Неевклидова геометрия (стр. 3 из 6)

Таким образом, если отречься от всяких предубеждений, нет никакого основания считать аксиому Лобачевского “хуже” аксиомы Евклида, в смысле ее соответствия физической реальности. Кажущеесяпреимущество евклидовой геометрии, евклидовой аксиомы состоит в том, что ее содержание соответствует нашим привычным представлениям. Эти представления, однако, основаны на повседневном опыте в пределах сравнительно незначительной части вселенной. Между тем, в истории науки известны факты, когда более точно представленные эксперименты вызывали необходимость изменений, основанных на наглядности гипотез и аксиом, и замены их новыми гипотезами, которые лучше соответствуют объективному материальному миру. Ведь господствовало же у древних представление о том, что Земля плоская. В свое время казалась невероятной гелиоцентрическая гипотеза Коперника для всех людей, веками сжившихся с идеями геоцентрической гипотезы Птоломея. Известный английский математик так и писал: «Чем Коперник был для Птоломея, тем Лобачевский для Евклида». Между Коперником и Лобачевским любопытная параллель, Коперник и Лобачевский – оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, воззрениях, и обе эти «революции» имеют одно и то же значение.

Причина их грандиозного значения заключается в том, что они суть революции в нашем понимании космоса…». По поводу этого сравнения советский ученый, профессор В.Ф. Каган писал, что «Истины, открытые Лобачевским, были гораздо глубже скрыты, более неожиданны; их выявление требовало гения более высокого ранга» Гелиоцентрическая система Коперника только по иному представила расположение и движение небесных тел в пространстве. Система же Лобачевского дала новое представление о самом пространстве.

Все вышесказанное – это физическая сторона геометрии. Но сейчас важнее математическая сторона геометрии, ее логическая структура.

Из аксиомы Лобачевского вытекают следующие логические следствия:

1) Если прямые CN и CL не встречают прямой АВ, то любая прямая СМ, проходящая через т. C внутри вертикальных углов NCL и N’CL’ также не встретит прямой АВ (рис.3, рис.4). Отсюда первое следствие аксиомы Лобачевского: через т. С вне прямой АВ плоскости АВС, проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с прямой АВ.

2) Если соединить (рис.2) какую-либо точку прямой DB с т. С, получим прямую, допустим, СК, проходящую через т. С и встречающую АВ. Итак, все прямые, проходящие через т. С внутри прямого угла NCD, разбиваются на две категории, на два класса: встречающие прямую АВ (названные Лобачевским «сходящимися» с АВ) и не встречающие прямую АВ (их Лобачевский называет «расходящимися» с АВ). Любая прямая первой категории образует с перпендикуляром CD угол, меньший угла, образованного перпендикуляром CD с любой прямой второй категории. Вращаясь непрерывно около т. С в направлении против часовой стрелки, прямая СК на известном этапе, допустим в положении CL, перестанет пересекать АВ и из сходящейся перейдет в категорию расходящихся с АВ прямых. Эта предельная прямая CL, служащая переходной прямой, граничной, отделяющей сходящиеся от расходящихся прямых, и названной Лобачевским параллельной к прямой АВ из т. С. Итак, параллельная CL – это не просто расходящаяся прямая, а первая, граничная расходящаяся, т.е. такая, что любая прямая, проходящая через т. С внутри угла, образованного параллельной CL и перпендикуляром CD, является сходящейся прямой, а всякая прямая, проходящая внутри угла LCN будет расходящаяся с прямой АВ. Угол DCL, образованный параллельной CL с перпендикуляром CD, называют углом параллельности.

В силу симметрии относительно перпендикуляра CD внутри прямого угла N’CD получим картину, аналогично той, которую мы имеем в угле NCD, т.е. построив угол DCF равный углу DCL, получим прямую CF, также параллельную прямой АВ слева от перпендикуляра CD. Итак, через т. С, лежащую вне прямой АВ, проходят в плоскости АВС две прямые, параллельные прямой АВ, в одну и другую сторону этой прямой. Все прямые, проходящие внутри вертикальных углов, образованных параллельными прямыми LL’ и GG’ (в том числе и евклидова «параллельная» NN’), расходятся с АВ; все остальные прямые, проходящие через т. С сходятся с прямой АВ.

Следовательно: а) 2 прямые как АВ и NN’, имеющие общий перпендикуляр CD, расходятся; б) если вращать прямую NN’ около т. С, допустим, по часовой стрелке, а прямую АВ около т.D в том же направлении так, чтобы углы, образованные этими прямыми с пересекающей их прямой CD, оставались равными, то прямые АВ и NN’ остаются расходящимися, т.е. две прямые, образующие при пересечении с третьей прямой равные соответственные углы, расходятся.

3) Из предыдущего положения вытекает, что на параллели Лобачевского различается направление параллельности. Прямая CE параллельна прямой АВ в направлении или в сторону от A к B, прямая CF параллельна той же прямой AB в направлении или в сторону ВА (от В к А) (рис.5).

Несмотря на коренные отличия, понятия параллельности у Лобачевского от одновременного понятия в геометрии Евклида, можно доказать, что «параллельность» в смысле Лобачевского тоже обладает свойствами взаимности или симметрии (если прямая а параллельна прямой в, то в параллельна а). И транзитивности (если а и в параллельны с, то а и в параллельны между собой).

Приведем некоторые другие понятия и факты геометрии Лобачевского:

1. Функция Лобачевского.

Как уже говорилось выше, через т. С в плоскости САВ проходят 2 направленные параллели к прямой АВ (СЕ и CF), симметрично расположенные относительно перпендикуляра CD (рис.5). Угол параллельности, образованный каждой из этих параллелей с CD, является острым, его величина не постоянна и зависит от расстояния CD(в геометрии Евклида угол параллельности всегда прямой). То, что угол параллельности острый, вытекает непосредственно из аксиомы Лобачевского. В изменении этого угла с изменением расстояния CD можно убедиться путем следующих рассуждений (рис.6).

Пусть C’D>CD, CE || AB, в т. С угол параллельности – W. Пусть далее прямая C’E ‘|| AB в т. С’ угол параллельности - W’. В силу свойства транзитивности CE ||C’E’. Ясно, что W¹W’. Действительно, если допустить, что W= W’, то следует также допустить, что C’E’ и CE – расходящиеся прямые, как было показано выше, а это неверно.

Построим C’K, образующую с CD угол a=w, ясно, что w’< a , т.к. параллельC’E’ ближе к перпендикуляру, чем расходящаяся C’K. Итак, w' < w ; отсюда следует, что угол параллельности убывает по мере удаления от прямой АВ; чем ближе т. С к прямой АВ, т.е. чем короче перпендикуляр CD, тем больше угол параллельности. Если обозначить расстояние т. С от прямой АВ, т.е. длину перпендикуляра CD через х, то можно сказать, что угол параллельности есть функция от х, названная «функцией Лобачевского» и обозначаемая П (х). Это монотонно убывающая функция. При изменении аргумента х от 0 до ¥ функция П (х) непрерывно изменяется соответственно от p/2 до 0. Таким образом ,

,

Прих® 0 , иными словами, если оставаться в пределах сравнительно небольших расстояний, то угол параллельности мало отличается от p/2 то есть от этого значения, которое он имеет в евклидовой геометрии, это означает, что геометрия Лобачевского не противоречит, не исключает геометрии Евклида; последнего можно рассматривать как частный случай большой общей геометрии – геометрии Лобачевского. Реальный смысл предельного перехода (при х ® 0) от геометрии Лобачевского к геометрии Евклида состоит в том, что физика изучает, в конечном счете, только ограниченную, сравнительно небольшую часть пространства. Вот почему в окружающей нас среде (даже в пределах нашей планеты) свойства физического пространства приблизительно таковы, какими мы их знаем из Евклидовой геометрии, но для всего пространства, для мира звезд, для вселенной в целом, они иные, неевклидовы.

2. Сумма углов треугольника меньше 2d.

Это предположение эквивалентно аксиоме Лобачевского, то есть из него вытекает эта аксиома и наоборот. Для примера докажем первое. Пусть ( рис.7) в прямоугольном треугольнике CDK сумма углов S= a+b+g<2d, то есть b+g<d .Это значит, что внутри угла NCK можно построить ÐLCK = а (NC^CD).

Прямая CL не может пересечь прямой АВ в какой- либо точке М, так как если бы это случилось, то угол DKC , внешний по отношению к треугольнику KCM , равнялся бы внутреннему, не смежному с ним углу треугольника KCM, что противоречит абсолютной геометрии о внешнем угле треугольника. Итак, через т. С, кроме CN , проходит еще одна прямая – CL, не встречающая прямой АВ ; следовательно, верна аксиома Лобачевского. Разность 2d – S, то есть между 2d и суммой углов данного треугольника, называется угловым дефектом этого треугольника.

3. Предложение «сумма углов четырехугольника меньше 4d» вытекает из предыдущего. Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нет ни прямоугольников, ни квадратов. Вообще сумма углов n – угольника меньше 2d(n-2).

4. Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов. Действительно, пусть d - внешний угол треугольника, смежный с внутренним углом треугольника a , и пусть b и g - остальные его внутренние углы, тогда: a + d = 2d.

Следует, что d >b + g .

5. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны между собой. Это четвертый признак равенства треугольников в геометрии Лобачевского.