где
. (7)Предложенная модель, которая описывает неравномерные по времени искажения эталона
, более пригодна для описания реальных циклических сигналов, в частности ЭКГ, нежели ее упрощенный вариант ,полученный в предположении, что фигурирующий в (7) случайный параметр
зависит только от номера цикла, но не зависит от номера фрагмента.Нетрудно показать, что стохастическая модель (6),(7) является прямым обобщением известных моделей строго периодического и почти периодического процессов. Действительно, положив в (7)
, модель (6) можно представить в виде соотношения ,которое описывает почти периодический процесс [9], а при дополнительном условии
, сводится к модели строго периодической функции .Предложенная модель легко может быть обобщена для описания процесса порождения более сложных циклических сигналов, в частности, ЭКГ с изменяющейся морфологией отдельных циклов (экстрасистолами) [10]. Для этого достаточно ввести в рассмотрение не один, а
эталонов , и предположить, что каждый -й цикл порождается путем аналогичных искажений одного из этих эталонов, выбираемых случайным образом в соответствии с вероятностями .Генератор циклических последовательностей. Рассмотрим достаточно простой алгоритм генерации дискретных циклических последовательностей по эталонам. Пусть каждый из
эталонов , ( ) представлен конечным числом дискретных значений , зафиксированных с постоянным шагом квантования по времени. Зададим общее число фрагментов каждого эталона и номера точек , которые определяют границы -го и -го фрагмента -го эталона.При таких исходных данных процедура генерации циклической последовательности сводится к следующим шагам.
Шаг 1. Задаем общее число
циклов генерируемой последовательности.Шаг 2. Определяем число
циклов, порождаемых -м эталоном, по формуле , где здесь и далее -операция округления до целого числа .Шаг 3. Выбираем номер
эталона, порождающего -й цикл ( ), по значению реализации целочисленной случайной величины , распределенной на интервале [1,G] т.е. = .Шаг 4. Если
, то повторяем шаг 3.Шаг 5. Определяем число точек
-го фрагмента -го цикла по формуле ,где
- реализация случайной величины , которая с нулевым математическим ожиданием распределена на интервале .Шаг 6. По дискретным значениям
-го фрагмента -го эталона в узлах любым из методов интерполяции вычисляем значения генерируемой последовательности в точках.Шаг 7. Модифицируем каждое вычисленное значение
на основе мультипликативной процедуры , где - реализация случайной величины , которая с нулевым математическим ожиданием распределена на интервале .Шаг 8. Если
, то возвращаемся к шагу 5.Шаг 9. Присваиваем
.Шаг 10. Если
, то возвращаемся к шагу 3.Результаты моделирования подтверждают эффективность рассмотренного алгоритма для имитации реальных циклических сигналов (рис. 1).
Рис. 1. ЭКГ- сигнал, порожденный моделью (6): по одному эталону (а); по двум эталонам (б)
Метод оценки эталона по искаженной реализации. Пусть циклический сигнал (6) представлен последовательностью
дискретных значений, наблюдаемых в течение циклов. Предположим, что для каждого -го значения имеется оценка производной . Выполнив нормировку ,сформируем множество
точек, принадлежащих траектории наблюдаемого сигнала в двумерном нормированном фазовом пространстве .Пусть нам известны номера точек
, соответствующие началамкаждого
-го цикла ( алгоритм определения номеров в данной статье не рассматривается). Тогда множество можно разбить на подмножеств нормированных векторов , концы которых лежат на фазовых траекториях отдельных циклов.Будем оценивать расстояние между любыми двумя подмножествами
и , хаусдорфовой метрикой [11] , (8)где
- евклидово расстояние между точками и .