На фоне других философов XVII в. В. Лейбниц выступает как наиболее убежденный защитник существования актуальной бесконечности. Тема бесконечности обсуждалась Лейбницем в разных аспектах. Актуально бесконечно, прежде всего, количество субстанций – монад в Универсуме. Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с законом предустановленной гармонии. «Всякую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд» («Монадология», № 67). И эта иерархия вложенных друг в друга миров продолжается у Лейбница до бесконечности. Каждая монада представляет в своих восприятиях весь бесконечный универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени. Это понимание ведет Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно малых («подсознательных») восприятий. В математике же это приводит к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в отношении актуальной бесконечности остаются в высшей степени действенными и по существу непревзойденными все последующие три столетия (см. [3, т. 1], особенно гл. 2). Лейбниц же указал и на характерную аналогию между проблемами свободы и структуры континуума (см. [4, с. 312–314] – «О свободе»). Обе имеют общий логический корень, связанный с актуальной бесконечностью.
Однако Лейбниц хорошо понимал, что овладеть бесконечностью в науке не удается чисто техническими средствами (в отличие, например, от Б. Больцано, надежды которого справиться с бесконечностью чисто формально, в рамках некоторого исчисления, явно усматриваются в его «Парадоксах бесконечного» – см. [5, гл. I, § 5]). Продвижение науки в бесконечное, – как в бесконечно малое, так и бесконечно большое, – требует «интеллектуальной оптики» с бесконечным увеличением, требует метафизики, новых метафизических постулатов. И великий немецкий ученый и философ явно формулирует эти постулаты. Главным здесь является принцип непрерывности Лейбница или, более точно, некоторое конкретное его выражение: принцип законопостоянства. «Принцип же этот состоит в том, что свойства вещей всегда и повсюду являются такими же, каковы они сейчас и здесь», – формулирует этот принцип Лейбниц в письме к королеве Пруссии Софии-Шарлотте (см. [4, т. 3, с. 389]). Принцип этот применяется к бесконечному, т.е. утверждается, что «на бесконечности» все будет происходить так же, как и в конечном. Именно этот постулат позволяет Лейбницу рассматривать «бесконечно малые треугольники» в дифференциальном исчислении в одном ряду с конечными, настаивать на справедливости преформистской доктрины в эмбриологии и утверждать в метафизике существование непрерывной шкалы расположенных в направлении возрастания совершенства монад, идущей от «непробужденных» монад минералов через растения, животных и человека вплоть до высшей субстанции... – до Самого Бога. Принцип законопостоянства, тесно связанный с лейбницевским принципом достаточного основания, как бы «связывает» божественную волю с божественной мудростью и, устанавливая тотальную логическую когерентность мира, не оставляет ни единой возможности для каких-либо онтологических «зияний», будь то случайное событие или чудо...
Новых существенных инициатив в деле «приручения» бесконечности пришлось ждать после Лейбница почти 200 лет. С 1870-х гг. Г. Кантор начинает печатать свои работы по теории множеств. Кантор строит особые бесконечные числа (ординалы) и их арифметику. Основные свои работы он написал в рамках «наивной» теории множеств исходя из представления о самоочевидности основного понятия множества. Однако достаточно быстро выяснилось, что в этом, казалось бы, «самоочевидном» понятии скрыты довольно глубокие проблемы, а в «наивном» подходе к понятию множества – серьезные утверждения о бесконечности, смысл которых при более внимательном рассмотрении оказывается глубоко проблематичным. Аксиоматизация теории множеств выявила эти фундаментальные предпосылки наших построений с бесконечностью, эти постулаты, которые и необходимы нам для «естественного» развития теории и которые в то же самое время остаются в высшей степени загадочными. Одно из таких положений – знаменитая аксиома выбора. Формулировка ее достаточно проста: если дано некоторое (бесконечное) множество множеств, то можно составить новое множество, взяв из каждого данного только по одному элементу. Это, на первый взгляд, простое утверждение при более внимательном рассмотрении оказывается крайне непонятным. Как выбрать один из элементов произвольного множества? Если бы, например, это множество было упорядоченным, то мы могли бы взять наименьший (если он существует) элемент этого множества относительно заданного порядка. Однако процедура упорядочивания множества сама как раз и опирается на аксиому выбора. С другой стороны, как делать эту последовательность выборов во времени? Если не во времени, то как тогда?.. С какого множества мы должны начать?.. (Нетрудно видеть, что здесь опять, как это подчеркивал Лейбниц, выступает связь проблемы бесконечности и проблемы свободы.) Попытки ответить на все эти вопросы сами порождают сложные проблемы. А в то же самое время аксиома выбора необходима для доказательства фундаментального положения теории множеств – сравнимости любых мощностей множеств. Кроме того, аксиома выбора явно или неявно используется во многих положениях математического анализа (лемма Больцано – Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности любой ограниченной последовательности, теорема Коши о конечных приращениях, теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей и т.д.). Поэтому мы вынуждены сохранять эту аксиому в качестве некоторого постулата нашего познания, полностью осознавая нашу «навязчивость» в отношении бесконечного...
Примеров подобной навязчивости история становления теории множеств знает немало. Один из самых знаменитых – это континуум-гипотеза. Г. Кантор очень надеялся и настойчиво стремился доказать, что следующая по величине после мощности множества натуральных чисел a0 идет как раз мощность множества, представляющего собой арифметическую модель континуума (подробнее см., например, [5, гл. 5, § 1]).
2a0 = a1
Однако ни самому Кантору, ни его последователям доказать этого не удалось. В 1963 г. П. Коэн показал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках теории множеств Цермело – Френкеля... Более того, Коэн склонялся к тому, что мощность континуума больше [6, с. 42], чем любое an для любого n, больше aw и т.д. (w есть первый бесконечный ординал, соответствующий множеству всех натуральных чисел {1, 2, 3,...})... Бесконечное разоблачает наши наивные ожидания, что в нем «все происходит так, как здесь и теперь». В бесконечном слишком много возможностей. И главное, непонятно вообще, как эти возможности можно было бы «учесть», инвентаризировать.
3. Умудренное незнание
Даже в своих простейших вариантах мир теории множеств оказывается в высшей степени парадоксальным. Трудно сразу представить, что принятие аксиомы выбора, столь казалось бы естественного утверждения, приводит к парадоксу Банаха – Тарского: «Используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар» [7, с. 42]. И сразу, конечно, возникает вопрос: а как это соотносится с физическим миром? Неужели подобное возможно и в отношении вещества?.. Или же аксиома выбора здесь неприменима?.. Мы не знаем ответов на эти вопросы.
Так называемые парадоксы, а точнее, сложнейшие апории, были «язвою» теории множеств с самых первых этапов ее вхождения в научный оборот, уже с 1890-х гг. Так, Б. Рассел, анализируя канторовскую теорему о так называемом «множестве-степени» (теорема о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую, чем исходное множество), выделил понятие «множества, которое не является элементом самого себя». Например, множество всех множеств не будет таким множеством, а множество натуральных чисел является множеством, не совпадающим ни с каким своим элементом. Если мы рассмотрим множество М всех множеств, не являющихся элементами самого себя, то мы не сможем ни отрицательно, ни утвердительно ответить на вопрос: будет ли оно само множеством того же типа, что и его элементы, т.е. множеством, не содержащим самого себя в качестве элемента? Если мы ответим утвердительно, отсюда следует, что М как содержащее все множества, не являющееся собственным элементом, должно содержать и себя, что противоречит предположению. Если же мы ответим отрицательно, т.е. М не является множеством, не содержащим себя в качестве элемента, тогда, значит, М содержит себя в качестве своего элемента, но все элементы М суть множества, не содержащие себя в качестве своего элемента, т.е. мы опять получаем противоречие. На основании подобных размышлений Рассел сформулировал определение предикативных и непредикативных свойств множеств. Только первые могут действительно определять множества; использование же вторых ведет к парадоксам. Эти наблюдения воплотились в дальнейшем в так называемую теорию типов, которую Рассел развивал совместно с Уайтхедом.
Другим очень неприятным казусом был парадокс Бурали-Форти. Речь в нем идет о множестве W всех порядковых чисел. Согласно конструкциям Кантора, это множество вполне упорядочено, и, следовательно, оно должно иметь соответствующий порядковый тип b. Этот тип b должен быть больше, чем все типы, содержащиеся в W. Однако по условию W есть объединение всех порядковых типов, т.е. b тоже входит в W. И мы тем самым приходим к противоречию: b>b. Бурали-Форти делал из этого парадокса тот вывод, что канторовская теорема о сравнимости любых ординалов неверна. И тогда разрушалось также утверждение и о сравнимости любых кардиналов (мощностей).