Волновое сопротивление (стр. 2 из 4)

Давление и скорость на границе (безразлично, с какой стороны от границы) равны:

. (7)

Отношение давления к скорости частиц на границе оказывается равным волновому сопротивлению второй среды р'с'. Это можно было предвидеть, и не делая расчета, поскольку во второй среде имеется только бегущая волна.

Из формул Френеля видно, что коэффициенты отражения и прохождения зависят не от самих значений волнового сопротивления сред, а от их отношения. Отношение

волновых сопротивлений первой и второй среды называют относительным волновым сопротивлением. Формулы Френеля выражаются через относительное волновое сопротивление следующим образом:

(8)

Очевидно,

Рис. 1. Зависимость коэффициента отражения от относительного волнового сопротивления сред ζ. Для ζ>1 следует снять с графика значение

для 1/ζ и считать коэффициент отражения положительным.

На рис. 1 дан график зависимости коэффициента отражения от ζ. Согласно последним формулам можно обойтись участком графика для ζ<1 (где

<0). Значения коэффициента прохождения получаются прибавлением единицы к коэффициенту отражения. При ζ=1. коэффициент отражения равен нулю и волна, нормально падающая на границу раздела двух сред, проходит из первой среды во вторую целиком, не отражаясь. Картина в первой среде в этом случае такая, как если бы волна полностью поглощалась границей. В этом случае достаточно возникновения только одной волны (прошедшей), чтобы, совместно с падающей, удовлетворить обоим граничным условиям. При ζ>1 коэффициент отражения положителен и при ζ®¥ стремится к единице.

Значения поля на границе, отнесенные к полю в падающей волне, равны

Эти величины всегда положительны, и их полусумма равна единице. При ζ очень малом (вторая среда акустически очень мягкая по сравнению с первой, как, например, при отражении подводного звука от поверхности моря) давление стремится к нулю, а скорость частиц стремится к удвоенной скорости в падающей в падающей волне. При ζ очень большом (например, отражение воздушного звука от поверхности моря) к нулю стремится скорость частиц на границе, а удваивается давление. Предельный переход ζ к нулю и к бесконечности соответствует переходу к абсолютно мягкой и абсолютно жесткой границе.

Для иллюстрации сказанного приведем реальные (округленные) соотношения для прохождения звука из воздуха в воду и обратно при нормальном падении плоской волны. Для воды ρ=1 г/см3 ,с»1,5·105 см/сек (морская вода), rс=1,5·105 г/см2×сек; для воздуха r=0,00125 г/см3, с=3,4×104 см/сек, rс=42 г/см2×сек. При падении звука из воздуха в воду ζ=3500,

=0,99943,

=1,99943, p¢/p=1,99943,

=0,00057. При падении звука из воды в воздух ζ=0,000285,

=—0,99943,

=0,00057, p¢/p=0,00057,

=1,99943. Отношение же потока энергии, проходящей через границу раздела, к потоку энергии в падающей волне составляет в обоих случаях 0,00114.

Таким образом, энергия передается из воды в воздух и обратно очень плохо, несмотря на то, что в первом случае давление в прошедшей волне практически удваивается по сравнению с падающей волной, а во втором случае удваивается скорость. Плохая передача звука из воды в воздух создала поговорку: «нем как рыба». В воздухе звуки, создаваемые рыбами, действительно обычно не слышны, но в воде «голоса» рыб и некоторых других морских животных настолько сильны, что иногда мешают действию подиной акустической аппаратуры.

Отражение и прохождение плоских волн на границе двух сред при наклонном падении

Обозначим плотности и медленности звука в, первой и второй среде соответственно через r, r' и S, S' и рассмотрим падение на границу волны вида

Если отражение правильное, то, как уже было сказано, отраженную и прошедшую волны можно записать в виде

Например, для падающей гармонической волны

отраженная и прошедшая волны равны

В написанных выше формулах величины

— неизвестные пока коэффициенты отражения и прохождения, которые должны быть определены из граничных условий.

Граничные условия — это равенство давлений и нормальных скоростей частиц по обе стороны границы раздела сред. На касательные компоненты скорости никаких ограничений в идеальных средах не накладывается: в решении, которое мы найдем, эти компоненты окажутся различными. Получающийся разрыв касательной компоненты скорости частиц на границе совместим с принятым предположением об идеальности среды, т. е. об отсутствии вязкости. Для реальных жидкостей разрыв сглаживают вязкие волны. Обычно они мало влияют на картину отражения и прохождения; поэтому мы пока пренебрежем ими, считая жидкость идеальной.

Так как на границе аргументы функции ρ одинаковы для всех трех волн, то граничные условия можно записать для волны любой формы в виде

. (9)

Первое уравнение совпадает с соответственным уравнением для нормального падения (первое уравнение (5)). Это объясняется тем, что давление — скаляр, и поэтому условие, на него налагаемое, не связано с направлением распространения волн. Второе уравнение иное, чем для нормального падения: в него входят нормальные компоненты векторов скорости частиц, которые зависят не только от величины, но и от направления этих векторов.

Решая уравнения (9) относительно коэффициентов отражения и прохождения, найдем

(10)

или, через волновое сопротивления

. (11)

В отличие от случая нормального падения, коэффициенты оказались зависящими не только от свойств самих сред, но и от угла скольжения падающей волны. В частности, при одинаковых волновых сопротивлениях обеих сред, но неравных плотностях и скоростях звука в отдельности, коэффициент отражения не равен нулю.

Пользуясь принятыми ранее обозначениями, можем переписать формулы (10) в таком виде:

. (12)

Из этих формул можно исключить угол скольжения преломленной волны:

. (13)

Наконец, деля числитель и знаменатель на sinθ, получим формулы, куда входит только одна тригонометрическая функция:

. (14)

Полученные выражения для

— формулы Френеля для наклонного падения.

В различных задачах удобно пользоваться то одним, то другим представлением этих коэффициентов.

Из (13) видно, что при n>1 отражение и прохождение — правильные при любом угле скольжения падающей волны. При n<1 правильность сохраняется только при углах скольжения падающей волны, больших так называемого критического угла скольжения θκρ, определяемого равенством

. (15)

При меньших значениях угла скольжения («закритических» углах) выражения для

теряют смысл (становятся мнимыми). Картина отражения и прохождения при закритических углах более сложна и упрощается только для гармонических волн.