Что такое стохастический резонанс? (стр. 1 из 2)
И.П.Иванов
Стохастический резонанс - что значит это словосочетание? "Стохастический" - это относящийся к области хаоса, к беспорядочному поведению, к процессу, динамика которого случайна и непредсказуема. Известным примером такого процесса является броуновское движение. Слово "резонанс" в самом общем смысле означает сильный отклик какой-либо системы на небольшое внешнее воздействие (знаменитый пример из военной истории: разрушение моста из-за того, что по нему в ногу прошла рота солдат). Важно то, что такой сильный отклик - избирателен, то есть он возникает только при определенных параметрах внешнего воздействия. Например, при вынужденном колебании маятника резонанс возникает, если частота внешнего воздействия сравнивается с собственной частотой колебаний системы.
Вместе же эти два слова означают очень интересное и, на первый взгляд, противоречащее здравому смыслу явление, которое имеет место во многих совершенно различных системах и даже, как оказывается, уже давно используется Природой. Удивительно еще и то, что хотя это явление достаточно простое (для его понимания хватит школьного курса механики), оно было открыто и осознано совсем недавно, в 80-х годах.
Суть явления стохастического резонанса заключается в том, что добавление в систему шума, т.е. хаотического движения, не уменьшает, а наоборот усиливает отклик системы на слабенькое периодическое воздействие. Другими словами, шум не подавляет сигнал, а помогает ему проявиться! И что интересно - наиболее сильный эффект возникает при некоторой вполне определенной, оптимальной интенсивности шума.
Как такое может быть? Попытаемся объяснить это как можно более подробно.
Бистабильная система под действием внешней силы.
Давайте рассмотрим сначала какую-либо бистабильную систему. Слова "бистабильная система" говорят сами за себя - это система с двумя положениями устойчивого равновесия. Простой механический пример - это движение материальной точки в потенциале с двумя минимумами (см. рис.1а). Если на частицу действует еще и сила трения, то ясно, что какие бы мы ни выбрали начальные условия, колебания, в конце концов, затухнут, частица "свалится" в одну из потенциальных ям и будет находиться там неограниченно долго.
Для того, чтобы частица все-таки попала в другую потенциальную яму, надо приложить внешнюю силу. Если эта сила достаточно велика, то она "вытащит" частицу из первой ямы и перекинет ее во вторую. Легко понять, насколько велика должна быть эта сила. На языке потенциала (в данном тексте потенциал используется как синоним потенциальной энергии) "приложить внешнюю силу" означает добавить линейно растущий потенциал, как это показано на рис.1б. Если V(x) - бистабильный потенциал, то внешняя сила должна превосходить величину F0 = |V''(x)|, взятой в точке перегиба, т.е. там, где возвращающая сила, создаваемая потенциалом, самая большая. Тогда суммарный потенциал модифицируется так, как показано на рисунке, и частица скатится во вторую яму.
Если теперь внешняя сила будет периодична по времени, то в результате наша частица будет "скакать" из одной ямы в другую и обратно. Итак, что мы получили: наша бистабильная система откликается на сильное внешнее воздействие. При этом частота, с которой система перескакивает из одного устойчивого состояния в другое, совпадает с частотой внешнего воздействия.
Пока здесь нет ничего удивительного. Если внешнее воздействие очень сильное, то система будет послушно повторять все изменения и колебания этой силы.
Посмотрим, что будет, если внешнее воздействие окажется не столь сильным, т.е. F < F0. Тогда частица не сможет покинуть яму и так и останется в ней, несмотря на внешнее воздействие. В результате мы получили, что наша система обладает неким порогом чувствительности: при внешней силе F > F0 система начинает перескакивать из одного состояния в другое с частотой внешней силы, а при F < F0 система не чувствует внешнее воздействие вовсе. (В принципе можно возразить, что в этом случае частица будет колебаться под действием внешней силы внутри одной ямы. Однако чаще всего, наблюдая реальную бистабильную систему, мы можем сказать только одно - в каком из двух состояний она находится. В этом случае, при F < F0 мы будем просто видеть, что система "застыла" в одном из своих положений и все. Именно такой случай мы имеем в виду.)
Итак, вывод: у бистабильной системы существует некий порог чувствительности к внешним воздействиям. Слишком слабые, т.е. подпороговые воздействия остаются для системы незамеченными.
Возникает вопрос: неужели никак нельзя заставить систему чувствовать подпороговый сигнал? Оказывается, можно! И возможность эту предоставляет именно стохастический резонанс.
Отступление: немного о случайных функциях.
Поскольку сейчас речь пойдет о случайной (хаотической) внешней силе, полезно предварительно обсудить этот термин детально.
Итак, что такое случайная величина, а точнее, применительно к нашей задаче - хаотично меняющаяся во времени функция? К примеру, являются ли функции, изображенные на рис.2а, случайными? Что является настоящим шумом, а что - смесью периодического сигнала с шумом? Математика, а точнее, ее ветвь под условным названием "Теория сигнала", предоставляет четкие ответы на эти вопросы. Здесь мы опишем лишь один из подходов, а именно, как с помощью преобразования Фурье отделить периодический сигнал от шума.
Пусть у нас есть функция y(t), которая как-то колеблется относительно нуля. Примеры таких функций как раз и представлены на рис.2а. Поскольку y(t) колеблется около нуля, то ее среднее значение
T
< y(t)> = тy(t)dt ~ 0.
0
Здесь T - полное время наблюдения сигнала; мы будем считать, что T гораздо больше, чем характерные периоды колебаний. Символ "~ 0" означает "много меньше произведения амплитуды на T". В дальнейшем, величины, взятые в такие угловые скобки, будут означать усреднение по времени в виде представленного здесь интеграла.
Давайте теперь усредним y(t), домноженную на cos(wt) с некоторой частотой w. Для разных w мы будем при интегрировании получать разные значения. Другими словами, мы получим некую функцию, зависящую от w:
f(w) = <y(t)cos(wt)>.
Эта функция называется фурье-образом исходного сигнала y(t), а переход от переменной t к переменной w и есть преобразование Фурье.
Глядя на фурье-образ функции, можно определить, присутствует ли в сигнале какая-либо периодическая составляющая, или же это чистый шум. Действительно, пусть наш сигнал - это чистый косинус с частотой w0: y(t) = acos(w0t).
Тогда, при вычислении мы получим f(w) ~ 0 для любых w, не равных w0, и большую величину aT/2 при w=w0. Фурье-образ f(w) в этом случае будет выглядеть, как показано на рис.2 в верхнем ряду.
Если же наш сигнал есть чистый шум, то интеграл будет давать некую, приблизительно постоянную величину для любых значений w. Это и есть признак того, что перед нами так называемый "белый шум", т.е. шум, в котором равноправно присутствуют все частоты (рис.2, средний ряд). (На самом деле, надо, конечно, работать аккуратнее, а именно, усреднять и с косинусом, и с синусом, и выделять амплитуду и фазу фурье-образа, но для наших целей это непринципиально.)
Если же теперь смешать шум с периодическим сигналом, то фурье-образ будет выглядеть, как в нижнем ряду рис.2. Мы увидим, что над ровным фурье-образом белого шума будет возвышаться некая "горка". Ее положение и высота позволят определить частоту и амплитуду периодической компоненты сигнала, спрятанной в шуме. Важно еще и то, что благодаря фурье-преобразованию можно детектировать периодический сигнал, даже если его амплитуда гораздо меньше амплитуды шума.
Бистабильная система под действием случайной силы.
Итак, рассмотрим вновь нашу бистабильную систему в отсутствии внешних сил. Система замерла в одном из положений равновесия. Пусть теперь на частицу действует случайная сила, то есть давайте наложим на систему случайное внешнее воздействие, попросту говоря, шум. Под действием этой силы частица будет случайно колебаться. При этом может оказаться и так, что частица, блуждая по одной потенциальной яме, вдруг перескочит и во вторую. Среднее время между такими перескоками равно:
t = exp(DV / D).
Здесь DV - высота барьера, разделяющего две потенциальные ямы, а D - интенсивность шума. Видно, что чем сильнее шум, тем меньше это время, т.е. тем чаще частица перескакивает из одной ямы в другую. Если изобразить зависимость координаты частицы от времени, то получится приблизительно такая картина, как на рис.3.
Суть и свойства стохастического резонанса.
Теперь - заключительный аккорд. Что произойдет, если к внешнему шуму добавить и слабенький, подпороговый периодический сигнал? Заметьте, подпороговый, т.е. который сам по себе, без шума, не смог бы вызвать переход системы из одного состояния в другое!
В этом случае частица будет по-прежнему скакать из одной ямы в другую, но характер этого процесса изменится: в нем появится периодическая компонента с периодом, равным периоду внешнего слабого сигнала. То есть, перескоки осуществляются за счет случайной силы, а периодическая добавка лишь "модулирует" эффект (т.е. добавляет свою собственную периодичность). Именно так это подпороговое возмущение и проявляется: шум как бы устраняет непреодолимый ранее потенциальный барьер и заставляет систему откликаться на подпороговый сигнал. Это и есть явление стохастического резонанса.
Самая интересная особенность стохастического резонанса - это то, что существует некая оптимальная интенсивность шума, при которой отклик системы на периодический сигнал самый сильный. Как определить, насколько велик этот отклик, мы уже знаем. Для этого надо построить зависимость координаты частицы от времени и с помощью преобразования Фурье выделить периодическую составляющую сигнала. Тогда амплитуда дополнительного "горба" фурье-образа (рис.2) будет служить количественной характеристикой чувствительности системы. Действительно, чем выше горб, тем сильнее проявляется внешний периодический сигнал в движении частицы.