К 90-м годам статистика объектов нечисловой природы с теоретической точки зрения была достаточно хорошо развита, основные идеи, подходы и методы были разработаны и изучены математически, в частности, доказано достаточно много теорем. Однако она оставалась недостаточно апробированной на практике. Это было связано как с ее сравнительной молодостью, так и с общеизвестными особенностями организации науки в 80-е годы, когда отсутствовали достаточные стимулы к тому, чтобы теоретики занялись широким внедрением своих результатов. И в 90-е годы наступило время от математико-статистических исследований перейти к применению полученных результатов на практике. Эта тенденция хорошо отражена в монографиях [73,74], материалах международной конференции "Управление большими системами" [75].
Следует отметить, что в статистике объектов нечисловой природы, как и в других областях прикладной математической статистики и прикладной математики вообще, одна и та же математическая схема может с успехом применяться и в технических исследованиях, и в медицине, и в социологии, и для анализа экспертных оценок, а потому ее лучше всего формулировать и изучать в наиболее общем виде, для объектов произвольной природы.
10. Основные идеи статистики объектов нечисловой природы
В чем принципиальная новизна нечисловой статистики? Для классической математической статистики характерна операция сложения. При расчете выборочных характеристик распределения (выборочное среднее арифметическое, выборочная дисперсия и др.), в регрессионном анализе и других областях этой научной дисциплины постоянно используются суммы. Математический аппарат - законы больших чисел, Центральная предельная теорема и другие теоремы - нацелены на изучение сумм. В нечисловой же статистике нельзя использовать операцию сложения, поскольку элементы выборки лежат в пространствах, где нет операции сложения. Методы обработки нечисловых данных основаны на принципиально ином математическом аппарате - на применении различных расстояний в пространствах объектов нечисловой природы.
Кратко рассмотрим несколько идей, развиваемых в статистике объектов нечисловой природы для данных, лежащих в пространствах произвольного вида. Решаются классические задачи описания данных, оценивания, проверки гипотез - но для неклассических данных, а потому неклассическими методами.
Первой обсудим проблему определения средних величин. В рамках репрезентативной теории измерений удается указать вид средних величин, соответствующих тем или иным шкалам измерения [35]. В классической математической статистике средние величины вводят с помощью операций сложения (выборочное среднее арифметическое, математическое ожидание) или упорядочения (выборочная и теоретическая медианы). В пространствах произвольной природы средние значения нельзя определить с помощью операций сложения или упорядочения. Теоретические и эмпирические средние приходится вводить как решения экстремальных задач. Для теоретического среднего это - задача минимизации математического ожидания (в классическом смысле) расстояния от случайного элемента со значениями в рассматриваемом пространстве до фиксированной точки этого пространства (минимизируется указанная функция от этой точки). Для эмпирического среднего математическое ожидание берется по эмпирическому распределению, т.е. берется сумма расстояний от некоторой точки до элементов выборки и затем минимизируется по этой точке. При этом как эмпирическое, так и теоретическое средние как решения экстремальных задач могут быть не единственным элементом пространства, а состоять из множества таких элементов, которое может оказаться и пустым. Тем не менее удалось сформулировать и доказать законы больших чисел для средних величин, определенных указанным образом, т.е. установить сходимость эмпирических средних к теоретическим .
Оказалось, что методы доказательства законов больших чисел допускают существенно более широкую область применения, чем та, для которой они были разработаны. А именно, удалось изучить асимптотику решений экстремальных статистических задач, к которым, как известно, сводится большинство постановок прикладной статистики [26]. В частности, кроме законов больших чисел установлена и состоятельность оценок минимального контраста, в том числе оценок максимального правдоподобия и робастных оценок. К настоящему времени подобные оценки изучены также и в интервальной статистике.
В статистике в пространствах произвольной природы большую роль играют непараметрические оценки плотности, используемые, в частности, в различных алгоритмах регрессионного, дискриминантного, кластерного анализов. В нечисловой статистике предложен и изучен ряд типов непараметрических оценок плотности в пространствах произвольной природы, в частности, доказана их состоятельность, изучена скорость сходимости и установлен примечательный факт совпадения наилучшей скорости сходимости в произвольном случае с той, которая имеет быть в классической теории для числовых случайных величин.
Дискриминантный, кластерный, регрессионный анализы в пространствах произвольной природы основаны либо на параметрической теории - и тогда применяется подход, связанный с асимптотикой решения экстремальных статистических задач - либо на непараметрической теории - и тогда используются алгоритмы на основе непараметрических оценок плотности.
Для проверки гипотез могут быть использованы статистики интегрального типа, в частности, типа омега-квадрат. Любопытно, что предельная теория таких статистик, построенная первоначально в классической постановке [76], приобрела естественный (завершенный, изящный) вид именно для пространств произвольного вида [77], поскольку при этом удалось провести рассуждения, опираясь на базовые математические соотношения, а не на те частные (с общей точки зрения), что были связаны с конечномерным пространством.
Представляют интерес результаты, связанные с конкретными областями статистики объектов нечисловой природы, в частности, со статистикой нечетких множеств [78], со случайными множествами [35] (следует отметить, что теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств [35,78]), с непараметрической теорией парных сравнений [72], с аксиоматическим введением метрик в конкретных пространствах объектов нечисловой природы [71].
Для анализа нечисловых, в частности, экспертных данных весьма важны методы классификации. С другой стороны, наиболее естественно ставить и решать задачи классификации, основанные на использовании расстояний или показателей различия, в рамках статистики объектов нечисловой природы. Это касается как распознавания образов с учителем (другими словами, дискриминантного анализа), так и распознавания образов без учителя (т.е. кластерного анализа). Современное состояние дискриминантного и кластерного анализа с точки зрения статистики объектов нечисловой природы отражено работах в [79].
Статистические методы анализа нечисловых данных особенно хорошо приспособлены для применения в экономике, социологии и экспертных оценках, поскольку в этих областях от 50% до 90% данных являются нечисловыми [80].
11. Заключение
Мы рассмотрели пять "точек роста" прикладной статистики как методической дисциплины. Разумеется, они не исчерпывают все многообразие фронта научных исследований в этой области. В частности, решены отнюдь не все проблемы, поставленные в конце 70-х годов в т.н. "цахкадзорской тетради" [81]. Кроме того, мы почти не затрагивали разнообразные применения статистических методов в конкретных прикладных областях. Много интересных проблем есть в планировании экспериментов, особенно кинетических (см., например, статьи [2,82]), при анализе проблем надежности (см., в частности, статью [83]), в новых статистических методах управления качеством продукции, в том числе в связи с идеями Г.Тагути (см. об этом статью [84]), в вопросах экологии и безопасности [75], и др.
В течение последних более чем 60 лет в России наблюдается огромный разрыв между государственной статистикой и научным сообществом специалистов по статистическим методам (подробнее об этом см.[19]). В учебнике по истории статистики [14] даже не упоминаются имена членов-корреспондентов АН СССР Н.В.Смирнова и Л.Н.Большева! Поэтому нет ничего удивительного в том, что тенденции развития современной прикладной математической статистики столь же мало обсуждаются отечественными авторами, как и ее история. Буду рад, если настоящая статья положит начало дискуссии о будущем нашей науки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Орлов А.И. / Вестник статистики. 1986, № 8. С.52 - 56
2. Горский В.Г. - В сб.: Международная школа повышения квалификации "Инженерно-химическая наука для передовых технологий". Труды третьей сессии, 26-30 мая 1997. Казань, Россия / Под ред. В.А.Махлина. - М.: Научно-Исследовательский Физико-Химический Институт им.Карпова, 1997. С.261-293.
3. Гуда А.Н. Модели, методы и средства анализа данных в затрудненных условиях. Автореф. дисс. докт. технич. наук. - Таганрог: Таганрогский государственный радиотехнический университет, 1997. 38 с.
4. Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещества. - М.: Физматгиз, 1960. - 430 с.
5. Налимов В.В., Чернова Н.Л. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. - М.: Физматгиз, 1965. - 340 с.
6. Налимов В.В. Канатоходец. Воспоминания. - М.: Издательская группа "Прогресс", 1994. - 456 с.
7. Гнеденко Б.В., Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1988. Т.54. № 1. С.1-4.
8. Горский В.Г. / Заводская лаборатория. 1992. Т.58. № 1. С.63-64.
9. Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1992. Т.58. № 1. С.67-74.
10. Комаров Д.М., Орлов А.И. - В сб.: Вопросы применения экспертных систем. - Минск: Центросистем, 1988. С.151-160.