Апология Бесконечности (стр. 3 из 4)
Поскольку мы отказались от этого принципа, то очевидно, что надо найти определение актуальной бесконечности, отвечающее действительному положению вещей. А оно, то есть действительное положение вещей, является следующим. Во-первых, поскольку противоречия в бесконечном проистекают из-за нарушения принципов классической логики, то главным методологическим принципом в определении бесконечности должны быть принципы классической логики. Во-вторых, необходимо иметь непротиворечивое определение счетного множества. Наконец, в-третьих, надо дать четкое и ясное непротиворечивое определение начальной актуальной бесконечности.
Итак, что же представляет собой счетное множество? Является ли оно бесконечным, как это общепринято, или же оно на самом деле является конечным, хотя и неограниченным? То, что это весьма важно, видно из следующего. Если допустить, что счетное множество является конечным, то тогда снимутся все его противоречия. Во-первых, оно будет содержать не бесконечное количество ω элементов, а конечное количество N, которое, как и ω, будет предельным числом для всех конечных чисел, но не бесконечным, а конечным, причем таким непостижимо большим конечным числом, что все конечные числа n будут меньше его, то есть n<N. Во-вторых, снимется и противоречие между тем, что счетное множество содержит бесконечное количество элементов, и тем, что счетное множество не содержит бесконечных чисел.
А теперь покажем, что определение счетного множества как бесконечного множества ω является фундаментально противоречивым.
Можно, конечно, вспомнить, что счетное множество изначально определяется алгоритмом образования его элементов n с помощью самого обыкновенного счета: n=(n-1)+1. И нет никаких аргументов в пользу того, что среди элементов
может найтись такой элемент, который может породить последователя n+1, имеющего бесконечно большое значение. Поэтому и говорят, что ω – это наименьшее бесконечное число, а все числа, меньшие ω, являются конечными числами. На самом деле все обстоит не так: среди чисел стандартного счетного множества можно найти и бесконечные числа.Действительно, возьмем и запишем все числа n счетного множества N в обычной двоичной системе счисления: "0"=...000, "1"=...001, "2"=...010,..., "n"=...rl...r2r1r0(rl=0,1; l=0,1,2,...,L, l – номера двоичных разрядов) и т.д. очевидно, что для записи всех чисел требуется некоторое количество L двоичных разрядов. Заведомо известно, что оно меньше бесконечного количества ω самих чисел n счетного множества N. Да это легко и доказывается – как с использованием теоремы Кантора 2ω>ω, так и без нее. Если не использовать теорему Кантора, то надо заметить, что поскольку все числа счетного множества являются конечными, то и количество L двоичных разрядов для их записи является конечным. Но в таком случае, как известно из арифметики, количество чисел, которое может быть записано с помощью конечного числа L разрядов, равно 2L. Поскольку L конечное, то и 2L является конечным числом. Но это противоречит тому, что количество всех конечных чисел счетного множества согласно определению является бесконечным. При использовании теоремы Кантора надо заметить то, что двоичные разряды rl представляют собой множество L, а все его подмножества – это не что иное как все конечные числа N. Количество же подмножеств множества L равно 2L, которое есть также бесконечное число ω, то есть 2L=ω, откуда непосредственно следует, что L должно быть бесконечным. По теореме же Кантора ω=2L>L, то есть L<ω, что по определению счетного множества значит, что L является конечным и принадлежит счетному множеству, то есть
. Таким образом, получаем противоречие: из 2L=ω следует, что L является бесконечным, а из L<ω – что L является конечным. Это – с одной стороны. С другой стороны можно доказать, что счетное множество должно содержать бесконечные числа. Подобно тому, как начальная бесконечность ω есть предел 
, так и количество разрядов L можно определить как предел 
, который равен бесконечности, поскольку функция L(n) является монотонно возрастающей. Обозначив этот предел некоторым бесконечным числом w и учтя, что w<ω, придем к выводу, что счетное множество содержит и бесконечное число w<ω, что естественно находится в противоречии с определением счетного множества как множества, состоящего только из конечных чисел.Следовательно, счетное множество является либо конечным и тогда никаких связанных с ним противоречий не существует, либо оно является бесконечным множеством, содержащим как конечные числа, так и бесконечные, например, число w. Но поскольку мы не знаем – как из сколь угодно большого конечного числа n с помощью операции n+1 может явиться нам бесконечное число ω, то надо признать, что счетное множество N является конечным.
Из всего только что сказанного мы делаем два фундаментальных вывода. Первый вывод: счетное множество N=0,1,2,...,n,... современной стандартной математики является конечным множеством, мощность которого равна предельному числу N, не являющимся бесконечным и которое можно называть наибольшим конечным числом по аналогии с тем, как называли его наименьшим бесконечным числом. Второй вывод: наименьшего бесконечного множества не существует и не существует его в том смысле, что для любого бесконечного множества ω существует субстрат-множество w (множество двоичных разрядов), мощность которого w является строго меньшей мощности ω исходного множества. Другими словами, наряду с известным утверждением теории множеств о том, что "не существует наибольшего бесконечного множества", имеет место и утверждение о том, что "не существует и наименьшего бесконечного множества". Все эти проблемы детально изучены в книге [11].
Само собой разумеется, что предельным множеством для всех конечных множеств n является счетное множество N всех натуральных чисел n и оно есть конечное множество. Для бесконечных кардинальных чисел wp существует два предельных кардинала: ω+ – наибольший предельный кардинал, к которому стремятся большие кардиналы ω1,ω2,ω3,..., и ω- – наименьший предельный кардинал, к которому стремятся малые кардиналы ω-1,ω-2,ω-3,... . Все кардиналы, в том числе и конечные кардиналы nk, связаны между собой не только известным теоретико-множественным отношением "множество всех подмножеств 2M множества M", но и обратным этому отношению информационно-субстратным отношением IS=log2M (частным случаем которого является множество двоичных разрядов для представления того или иного множества чисел {0,1,2,...}). При этом бесконечный кардинал ω0=ω является мощностью начального бесконечного множества.
Таким образом, вместо двух противоречивых оснований теории бесконечных множеств "часть может быть равна целому" и "счетное множество есть начальное бесконечное множество" выдвинуты и используются следующие концептуальные положения:
· первое: "часть не может быть равна целому", что на языке множеств означает: никакая собственная часть никакого множества не может быть эквивалентной самому множеству;
· второе: известное счетное множество натуральных чисел N=0,1,2,... является конечным множеством, имеющим мощность, равную предельному конечному числу N;
· третье: для любого множества существует как известное теоретико-множественное отношение "множество всех подмножеств 2M", так и обратное ему информационно-субстратное отношение "log2M";
· четвертое: начальным бесконечным множеством является множество, имеющее мощность, равную начальному бесконечному кардиналу ω0=ω.
С первыми тремя положениями мы уже разобрались. Осталось рассмотреть четвертое – какой объект является начальным бесконечным множеством? Этот объект имеет онтологические основания и, в общем-то, знаком и известен. Он почему-то считается вторичным по отношению к стандартному счетному множеству. Получают его следующим образом. Обычно говорят: отложим на прямой x от точки "0" единичный отрезок с концом, обозначенным через "1", от точки "1" отложим еще один единичный отрезок с концом, обозначенным через "2", и так до бесконечности. Полученные таким образом точки на прямой геометрически иллюстрируют множество натуральных чисел (см., например, [14, с. 33-34]). На самом же деле первичным в знании являются не числа, а прямая, или одномерный континуум x. Он символизирует первосущную онтологическую бесконечность. Можно сказать, что это о ней говорил Архит Тарентский. Она есть актуальная бесконечность, но бесконечность континуальная, в отличие от бесконечности множественной. Вот ее-то, то есть прямую x, мы и принимаем в качестве начальной онтологической бесконечности, которую и обозначаем известным символом "∞", придавая ему таким образом статус определенности. Здесь нам достаточно ее понимания как бесконечной величины, или длины. Эта бесконечная величина единственна. Вот теперь, если мы отложим на прямой x единичный отрезок e и возьмем отношение ∞/e, то получим начальную теоретико-множественную бесконечность ω=∞/e. Это отношение есть актуальное разбиение актуальной прямой ∞ на ω конечных отрезков e. Оно несет в себе глубокий онтологический и гносеологический смысл отношения между актуальным бесконечным ∞ и актуальным конечным e, или просто – между конечным и бесконечным. Разбиение ω порождает многое из единого и это многое есть начальное актуальное бесконечное множество ω={e1,e2,...,eω}, состоящее из ω единичных отрезков e. Обо всем этом обстоятельно говорится в книге [11].