,

x₁

0, х₂ 0, х₃ 0, х₄ 0.

Как правило, руководитель фирмы принимает решение с учетом обоих критериев дохода и прибыли, то есть Fl(x) и F2(x):

Opt F(x)={maxF1(x)=( 4х₁+5х₂+9х₃+11x₄),

maxF2(x)=( 2x₁+10x₂+6x₃+20x₄)},

при ограничениях:

1x₁+lx₂+lx₃+lx₄

15,

7х₁+5х₂+Зх₃+2х₄

120,

3х₁+5x₂+10х₃+15х₄

100,

x₁

0, х₂ 0, х₃ 0, х₄ 0.

В этой задаче формулируется следующее: требуется найти неотрицательное решение x₁… ...x₄, в системе неравенств (А) такое, при котором функции F1, F2 принимают максимальные значения.

Линейная функция F, максимум которой требуется определить, вместе с системой неравенств (А) и условием не отрицательности переменных образует математическую модель исходной задачи.

Так как функции F1, F2 линейные, а система (А) содержит только линейные неравенства, то получившаяся задача является задачей линейного программирования. Для ее решения используем метод, основанный на нормализации критериев и принципе гарантированности результатов.

Решение задачи линейного программирования в системе MATLAB

cvec=[-4. -5. -9. -11.;

-2. -10. -6. -20.]

a=[1. 1. 1. 1.;

7. 5. 3. 2.;

3. 5. 10. 15.]

b=[15. 120. 100.]

Aeq=[]; beq=[];

x0=[0. 0. 0. 0.];

[x1, f1]=linprog(cvec(1,:),a, b, Aeq, beq, x0)

[x2, f2]=linprog(cvec(2,:),a, b, Aeq, beq, x0)

Fx=[cvec(1,:)*x1 cvec(2,:)*x1;

cvec(1,:)*x2 cvec(2,:)*x2]

Lx=[Fx(1,1)/f1, Fx(1,2)/f2

Fx(2,1)/f1 Fx(2,2)/f2]

krl=[-1. 0. 0. 0. 0]

f1=-f1; f2=-f2;

a0=[1. -4/f1 -5/f1 -9/f1 -11/f1;

1. -2/f2 -10/f2 -6/f2 -20/f2;

0. 1. 1. 1. 1.;

0. 7. 5. 3. 2.;

0. 3. 5. 10. 15.]

b0=[0. 0. 15. 120. 100.]

Aeq=[]; beq=[]

x0=[0. 0. 0. 0. 0.]

[x0,l0]=linprog(krl,a0,b0,Aeq,beq,x0)

cvec0=[0. -4. -5. -9. -11.;

0. -2. -10. -6. -20.]

Fx0=[cvec0(1,:)*x0 cvec0(2,:)*x0]

Lx0=[Fx0(1)/f1 Fx0(2)/f2]

Результаты решения в системе MATLAB:

cvec =

-4 -5 -9 -11

-2 -10 -6 -20

a =

1 1 1 1

7 5 3 2

3 5 10 15

b =

15 120 100

Optimization terminated successfully.

x1 =

7.1429

0.0000

7.8571

0.0000

f1 =

-99.2857

Optimization terminated successfully.

x2 =

0.0000

12.5000

0.0000

2.5000

f2 =

-175.0000

Fx =

-99.2857 -61.4286

-90.0000 -175.0000

Lx =

1.0000 0.3510

0.9065 1.0000

krl =

-1 0 0 0 0

a0 =

1.0000 -0.0403 -0.0504 -0.0906 -0.1108

1.0000 -0.0114 -0.0571 -0.0343 -0.1143

0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 7.0000 5.0000 3.0000 2.0000

0 3.0000 5.0000 10.0000 15.0000

b0 =

0 0 15 120 100

beq =

[]

x0 =

0 0 0 0 0

Optimization terminated successfully.

x0 =

0.9218

0.0000

11.7396

1.5207

1.7396

l0 =

-0.9218

cvec0 =

0 -4 -5 -9 -11

0 -2 -10 -6 -20

Fx0 =

-91.5207 -161.3135

Lx0 =

-0.9218 -0.9218