Реферат

На тему «Сложение колебаний»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Векторная диаграмма

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол б. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью щ₀, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от —А до +A, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебаниебудет суммой колебаний х₁и x₂, которые определяются функциями

(1)

Представим оба колебания с помощью векторов A₁и А₂. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось xравна сумме проекций складываемых векторов:

Поэтому, вектор Aпредставляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью щ₀, как и векторы А₁и А₂, так что сумма x₁и х₂является гармоническим колебанием с частотой (щ₀, амплитудой Aи начальной фазой б. Используя теорему косинусов получаем, что

(2)

Также, из рисунка видно, что

(3)

Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины xи y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой щ по гармоническому закону, то

(1)

Где e_xи e_у — орты координатных осей xи y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами xи у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.

В случае колеблющейся частицы величины

(2)

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t. Из первого уравнения следует, что

(3) Соответственно

(4)

Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:

Подставим вместо cos щtи sinщt их значения (3) и (4):

Преобразуем это уравнение

(5)

Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд Aи В и разности фаз б.

Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.

1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:

Отсюда получается уравнение прямой:

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и амплитудой, равной

(рис. 1 а).

2. Разность фаз б равна ±р. Из уравнение (5)имеет вид

Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

(рис. 1 б)

Рис.1

3. При

уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:

Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность.

Случаи

отличаются направлением движения по эллипсу или окружности.

Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:

(знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

Фигура Лиссажу для

отношения частот 1:2 и

разности фаз р/2

Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р/2