Если пространство и время состоят из атомов (неделимых ячеек и временных промежутков), то часть равна целому. Доказывается это положение так. Пусть на стадионе бегут навстречу друг другу с одинаковыми скоростями две колонны атлетов мимо неподвижной третьей. Пусть также все атлеты из каждой колонны находятся в соседних атомах пространства, в которых бегущие пребывают одну неделимую часть (единицу) времени и одну единицу времени затрачивают на переход из одного атома пространства в другой (соседний). В этом случае движение окажется самым быстрым. Тогда каждая из движущихся колонн в течение времени, которое нужно для того, чтобы пройти мимо, например, двух неделимых частей неподвижной колонны, т.е. за четыре неделимые единицы времени, пройдет мимо четырех неделимых частей другой движущейся колонны. Спрашивается: сколько на это понадобится единиц времени? Если тоже четыре, то получается, что четыре неделимые ячейки пространства пройдены за четыре единицы времени. Но это в теории квантованного пространства-времени невозможно, т.к. переход из одной ячейки в соседнюю осуществляется за один квант времени, и, по крайней мере, один квант времени атлет должен находиться в каждом атоме пространства. Следовательно, для прохождения одной движущейся колонны атлетов мимо другой колонны, движущейся в противоположную сторону, в этом случае надо затратить восемь единиц времени (именно восемь, а не четыре, как это было бы в случае бесконечной делимости пространства и времени). Но ведь прошло-то одно и то же время! Получается, что 4=8, а это абсурдно.
Разумеется, приведенное рассуждение справедливо только в случае квантованности пространства и времени и совершенно не состоятельно, если этой квантованности не существует. Выходит, что попытка разрешить апорию "Стрела" с помощью теории квантованного пространства-времени приводит к новой неразрешимой ситуации, т.е. к новой апории.
Но предположим, что пространство бесконечно делимо, а время квантованно. Пытаясь решить апорию "Стрела", мы можем использовать и такой подход. Тогда траекторию движущейся точки можно разбить на отрезки, соответствующие отдельным квантам времени. В каждый момент (квант) времени точка находится на соответствующем отрезке и движется со скоростью, равной отношению длины этого элементарного отрезка к единице (кванту) времени. Разбивать элементарные отрезки на более мелкие в этом случае бессмысленно и невозможно. Бессмысленно потому, что нельзя сказать, какую из частей элементарного отрезка точка проходит раньше, а какую позже, т.к. внутри кванта времени нет ни "раньше", ни "позже". Невозможно же потому, что на переход из одной части пространства в другую требуется некоторое время, а внутри элементарного отрезка время неделимо. Казалось бы, такой подход позволяет мыслить движение примерно так же, как и в случае квантованного пространства- времени, с той лишь разницей, что пространство не "само" (в силу своей квантованности) разбито на ячейки, а разбивается нами в соответствии с указанной процедурой. В этом случае аргументы "Стадия" будут бить мимо цели.
Однако здесь Зенон приготовил нам новые трудности - апории "Дихотомия" и "Ахиллес".
Апория "Дихотомия" ("Деление пополам")
Движущееся тело, прежде чем пройти весь путь, должно пройти его половину, а еще ранее оно должно пройти половину от этой половины, т.е. четверть всего пути, а перед этим - половину четверти, т.е. восьмую часть целого, и так далее до бесконечности, ведь пространство непрерывно. Если на прохождение каждой "половины" (а их бесконечно много) потребуется хотя бы один квант времени (который конечен, а не бесконечно мал), то общее время прохождения отрезка любой наперед заданной длины равно бесконечности. И мы опять попадаем в безвыходное положение. Апория, одним словом!
Эта апория (иногда ее называют "Ахиллес и черепаха") объединяет в себе трудности, встречающиеся в других апориях. Она говорит о том, что быстрое (Ахиллес) теоретически не может догнать медленное (черепаху), хотя на практике бегущий человек с легкостью догоняет и обгоняет ползущую черепаху. В самом деле, преследующему необходимо сначала достичь места, откуда уже двинулось убегающее, так что медленное всегда имеет некоторое преимущество.
а) Пусть пространство и время делимы до бесконечности.
Для проведения рассуждения в чистом виде рассмотрим прямую линию, на которой отметим две точки А (Ахиллес) и Ч (черепаха). Пусть между ними окажется расстояние l. Теперь представим, что эти точки одновременно начали двигаться в одну сторону, но с разными скоростями, причем vА > vЧ . Казалось бы, не должно возникать никаких проблем при определении времени, через которое Ахиллес догонит черепаху; оно равно l / (vА - vЧ). На практике так и получается. Но в теории появляется существенная трудность, если вдуматься в понятие скорости. Что это такое? Греки считали, что скорость есть отношение пути ко времени его прохождения. Путь всегда связывает две отстоящие друг от друга точки. Следует ли отсюда, что скорость - это понятие, относящееся к двум точкам пространства? Если да, то как ответить на вопрос, движется ли точка (обладает ли она скоростью) в каждый момент своего движения, в каждой точке своей траектории. Если движется, то что это означает? Как определить скорость в точке? Можно, конечно, брать все более малые интервалы времени, которым будут соответствовать все более малые участки пути, и, деля второе на первое, получать некоторые значения скорости. Но с точки зрения логики две разные точки, сколь ни было бы мало расстояние между ними, всегда будут разными точками. Поэтому так определяемое понятие скорости относится к двум разным точкам, и мы не можем понять, как точка может двигаться там, где она находится. Т.е. мы опять вернулись к трудности, зафиксированной в апории "Стрела".
Кроме этого, т.к. число шагов в принципе бесконечно, то логически мы решаем все время одну и ту же задачу (черепаха чуть впереди, а Ахиллес ее догоняет) и нисколько не продвигаемся вперед. Получается, так сказать, логическая "зацикленность".
б) Пусть пространство и время не делимы до бесконечности.
В этом случае нельзя говорить о безразмерных точках. И Ахиллес, и черепаха должны быть представлены по крайней мере в виде отрезков. Итак, пусть вдоль прямой движутся в одну сторону два отрезка с разными скоростями и пусть наиболее быстрый из них сначала отстает. Тогда при обгоне быстрым отрезком медленного возникает ситуация, аналогичная апории "Стадий": можно вообразить неподвижный отрезок, расположенный вдоль рассматриваемой прямой, и показать, что часть рана целому.
в) Пусть пространство непрерывно, а время квантованно.
Тогда быстрой точке, догоняющей медленную, нужно сначала достичь той точки, где была медленная, но за это время медленная точка уже уйдет немного вперед и так далее до бесконечности. Таким образом, ту длину, на которой бытрое догоняет медленное, можно с помощью указанной процедуры разбить на бесконечное количество частей, и если на перемещение из одной части в соседнюю требуется хотя бы один квант времени, то общее время становится бесконечным.
г) Пусть пространство квантованно, а время непренрывно.
Увы, и в этом случае нас ожидает неудача. В каждый момент времени движущаяся "точка" (которая уже не может быть меньше атома пространства) будет занимать определенный атомарный пространственный участок. Для того, чтобы въехать в соседнюю ячейку, необходимо некоторое время (иначе "точка" мгновенно переместится из одного места в другое, что невозможно). Но если при этом время непрерывно, то "точка" не может въехать в соседнюю ячейку. В самом деле, если на этот переход требуется время, то возникает вопрос, на который мы не можем ответить: где находится "точка", когда она уже вышла из одной ячейки, но еще не пришла в соседнюю? Ведь "точка" не может въехать в соседнюю ячейку по частям (пространство-то квантованно). Следовательно она вообще не сможет сдвинуться с места. Это относится, разумеется, не только к Ахиллесу, но и к черепахе (и вообще к любому телу).
Элеаты не были самыми первыми философами Великой Эллады (так называли греки колонизированную ими часть Италии). Пифагорейцы появились раньше элеатов. Последователи Пифагора, выходца с ионийского острова Самоса и младшего современника Фалеса, выработали оригинальный взгляд на мир и жили в соответствии с ним. Они создали в южноиталийском городе Кротоне религиозно-философское "братство" - пифагорейский союз, в который принимали мужчин и женщин. Первые женщины-философы были пифагорейками. Наибольшую известность среди них получила жена Пифагора Теано (по другим свидетельствам она была женой пифагорейца Бротина). Сохранился фрагмент из ее сочинения "О благочестии": "И многие эллины, как мне известно, думают, будто Пифагор говорил, что все рождается из числа. Но это учение вызывает недоумение: каким образом то, что даже не существует, мыслится порождающим? Между тем он говорил, что все возникает не из числа, а согласно числу, т.к. в числе - первый порядок, по причастности которому и в счислимых вещах устанавливается первое, второе и так далее".
Пифагор хотел быть не только мудрецом, но и пророком, а может быть, и полубогом. О нем рассказывали чудеса. Его душа жила сначала в сыне Гермеса, потом переселилась в троянца, которого ранил Менелай, затем она жила в теле милетца, узнавшего полусгнивший шит Менелая на стене храма Аполлона, и наконец стала Пифагором. Он гладил белого орла, разговаривал с рекой Сирис, одновременно находился в двух городах, между которыми была неделя пути. У него было золотое бедро.