Прямые a и b пересекаются под углом 75°. Прямая c пересекает a и b так, что разность внутренних односторонних углов равна 85°. Определить вид полученного треугольника.
Определить, под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а пересекает их так, что сумма внутренних односторонних углов равна 54°.
Прямые k и l пересекаются под углом 33°. Прямая р пересекает их так, что один из внутренних односторонних углов в 2 раза больше другого. Найти углы треугольника, образованного этими прямыми.
Прямые a и b пересекаются под углом 40°. Прямая р пересекает их так, что в получившемся треугольнике углы относятся, как 1:7:28. Найти углы треугольника, образованного этими прямыми.
Под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а пересекает их так, что разность внутренних односторонних углов равна 90°
Из задач этого раздела остановимся на шести последних задачах. Возможные здесь варианты появляются несколько неожиданно для учащихся. Например, в задаче 23 для построения прямой с возможны две ситуации (см. рисунки):
| В этом случае имеем: 85°+х°+х°+75°=180° Здесь получаем: х=10°. | Возможно ещё и такое размещение прямых. 180°–85°+х°+х°+75°=180° х=5°. |
Задача имеет два ответа: 10° и 5°.
В задаче 24 также возможны два варианта построения прямых а, b и с (см. рисунки):
| В данном случае имеем: 75°+х°+х°+85°=180°. Отсюда: х=10°. | Для такого размещения: 180°–75°+х°+х°+85°=180°. Отсюда: х=–5°, чего не может быть. |
Как видим, перестановка в условии задачи двух числовых данных (75° и 85°) приводит к тому, что в ответе получается возможным лишь одно значение: х=10°.
Вовсе необязательно предлагать эти задачи всем учащимся. Для учащихся с преимущественной оценкой "3" многие задачи из второй части каждого раздела недоступны и необязательны. В то же время для отлично успевающих учащихся некоторые изначальные задачи очень просты и потому их можно пропускать. Из предложенного перечня можно выделить набор задач, минимально необходимый для оценки "3", потом – набор задач, минимально необходимый для оценки "4", наконец – набор задач, минимально необходимый для оценки "5" (первый, второй и третий уровни освоения указанной темы). Видимо, можно назвать задачи из этого перечня, которые превышают и третий уровень, т.е. не являются обязательными (но весьма желательными) для получения оценки "5".
Так, задачи первого уровня сложности рассчитаны на прямое применение некоторого алгоритмического правила, а также применение этого правила с небольшими вариациями. Задачи этого уровня не представляют сложности для большинства учащихся, потому что подобных этим задач достаточно много решается на уроках. Задачи неопределённые здесь не рекомендуются, а задачи переопределённые допускаются в случае несложного выявления избыточных данных (о наличии которых учащихся в большинстве случаев следует предупреждать).
Задачи второго уровня сложности могут иметь следующие отличительные черты:
условие задачи избыточно, но не содержит противоречия и задача решается однозначно. Для решения задач этого типа необходимо из всех данных задачи выбрать необходимые, и применить их.
условие задачи содержит противоречие (состав условия задачи может быть как полным, так и избыточным).
условие задачи не содержит никаких из рассмотренных нюансов с данными (состав условия полный), но по сравнению с задачами первого уровня приём, применяемый для решения, более сложный (правило применяется не "в лоб").
Задачи третьего уровня сложности отличаются ещё большим разнообразием. Для решения задач этого уровня от учеников требуется и больший объём знаний (при решении задачи приходится использовать комбинацию приёмов и навыков, изученных раньше), и наличие навыка вариативных рассуждений, которого теперешним ученикам в значительной мере не хватает. Задачи этого уровня вдобавок к сложности приёмов решения могут иметь в условии неопределённость, приводящую к неопределённому ответу.
Также стоит отдельно сказать несколько слов о задачах, которые по своей сложности стоят выше задач третьего уровня. Эти задачи имеют в своём условии неопределённость, но эта неопределённость подразумевает в решении задачи бесконечное множество ответов. Чаще всего такая формулировка задачи пугает ученика и он говорит, что задача не имеет решения, потому что не хватает данных, хотя можно было бы провести решение данной задачи и получить довольно конкретный результат.
Заключение
Подводя итог проделанной работе, отметим следующее.
О целесообразности введения неопределённых и переопределённых задач в школьный курс обучения убедительно сказано авторитетными методистами, специалистами в области математического образования. Инерционная школа пока ещё не учитывает этой целесообразности, но сдвиги в указанном направлении уже есть.
Бесспорно и то, что дополнение традиционных школьных наборов задач задачами неопределёнными и переопределёнными (в работе использован обобщающий термин для обоих видов задач – задачи с «аномальным» условием или просто «аномальные» задачи) вызовет необходимость особых методических подходов к обучению решению таких задач, подходов, расширяющих возможности учащихся в решении задач вообще, углубляющих и усовершенствующих их навыки поиска решения любой задачи, а в итоге развивающих их мышление. Попытки осознания таких подходов предприняты в данной работе. На одном из примеров показан возможный вариант расширения традиционного задачника, его дополнения задачами с «аномальным» условием.
Разумеется, работа не может претендовать на полноту и завершённость, поскольку затронутая проблема достаточно глубинна и объёмна и требует не одного года кропотливой работы не одного человека.
Однако автор надеется, что хотя бы небольшой шаг в нужном направлении им сделан.
По материалам данного исследования подготовлена (в соавторстве) статья, опубликованная в журнале «Матэматыка: праблемы выкладання» № 2 за 1999 год.
Список использованной литературы:
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7–9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990.
Буловацкий М.П. Разнообразить виды задач // Математика в школе. – 1988. – № 5, с.
Булавацкі М., Макавецкі І. Аб задачах, якіх няма ў школьных падручніках // Матэматыка: праблемы выкладання. – 1999. – № 2, с. 59 – 64.
Дегтянникова И.Н. Остроугольный или тупоугольный // Математика в школе. – 1998. – № 5, с. 43.
Игнатенко В.З. Сюрпризы биссектрисы // Математика в школе. – 1998. – № 5, с. 42.
Каплан Б.С. Методы обучения математике. – Минск: Народная асвета, 1981.
Колмогоров А. Н . Математика - наука и профессия. – М.: Наука,1988.
Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе.
Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1968.
Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. – М.: Издательство МГУ, 1962.
Математическое образование: современное состояние и перспективы (к 80–летию со дня рождения профессора А.А.Столяра): Тезисы докладов международной конференции. – Могилёв: МГУ им. А.А.Кулешова, 1999.
Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М.: Педагогика, 1975.
Махмутов М.И. Проблемное обучение. – М.: Педагогика, 1975.
Метельский Н .В. Дидактика математики. Общая методика и её проблемы. – Минск: Издательство БГУ, 1982.
Погорелов А.В. Геометрия 7–11. – М.: Просвещение, 1998.
Пойа Д. Как решать задачу. – Львов, 1991.
Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.
Рогановский Н.М. Геометрия 7–9. – Мн.: Народная асвета, 1997.
Самарин О.А. Очерки психологии ума. Особенности умственной деятельности школьников. – М.: Издательство АПН, 1972.
Столяр А.А. Педагогика математики. – Минск: Вышэйшая школа, 1986.
Столяр А.А. Как математика ум в порядок приходит. – Минск: Вышэйшая школа, 1991.
Фридман Л.М. Психолого–педагогические основы обучения математике в школе: – М.: Просвещение, 1983.
Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: – М.: Просвещение, 1989.
Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе – М.: Просвещение, 1978.
Эсаулов А.Ф. Проблемы решения задач в науке и технике. – Л.: Издательство Ленинградского университета, 1979.
Министерство образования Республики Беларусь
Могилёвский государственный университет им. А.Кулешова
кафедра методики преподавания математики
Дипломная работа
«Неопределённые и переопределённые задачи
(использование задач с «аномальным» условием
в процессе обучения математике)»
студента группы «А» V курса
физико–математического факультета
Маковецкого Ильи Ивановича
| Научный руководитель: Войтович Ф.С., старший преподаватель кафедры методики преподавания математики |
Могилёв 1999
[1] Слово "нестандартный" взято нами в кавычки, поскольку мы считаем, что соответствующий подход к решению задач должен стать стандартом для каждого ученика.