Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпретация квантовой механики (стр. 5 из 8)
И клинамен, и спонтанное испускание света относятся к событиям, соответствующим вероятностному описанию. События и вероятности требуются и для эволюционного описания, будь то дарвиновская теория эволюции или история человечества. Встаёт вопрос: можно ли пойти дальше, чем Лукреций и Эйнштейн, "добавившие" события к детерминистическим законам? Можно ли видоизменить само понятие физических законов так, чтобы включить в фундаментальное описание природы необратимость, события и стрелу времени?
Для ответа на этот вопрос обратимся сначала к той области физики, которая имеет дело с "наиболее необратимыми" из встречающихся в повседневной жизни системами – а именно, к термодинамике и статистической физике.
2.2 Роль необратимости в статистической механике. Потоки корреляций
Теория ансамблей Гиббса и Эйнштейна предназначалась главным образом для достижения лучшего понимания равновесной термодинамики в терминах равновесных ансамблей. Коль скоро равновесное распределение задано, мы можем вычислить все термодинамические свойства: давление, удельную теплоёмкость и т.д. Мы можем даже выйти за рамки микроскопической термодинамики, поскольку ничто не мешает нам вычислять флуктуации равновесных величин. По общему мнению, в обширной области равновесной "статистической" термодинамики не осталось каких-либо концептуальных трудностей, вычислительные же легко снимаются численным моделированием. Таким образом, применение теории ансамблей к равновесным распределениям оказалось весьма успешным.
Но термодинамические величины, "соответствующие" необратимому характеру времени – такие, как энтропия – обладают фундаментально важными свойствами и вне равновесия. Встаёт вопрос: как можно понять в терминах теории ансамблей приближение к равновесию?
При описании равновесного состояния основной величиной является распределение скоростей f(v,t). Микроскопическим аналогом энтропии Больцман объявил знаменитую H-функцию:
Больцман показал, что для разрежённых газов распределение скоростей эволюционирует до тех пор, пока не достигает равновесного распределения скоростей Максвелла-Больцмана, при этом H(t) монотонно убывает.
Компьютерное моделирование и численные эксперименты подтверждают утверждение Больцмана [1, с.167], то есть наличие необратимых процессов на микроскопическом уровне. Однако такая проверка не может нас полностью удовлетворить: всегда можно списать появляющуюся необратимость на счёт неточности вычислений (аналогично потере информации при сдвиге Бернулли, рассмотренном выше).
Теорема Больцмана подвергалась критике (в частности, со стороны Лошмидта) на том основании, что она противоречит обратимым во времени законам динамики. Лошмидт выдвинул возражение, основанное на том, что обращение всех скоростей означало бы, что для каждой "больцмановской" эволюции к равновесию существовала бы другая эволюция, уменьшающая энтропию.
Вероятно, Лошмидт был прав. На то есть серьёзные основания, лежащие в основе той самой гамильтоновой механики, на базе которой строилась классическая статистическая механика. Дело в том, что интегрируемые системы не могут приближаться к равновесию, поскольку для таких систем все переменные действия J1, ..., Jsявляются инвариантами движения: если первоначально rесть функция только переменных действия, то эта функция остаётся постоянной во времени и не может эволюционировать в функцию только энергии, как должно быть для равновесного состояния.
Пытаясь увязать детерминизм поведения динамических систем с необратимостью систем статистических, Максвелл и Больцман ввели понятие эргодичности – то есть свойства системы с течением времени сколь угодно близко подходить к любой точке на энергетической поверхности. При этом в пределе, при больших временах, средние от динамических свойств по времени совпадают со средними по ансамблю. Эргодическая теория и различные её обобщения позволяют делать заключения о поведении динамических систем при больших временах (при этом безразлично, t ®+µ или t ® –µ), но не дают никакой информации относительно поведения системы при конечных временах. Кроме того, интегрируемые системы, вообще говоря, неэргодичны.
Между тем, именно поведение систем на конечных временах является центральной математической проблемой необратимости. Нужна обобщённая спектральная теория, включающая в спектр такие диссипативные свойства, как времена жизни, времена релаксации и т.д. (Брюссельская школа как раз и предлагает такое комплексное спектральное представление для неустойчивых динамических систем – об этом сказано в следующих разделах данной работы).
После возражений Лошмидта для описания различия между "больцмановскими" и "антибольцмановскими" начальными состояниями была предпринята попытка воспользоваться корреляциями в скоростях частиц, возникающими в результате межчастичных столкновений. Последовательные столкновения порождают парные, тройные,..., n–арные корреляции между частицами. Обращение скорости привело бы к столкновениям, разрушающим корреляции.
В терминах функций распределения это можно выразить так: проинтегрируем по координатам функцию r(q1, ..., qn, ..., p1, ..., pn,, t). Получим в результате функциюr0(p1, ..., pn,, t), зависящую только от импульсов. В ней не содержится никакой информации о положении частиц в пространстве, поэтому её можно назвать вакуумом корреляций. Можно также определить функцию, содержащую информацию о положении одной i-й частицы, функцию r2(qi.,qj,, p1, ..., pn,, t), описывающую две частицы и т.д. Функцияr2 содержит уже информацию о парных столкновениях, r3 – о тройных, ... В результате, мы можем разложить r на вакуум корреляций r0 и на состояния корреляций. Отличие в квантовой механике, как обычно, связано с числом независимых переменных. Матрице плотности соответствует матричное представление – например, в терминах импульсов – r(p1,...,pn,p1',...,pn'). Мы имеем диагональные элементы с p1=p1', p2=p2',... и недиагональные, у которых по крайней мере одно из этих соотношений нарушено. В квантовой механике вакууму корреляций r0соответствует диагональным элементам матрицы r, а rn – недиагональным элементам, в которых n переменных p1, p2, ..., pnне равны соответственно p1', p2', ..., pn'. В результате взаимодействий различные состояния корреляций переходят друг в друга. (С точки зрения операторного формализма на матрицы pi действует супероператор Лиувилля – см. ниже). Когда частица, уже коррелированная с другой частицей, сталкивается с третьей, возникает тройная корреляция, и т.д.
Теперь нетрудно установить связь между потоком корреляций и теоремой Пуанкаре. Интегрируемые системы – это системы, в которых мы можем исключить взаимодействие, поэтому исключается и поток корреляций. Следовательно, если эволюция интегрируемой системы начинается с вакуума корреляций, в ходе эволюции никогда не возникнут двойные, тройные и т.д. корреляции. Потока корреляций в интегрируемых системах не существует.
В отличие от интегрируемых систем, в неинтегрируемых системах Пуанкаре существует непрерывный процесс рождения корреляций. Неинтегрируемость означает, что мы не можем исключить поток корреляций с помощью любого (канонического) преобразования. Поток корреляций, как и все необратимые процессы, носит внутренний характер.
Кроме того, в неинтегрируемых системах вакуум корреляций становится зависящим от времени. Таким образом, делается заключение, что кинетические уравнения типа уравнений Больцмана могут выполняться только для "неинтегрируемых" систем, как классических, так и квантовых.
2.3 Проблема несводимого описания
Эволюция во времени плотности распределения вероятности определяется уравнением Лиувилля, которое следует из классической гамильтоновой динамики. В операторной записи оно имеет вид
при этом явный вид оператора Лиувилля L может быть выведен из гамильтониана. Следует отметить, что как и операторы квантовой механики, оператор Лиувилля эрмитов.
Теория ансамблей Гиббса обобщается на случай квантовой теории с той лишь разницей, что в квантовой теории гильбертово пространство содержит лишь половину переменных, входящих в классическое описание. Место плотности вероятности занимает матрица плотности
, эволюция её во времени описывается уравнением Лиувилля–фон Неймана 
. Так как новый оператор Лиувилля действует не на волновые функции, а на матрицу плотности, которая сама по себе оператор, L обычно называют супероператором. Оператор L – эрмитов, а пространство матриц плотности – гильбертово. [5]Использование операторного формализма позволяет в статистической механике применять к классическим системам методы, разработанные для квантовых систем: определение собственных функций и собственных значений для оператора Лиувилля.