Измерение магнитострикции ферромагнетика (стр. 2 из 4)

f_a=K₁(a²₁a²₂+a²₂a²₃+a²₁a²₃)+K₂a²₁a²₂a²₃ (9)

Часто членом K₂a²₁a²₂a²₃, который обычно меньше первого члена в (9), пренебрегают. Тогда:

f_a=K₁(a²₁a²₂+a²₂a²₃+a²₁a²₃) (10)

Знаки константанизотропии K₁ и K₂ и их относительная величина определяютто кристаллографическое направление, которое в данном кристалле будет “легким”.

Если К₁>0, то первый член в (9) минимален при направлении намагниченности вдоль осей [100], [010], [001], которые в этом
случае являются осями легкого намагничивания.
ЕслиК₁<0, то осями легкого намагничивания являются оси[111], [I11],[1I1], [11I], так как первый член в энергии анизотропии (9) минимален, когда намагниченность расположена вдольэтих осей.

Если учитывать и второй член в (9), то направление диагональной оси[100] в тех случаях, когда К₁ отрицательна и меньше по абсолютной величине, чем К₂, также может быть направлением легкого намагничивания.

В заключение отметим, что в ряде случаев удобнееf_a раскладывать в ряд по сферическим функциямY^m_l(J,j) где J - полярный угол, j -азимут вектора намагниченности по отношению к выбранной оси симметрии. Тогда

f_a=SSc^m_lU^m_l(J,j) , (11)

где c^m_l- параметры, аналогичные константам анизотропии . Разложение (11) справедливо длякристаллов любой симметрии (тип симметрии определяют величиныc^m_l, т. е. какие из этих коэффициентов обращаются в нуль).

2) f_упр.(e_{i j} )=½[C₁₁(e²_xx+ e²_yy+ e²_zz)] +½[C₄₄(e²_xy+ e²_yz+ e²_xz)]+

+ C₁₂(e_xxe_yy+ e_yye_zz+ e_xxe_zz ) (12)

3) f_му.(a_i ,e_{i j} ) = B₁[(a²₁ – 1/3)e_xx+(a²₂ – 1/3)e_yy+(a²₃ – 1/3)e_zz]+

B₂[a₁a₂e_xy+a₂a₃ e_yz+a₁a₃e_xz] , (13)

где, a_i – направляющие косинусы вектора спонтанной намагниченности,e_{i j}- компоненты тензора деформации кристалла, В₁ , В₂ – константы магнитоупругой энергии, С₁₁ , С₄₄ , С₁₄ – модули упругости.

Устойчивому равновесному состоянию деформированного кристалла с определенным направлением намагниченности (a_i = const) соответствует минимум свободной энергии. Чтобы определитькомпоненты тензора деформации при отсутствии внешних напряжений, характеризующие спонтанную магнитострикционную деформацию или спонтаннуюмагнитострикцию, следует найти компонентыe⁽⁰⁾_{i j} , соответствующие минимумуf.

Минимизируя выражения для плотности энергии f относительноe _{i j}, получим

∂f/∂e_xx= B₁(a²₁ – 1/3)+C₁₁e⁽⁰⁾_xx + C₁₂(e⁽⁰⁾_yy+e⁽⁰⁾_zz)=0 ,

∂f/∂e_yy= B₁(a²₂ – 1/3)+C₁₁e⁽⁰⁾_yy + C₁₂(e⁽⁰⁾_zz+e⁽⁰⁾_xx)=0 , (14)

∂f/∂e_zz= B₁(a²₃ – 1/3)+C₁₁e⁽⁰⁾_zz+ C₁₂(e⁽⁰⁾_xx+e⁽⁰⁾_yy)=0 ,

∂f/∂e_zy= B₂a₁a₂+ C₄₄e⁽⁰⁾_xy=0,

∂f/∂e_yz= B₂a₂a₃+ C₄₄e⁽⁰⁾_yz=0, (15)

∂f/∂e_xz= B₂a₁a₃+ C₄₄e⁽⁰⁾_xz=0,

Складывая три уравнения (14), найдем: (∆V/V)₀= e⁽⁰⁾_xx+ e⁽⁰⁾_yy+ e⁽⁰⁾_zz ,

т.е. в этом приближении изменение объема кристалла (∆V/V)₀ при спонтанной магнитострикционной деформации равно нулю. Из (14) и (15) получим компоненты тензора этой деформации

e⁽⁰⁾_{i i} = -[B₁/(C₁₁-C₁₂)] [a²_i – 1/3], e⁽⁰⁾_{i j} = -(B₂/C₄₄)a_ia_j ; i , j = x, y, z.

(16)

Знаяe⁽⁰⁾_{i j} легко найти удлинение кристалла δl/l при спонтанной магнитострикционной деформации в любом направлении, определяемом направляющими косинусами β₁, β₂, β₃:

(δl/l)₀ = e⁽⁰⁾_xx β²₁+ e⁽⁰⁾_yy β²₂+ e⁽⁰⁾_zz β²₃+ e⁽⁰⁾_xy β₁ β₂+ e⁽⁰⁾_yz β₂ β₃+ e⁽⁰⁾_zx β₃β₁=

= - [B₁/(C₁₁-C₁₂)] [a²₁ β²₁+a²₂ β²₂+a²₃ β²₃- 1/3] –

– (B₂/C₄₄)(a₁a₂ β₁ β₂+a₂a₃ β₂ β₃+a₃a₁ β₃ β₁) (17)

Найдем δl/lдля кристаллографических направлений [100] и [III].Если кристалл намагничен вдоль направления [100], то, полагаяв (17)

a₁ = β₁ = 1,a₂ =a₃ = β₂ =β₃ =0, получим

(δl/l)_[100] =λ₁₀₀ = - 2/3 [B₁/(C₁₁-C₁₂)]. (18)

Аналогично для направления [111] будем иметь

(δl/l)_[111] =λ₁₁₁ = - 1/3 (B₂/C₄₄) , (19)

где λ₁₀₀ и λ₁₁₁ носят название констант магнитострикции. Подставляя
в (18,19),Выражения для констант магнитоупругой энергии:

B₁=N(∂g₁/∂r)r₀ , B₂= 2Ng₁, (20)

где - N число атомов в единице объема. Можно выразить магнитострикционные
константы λ₁₀₀ и λ₁₁₁ для различных типов кубических решеток через коэффициентыg₁ в выражении для энергии пары атомов:

1- простая кубическая:

λ₁₀₀ = -2/3[N/(C₁₁ – C₁₂)][∂g₁/∂r]r₀;

λ₁₁₁ = - 4/3(N/C₄₄)g₁

2- объемно- центрированная:

λ₁₀₀ = -16/9[N/(C₁₁ – C₁₂)]g₁; (21)

λ₁₁₁ = - 16/27[g₁+(∂g₁/∂r)r₀]

3 – гранецентрированная:

λ₁₀₀ = -1/3[N/(C₁₁ – C₁₂)][6g₁ – (∂g₁/∂r)r₀];

λ₁₁₁ = - 2/3[N/C₄₄] [2g₁+(∂g₁/∂r) r₀]

Принимая во внимание (16), магнитоупругую (13) и упругую(12) энергии при спонтанной деформации можно записать в виде:

f⁽⁰⁾_му.= [B²₁/(C₁₁ – C₁₂)] ∑ (a²_i-1/3)² - B²₂/C₄₄ ∑ a²_ia²_j , (i , j=1,2,3)

f⁽⁰⁾_упр.= ½ C₁₁ [B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²] ∑ (a²_i-1/3)²+ ½ C₄₄ B²₂∑ a²_ia²_j+

+C₁₂[B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²] ∑ (a²_i-1/3)(a²_j-1/3), (i , j=1,2,3)

или, учитывая соотношения

1) ∑a² _i =1 (i =1,2,3) ;

2) ∑a⁴ _i =1 –2 ∑a² _i a²_j (i , j=1,2,3) ;

3) ∑ (a²_i-1/3)²= 2/3 – 2 ∑ a²_ia²_j (i , j=1,2,3, i>j) ;

4) ∑ (a²_i-1/3)(a²_j-1/3) = ∑ a²_ia²_j – 1/3 (i , j=1,2,3, i>j) ;

f⁽⁰⁾_му.= – [B²₁/(C₁₁ – C₁₂)][ 2/3 – 2 ∑ a²_ia²_j] - B²₂/C₄₄ ∑ a²_ia²_j ,

(i , j=1,2,3, i>j) (22)

f⁽⁰⁾_упр.= ½ C₁₁ [B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²] [ 2/3 – 2 ∑ a²_ia²_j]+ ½ C₄₄ B²₂∑ a²_ia²_j+

+C₁₂[B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²] ∑ a²_ia²_j – 1/3 ,

(i , j=1,2,3,i>j) (23)

Подставляя (21) и (23) в (1) и учитывая (10), (18) и (19), получим следующее выражение для плотности анизотропной части магнитной энергии кристалла при отсутствии упругих внешних напряжений:

f =(K₁+∆K₁)∑a²_ia²_j (i , j=1,2,3, i>j) (24)

где добавка ∆K₁ к первой константе анизотропии, обусловленная спонтанной магнитострикционной деформацией равна