Введение в физику скачков (стр. 2 из 7)

2.1. Звуковая волна

Мы рассматриваем превращение воздушной массы под воздействием некоторого стороннего источника. Масса воздуха, m в отсутствие управляющего воздействия занимает объем, V и в дальнейшем претерпевает сжатие. Первое состояние единства воздушной массы со средой мы определяем как сохранение занимаемого массой воздуха первоначального объема V. Энергию этого состояния W01 мы определяем как упругую предельную энергию, характерную для объема V:

W01=0.5× k× (D V)2/V, D V® V: W01=× k× V/2

где k, D V — коэффициент объемного сжатия и деформируемая часть объема соответственно.

Энергия возмущения есть кинетическая энергия воздушной массы. Собственную энергию такого возмущения мы определяем при условии свободного перемещения воздушной массы со скоростью, u в объеме V:

W· =m× u 2/2=r × V× u 2/2

где r — плотность воздушной массы. В результате энергетическое пороговое соотношение (3) записывается в виде:

r × V× u 2/2£ k× V/2; u £ u 0, u 0=Ö (k/r )

Мы пришли к известному выражению для скорости звука, u 0.

При выполнении неравенства процесс носит локальный характер: возмущение затухает в объеме V. При достижении скорости звука и далее возникает коллективное возмущение частиц воздушной массы. Это возмущение в виде согласованного колебания частиц свободно проходит через объем V. Заметим, что звуковая волна и нормальные волны на воде не переносят вещества. Они передают возбуждение в пространстве от одной части среды к другой. В то же время солитон Рассела, как мы можем отметить2, осуществляет такой перенос.

2.2. Природа возникновения анизотропного механизма деформирования сыпучего материала.

Рядом авторов в приборе однородного сдвига обнаружена качественная перестройка песчаной среды [4]. Прибор представлял собой камеру 1, установленную в жесткой раме 2 (рис.1). Элементы жесткой рамы служили направляющими при сдвиге камеры. Камера (внутренние размеры 150 ´ 150 ´ 150 мм) была набрана из 30 П-образных пластин 3, изготовленных из оргстекла. Форма пластин позволяла наблюдать кинематику деформирования с трех граней камеры через стекла, которыми закрывались эти грани. Величина сдвига определялась соответствующим поворотом ручек 4 и измерялась по угловой шкале. Объем камеры сохранялся постоянным при любых сдвигах. Так как толщина пластин в 30 раз меньше длины камеры, то при любой деформации сдвига относительное смещение пластин было незначительным (до 2 мм при Г < 20° ). Последнее исключало трение материала о стенки камеры, а также обеспечивало достаточную однородность всех граничных условий. Очевидно также то, что для однородности процессов в плоскости сдвига необходимо, чтобы сила тяжести была направлена к ней по нормали.

Рис. 1

Материал засыпался в камеру различными способами так, чтобы образец был первоначально однородным и изотропным.

Для малых углов сдвига Г

Г* — некоторый граничный угол, поворот боковых стенок прибора приводит к плавной перестройке структуры образца. При достижении угла Г* + о (Г*) скачком возникает новая фаза эволюции песчаной среды. Среда разбивается на элементы с помощью линий скольжения. В мокром песке образуются трещины. В дальнейшем, когда Г > Г*, деформация сосредоточивается на границах элементов.

Объясним природу возникающего анизотропного механизма деформирования среды и получим аналитическое решение для граничного угла Г*. Под основным состоянием образца мы будем понимать состояние единства и целостности образующей его песчаной cреды. Такое устойчивое состояние возникает как результат взаимодействия элементов песчаной среды в поле силы тяжести.

Определим энергию Wо1, характеризующую основное состояние образца. Энергию Wо1 мы принимаем равной абсолютной величине работы, затраченной на образование песчаной среды массой m с центром тяжести на высоте h относительно основания прибора как начала отсчета в поле центральной силы тяжести:

(8)

где r — удельный вес песка; Li (i =

) — соответствующие размеры рабочей камеры прибора при Г = 0; g — ускорение свободного падения.

Нетрудно заметить, что одновременно с поворотом боковых стенок начинается возмущение основного состояния образца. Возникающее в образце возмущение (перестройка его структуры) приводит в конечном счете к разрушению его основного состояния.

Очевидно, что для первой фазы эволюции энергия возмущения основного состояния образца W1 не должна превышать энергию, характерную для этого состояния:

W1

Wо1. (9)

Для случая, когда элементы cреды относительно неподвижны, в среде происходит накопление упругой энергии за счет сжатия с помощью одной из стенок прибора:

, (10)

где V — первоначальный объем песка при Г = 0; D V — величина, на которую уменьшается объем V при Г ¹ 0; c — коэффициент, характеризующий механические свойства песка, например предел упругости. Упругая энергия W* рассматривается нами в качестве непосредственного источника возникающего в образце в общем случае возмущения. В соответствии с законом сохранения энергии мы может записать

W* = W1. (11)

С учетом (4) получаем в окончательном виде

W*

Wо1, W*/Wо1 1, (12)

где W* , Wo1 определены в (8), (10).

Граничный угол Г* следует из равенства правой и левой частей соотношения (12):

(13)

Рассматривая случай, приведенный в [2]: L1 = L2 = L3 = 150 мм — и принимая величины: c = 2 ´ 104 кГ/м2 [4], r = 1,7 ´ 103 кГ/м3 , — можно найти угол

» 9о, близкий по величине к определенному в [2] экспериментально = 12о.

На рис. 2 приведены результаты эксперимента для двух видов предварительного уплотнения мокрого песка. Начальные точки теоретических кривых были взяты из эксперимента для определения отношения r /c . Нетрудно отметить согласие между экспериментом и теорией.

Таким образом, мы можем сделать следующий вывод об устойчивости песчаной среды. Устойчивость песчаной среды в рассматриваемом образце к сдвигу в диапазоне 0 < Г < Г* означает способность образца сохранять в этом диапазоне состояние единства и целостности образующей его среды — основное состояние образца на первой фазе его эволюции.

Рис. 2.

Эта способность сохраняется при условии (12), что характеризующая возмущение образца упругая энергия W* не превышает гравитационной энергий Wо1, характеризующей его основное состояние. Нарушение энергетического порогового соотношения (12) приводит к смене основного состояния образца и, как следствие, к качественно новому поведению песчаной среды.

Весьма актуальной представляется попытка [3] распространить проведенное исследование на объяснение природы землетрясений, в частности, наиболее опасных, очаг которых находится в пределах земной коры. Соответствующие линейные размеры Li (i =

) могли бы характеризовать в этом случае земной блок в иерархии дискретных масштабов [4]. С благодарностью вспоминаю академика М. А. Садовского, обратившего мое внимание на эту задачу в связи с проблемой землетрясения и нашедшего в себе силы обсуждать ее решение перед своим уходом из этой жизни.

2.3. Превращения в потоке частиц: турбулентность.

Известно, что поток частиц может принимать качественно различающиеся состояния, начиная от малоподвижного (потенциального) и кончая потоком с крупномасштабной турбулентностью (хаотичностью движения частиц). Эти превращения характеризуются так называемыми критическими числами Рейнольдса:

Rej = u jr r/h = nj , j = 1,2,3,... ,

где u j, r , r, h — скорость, плотность, линейный размер и динамическая вязкость (динамическое трение) соответственно; nj — некоторое число. Числа Rеj (как и числа Фруда) — известные коэффициенты подобия — входят в состав соответствующих математических моделей в качестве безразмерных параметров управления [4]. Природа этих чисел и, следовательно, природа превращений в потоке частиц была неизвестна до настоящего времени. Покажем, что превращения в потоке частиц есть конкретное проявление закона сохранения и превращения энергии определенного вида. Для этого выделим первые критические числа j =

, отыскивая соответствующие энергетические пороговые соотношения (3). Мы будем использовать известные законы динамического трения в строгом соответствии с определенными участками шкалы возрастающих чисел Re.

Переход от потенциального потока к сплошному Re1. Потенциальный поток, или “сухая вода” [5], — среда относительно неподвижных и независимых частиц, точнее частиц, совершающих колебания относительно некоторых центральных положений. В качестве основного состояния частицы рассматриваем состояние ее единства с локальной областью среды. Энергию Wо1 , характерную для такого состояния, определяем с использованием закона Стокса

F = 6p h ru

как абсолютную величину работы, затраченной на образование частицы в локальной области среды: