Модель портального манипулятора (стр. 2 из 7)

(1.6)

Кроме того, в большинстве случаев звенья манипулятора представляют собой твердые тела, обладающие симметрией относительно трех ортогональных осей, проведенных через центр инерции. Напомнив правило разметки осей систем координат, связанных со звеньями, в соответствии с которым одна из осей системы

совпадает с осью звена (вектором

), а две другие образуют с ней правую триаду, получим при помещении точки

в центр инерции

(см. рис. 1.1) оси полученной системы

становятся главными осями инерции и тензор вектора в точке

имеет вид диагональной матрицы

(1.7)

моменты инерции относительно осей в которой определяются выражениями

(1.8)

и для звеньев заданной конфигурации являются известными константами. При отсутствии осевых симметрий тензор инерции звена в точке

характеризуется матрицей

(1.9)

центробежные моменты в которой определяются выражениями

(1.10)

и также являются известными константами.

Определим вектор скорости центра инерции звена i через проекции на оси связанной с ним системы координат как

(1.11)

или через проекции на оси неподвижной системы осей в виде

(1.12)

По аналогии с

введем вектор угловой скорости звена

(1.13)

и запишем равенство (1.6) в развернутой форме для случая, когда звенья манипулятора обладают симметрией относительно главных осей инерции. Для этого подставим выражения

из (1.7), (1.11), (1.13) в (1.6) и получим

(1.14)

При использовании вектора скорости центра инерции в форме (1.14) выражение

(1.15)

с учетом которого равенство (1.4) принимает вид

(1.16)

Построение динамической модели переходных процессов манипулятора МРЛ-901П

Модель переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П

Модель портального манипулятора МРЛ-901П представлена на рис. 2.1. Деформирующимися элементами в манипуляторе являются: зубчатый ремень, обозначенный пружиной; консольная часть, на которой имеется сосредоточенная масса m. Деформация поперечной консоли обозначена на схеме углом

. Исходными данными для расчета такой модели будут: значение подвижной массы m, плечо приложения этой массы l, а также коэффициент натяжения зубчатого ремня, определяемый как отношение прогиба ремня к его длине и влияющий на жесткость, и демпфирование модуля линейного перемещения.

При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать движение под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б займут положение

соответственно, затем остановятся и под действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать колебательное движения.

Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим независимые обобщенные координаты как

. Для описания данной модели воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:

(j = 1,2,…,k),

(2.1)

где T- кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; k - количество степеней свободы.

Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [5]:

(2.2)

Коэффициенты

являются функциями координат

Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия, где

Располагая коэффициенты

по степеням и пологая для упрощения записи

, получим:

(2.3)

Потенциальная энергия

системы:

(2.4)

При этом учитываем, что в положении равновесия

обобщенные силы также обращаются в нуль.

В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения:

Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы

…,

. Потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил

отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4).

Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:

(2.5)

Замечая, что

а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях

, получаем три уравнения: