Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики

Висновки.

В результатінаписаннякваліфікаційноїроботи мноюбула досягнутамета за допомогоювиконання тихзавдань, якібули намічені,тобто:

Систематизувалавідомості пророзв’язуванняпоказниковихта логарифмічнихрівнянь й нерівностейта їх системв шкільномукурсі алгебристаршої школи.Розглянулавсі основніспособи розв’язанняпоказниковихта логарифмічнихрівнянь й нерівностей та їх систем, теореми прорівносильність,та всі типовіскладностіякі виникаютьпри розв’язуванніцих рівнянь.

З’ясуваламісце показниковихта логарифмічнихрівнянь й нерівностейта їх системв діючійта проектінової програмиз математики,конкретизувалавимоги до уявлень,знань, уміньта навичокучнів.

Проаналізуваласучасні діючіі пробні підручникиз алгебриі початківаналізу. Провелалогіко-дидактичнийаналіз тем«Показниковафункція» і«Логарифмічнафункція».

Запропонуваламетодичнірекомендаціїщодо викладаннятем «Показникова і логарифмічнафункція» встарших класахзагальноосвітньоїшколи.

Сформулюваланавчальні цілі,розробилатематичні планидо тем «Показниковафункція»,«Логарифмічнафункція», план-конспектуроку формуваннянавичок і вміньна тему: ІРозв’язуваннялогарифмічнихрівняняьІза підручником «Алгебра іпочатки аналізу»під редакцієюМ.І.Шкіль, З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук.

Підібраладиференційованусистему вправ,подала прикладирозв’язуваннярівнянь танерівностейрізної складностіта для самостійногорозв`язування.

Задопомогоюкомп’ютераі використовуючипрограму^Arbаit,розробиласамоконтролюючута контолюючупрограму дляперевірки знаньучнів, ^{якаможе бути використанапри вивченнітем «Показниковаі логарифмічнафункції».}

У процесі вивченняцього розділуучні систематизують,узагальнюютьі поглиблюютьзнання простепені кореніта їх властивості,засвоюютьпоняття показниковоїі логарифмічноїфункції, їхвластивостіта графіки,навички тавміння виконуватитотожні перетвореннявиразів показниковоїі логарифмічноїфункції, розв’язуватипоказниковіі логарифмічнірівняння йнерівностіта їх системи,здійснюватиобчисленнячислових виразівз логарифмамиі степенями.

Учні повиннінавчитисясхематичнозображатиграфіки показниковихі логарифмічнихфункцій прирізних основах,пам’ятатиосновні властивостіцих функційта вміти використовуватиїх при розв’язанніпоказниковихі логарифмічнихрівнянь і нерівностейта їх систем.Бажано ознайьмитиучнів на факультативнихчи гуртковихзаняттях ізсхематичнимзображеннямграфіків показниковихта логарифмічнихфункцій з модулями.

У процесірозв’язуванняпоказниковихі логарифмічнихрівнянь та їхсистем корисносистематизуватизнання учнівпро рівносильністьрівнянь і систем,виділити операції,які можутьпорушуватирівносильність.Слід звернутиувагу на причинивиникненнясторонніхкоренів прирозв’язуваннірівнянь і взв’язкуз цим на необхідністьперевіркизнайденихрозв’язків,а також на причинивтрати коренів.

Засвоенняучнями новихзнань при вивченнірозділу базуєтьсяна раніше вивченномуматеріалі простепені й корені,розв’язаннісистеми алгеьраїчнихрівнянь інерівностей,тощо. Бажано,щоб актуальніпитання ранішевивченногоматеріалугрунтовносистематизувалисяза рахунокчасу, виділеногона узагальнюючеповторення.При плануванніузагальнюючогоповторюванняце слід урахувати,і до повторенногоматеріалубезпотребиможна не повертатися.

Кваліфікаційнаробота написанана тему «Показниковіі логарифмічнірівняння інерівностівшкільному курсіалгебри».

Актуальністьтеми полягаєв тому, що тема«Показниковаі логарифмічнафункції» єоднією з основнихтем в шкільнійпрограмі зматематикив 11 класі, їїприділяєтьсявелика кількістьнавчальногочасу (20(30)). У процесівивчення цьогорозділу учнісистематизують,узагальнюютьі поглиблюютьзнання простепені і кореніта їх властивості,засвоюютьпоняття показниковоїі логарифмічноїфункцій, їхвластивостіта графік, навичкита вміння виконуватитотожні перетвореннявиразів показниковоїта логарифмічноїфункціями,розв’язуватипоказниковіі логарифмічнірівняння йнерівностіта їх системи.

Розв’язуваннюзадач, а точнішерівнянь абонерівностей,показниковихта логарифмічних,приділяєтьсябагато уваги,осбливо навступних екзаменах до ВУЗів таінших навчальнихзакладах. Томурозгляд цієїтеми дуже важливий.

МЕТА РОБОТИ- системазувати відомості про показниковіта логарифмічнірівняння йнерівностіта їх системив шкільномукурсі алгебристаршої школиі розкрити рольі місце вивченняпоказниковихта логарифмічнихрівняньтанерівностейв школі та вибратиметодику поданняцієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувативідомості пророзв’язуванняпоказниковихта логарифмічнихрівнянь йнерівностейта їх системв шкільномукурсі алгебристаршої школи.

2. З’ясуватимісце показниковихта логарифмічнихрівнянь йнерівностейв діючійта проектінової програмиз математики,конкретизувативимоги до знань,умінь і навичокучнів.

3. Проаналізуватисучасні діючіі пробні підручникиз алгебри.

4. Запропонуватиметодичнірекомендаціі щодо викладаннятем “Показниковафункція” та«Логарифмічнафункція» всереднійзагальноосвітнійшколі.

5. Підібрати диференційованусистему вправ.

6. Подати прикладирозв’язуваннярівнянь танерівностейрізної складності та задачісамостійногорозв’язування.

7. Опробуватирозроблену методику всучасній школі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницькийметод при вивченніпсихологопедагогічної, наукової та методичноїлітературиз предметудослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізаціязапропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІУРОКІВ В ШКОЛІПРОПОНУЄТЬСЯЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• абстрактно-дедуктивний

• дослідницький.

Роботаскладається з таких частин:Вступ, 3 розділи,які включаютьв себе 8параграфів,висновки тадодатки.

В результатінаписаннякваліфікаційноїроботи мноюбула досягнутіцілі за допомогоювиконання тихзавдань, якібули намічені,тобто:

Систематизувалавідомості пророзв’язуванняпоказниковихта логарифмічнихрівнянь й нерівностейта їх системв шкільномукурсі алгебристаршої школи.Розглянулавсі основніспособи розв’язанняпоказниковихта логарифмічнихрівнянь й нерівностей та їх систем, теореми прорівносильність,та всі типовіскладностіякі виникаютьпри розв’язуванніцих рівнянь.

В даннійкваліфікаційнійроботі проаналізованірізни підходипри вивченніпоказниковихта логарифмічнихрівнянь, а такожвзагалі прививченні теми«Показниковаі логарифмічнафункції». З’ясуваламісце показниковихта логарифмічнихрівнянь й нерівностейта їх системв діючійта проектінової програмиз математики,конкретизувалавимоги до уявлень,знань, уміньта навичокучнів.

Проаналізуваласучасні діючіі пробні підручникиз алгебри іпочатків аналізу. Провелалогіко-дидактичнийаналізтем «Показниковафункція» і«Логарифмічнафункція» зановим підручником «Алгебра іпочатки аналізу10-11» під редакцієюШкіль М.І., СлєпканьЗ.І., ДубінчукО.С. Проведенопорівняльнухарактеристикувивчення данноїтеми в підручникахпід редакцієюА.Н. Колмогоровата під редакцієюШкіль М.І., СлєпканьЗ.І., ДубінчукО.С.

Запропонуваламетодичнірекомендаціїщодо викладаннятем «Показникова і логарифмічнафункція» встарших класахзагальноосвітньоїшколи.

Сформулюваланавчальні цілі,розробилатематичні планидо тем «Показниковафункція»,«Логарифмічнафункція», атокож фрагментиуроків,план- конспектуроку формуваннянавичок і вміньна тему: ІРозв’язуваннялогарифмічнихрівняняьІза підручником «Алгебра іпочатки аналізу»під редакцієюМ.І.Шкіль, З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук.

Підібраладиференційованусистему вправ,подала прикладирозв’язуваннярівнянь танерівностейрізної складностіта для самостійногорозв`язування.

За допомогоюкомп’ютераі використовуючипрограму^Arbаit,розробиласамоконтролюючута контолюючупрограму дляперевірки знаньучнів (теоретичнихі практичних),^{якаможе бути використанапри вивченнітем «Показниковаі логарифмічнафункції». Якуя продемонструю.}

^{1. Диференційованасистема вправ:}

Система задачмає три рівніскладності:

І. Обов’язковийрівень- містить задачіта вправи, восновномурепродуктивногохарактеру на2-3 логічних кроки,представленіу формі тестів.Для їх розв’язування цчням достатньознати правила,означення,формули, теоремита ознаки,передбаченінавчальнимипрограмами,а також вмітивиконуватинайпростішітотожні перетворення,спрощення таобчислення.

ІІ. Підвищеннийрівень- містить завданняна 4-6 логічнихкроки, розв’язанняяких вимагаєвід учня творчогозастосуванняодержаних знаньз достатньоповним і строгимобгрунтуваннямходу розв’язку.

ІІІ. Поглибленийрівень- це, як правилозадачі та вправи,розв’язання яких вимагаєвміння орієнтуватися в нестандартнихситуаціях,застосовуватиорігінальніта штучні прийоми,глибини тастрогостісуджень, характернихдля тих, хтовивчає шкільнийкурс математикина поглибленомурівні.

^{а) Показниковірівняння інерівності;}

Обов’язковийрівень.

Розв’язатирівняння.

1.

1)

,

2)

,

3. ,

4. .

2.

1. 1,

2. 2,

3. 2;3,

4. іншавідповідь.

5. 

6. 2,

7. 3,

8. 4,

9. іншавідповідь.

10. 

11. 3,

12. -3,

13. 1,

14. іншавідповідь.

15. 

16. ,

17. ,

18. 2,

19. іншавідповідь.

Розв’язатинерівності.

1.

1. ,

2. ,

3. 

4. іншавідповідь.

5. 

6. ,

7. ,

8. ,

9. іншавідповідь.

10. 

11. ,

12. ,

13. ,

14. іншавідповідь.

15. 

16. ,

17. ,

18. ,

19. іншавідповідь.

20. 

21. ,

22. ,

23. .

24. іншавідповідь.

Підвищнийрівень

Розв’язатирівняння

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Розв’язатинерівності

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Розв’язатинерівностьграфічно.

1. 

2. 

Поглибленийрівень

Розв’язатирівняння.

1.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. ,
   

Розв’язатинерівності

1.

2. 

3. 

4. 

5. 

^{б)Логарифмічнірівняння інерівності;}

Обов’язковийрівень.

Знайти коренірівняння.

1. 

2. 5,

3. 3,

4. 4,

5. іншавідповідь.

   
   

2.

1)

,

2. ,

3. іншавідповідь.

4. 

5. -2;0,

6. іншавідповідь,

7. 0;-2.

8. 

9. 3,

10. 8,

11. іншавідповідь.

12. 

13. -4,

14. 4,

15. 2

16. іншавідповідь.

При якихзначеннях

справедливарівність.

1. 

2. ,

3. ,

4. ,

5. іншавідповідь.

2.

1. ,

2. 9,

3. -9

4. іншавідповідь.

5. 

6. 2,

7. ,

8. -2

9. іншавідповідь.

Розв’язатинерівності

1. 

2. ,

3. ,

4. іншавідповідь.

5. 

6. ,

7. ,

8. іншавідповідь.

3.

1. ,

2. ,

3. ,

4. іншавідповідь.

4.

1. ,

2. ,

3. іншавідповідь.

Підвищнийрівень

Розв’язатирівняння

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Розв’язатинерівності

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Поглибленийрівень

Розв’язатирівняння.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Розв’язатинерівності

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Логіко- дидактичний аналіз при вивченні теми
" Показникова функція"
	Зона І	Зона ІІ
Статус	Навчальний матеріал, який	Навчальний матеріал, який
	актуально сприймається	актуально контролюється
	(зона найближчого розвитку)	(зона актуального розвитку)
П	1. Показникова функція.	1.1. Узагальненне поняття степеня
		1.2. Властивості арифметичного
		кореня
Ф	2.Задачі на побудову графіків	2.1. Властивості степеня з
		раціональним показником
Т	3. Властивості показникової	3.1. Властивості степеня з
	функції	дійсним показником
Т	4. Властивості графіка
	показникової функції
Ф	5. Застосування властивостей	5.1. Властивості степеня з
	показникової функції в	дійсним показником
	математиці	5.2. Спадна і зростаюча функції
Ф	6. Застосування властивостей	6.1. Властивості степеня з
	показникової функції в	дійсним показником
	практиці	6.2. Радіоактивний розпад
		6.3. Атмосферний тиск
Ф	7. Основні показникові	7.1.Узагальнене поняття степеня
	тотожності
П	8. Показникові рівняння
Ф	8'. Найпростіші	8'.1.Узагальнене поняття степеня
	показникові рівняння.
Ф	8''. Типи і методи	8''.1. Властивості степеня з
	розв'язання показникових	дійсним показником
	рівнянь
Ф	8'''. Показникові нерівності	8'''.1.Властивості степеня з
		дійсним показником
Логіко- дидактичний аналіз при вивченні теми
" Логарифмічна функція"
	Зона І	Зона ІІ
Статус	Навчальний матеріал, який	Навчальний матеріал, який
	актуально сприймається	актуально контролюється
	(зона найближчого розвитку)	(зона актуального розвитку)
Ф	1. Вступ
П	2. Логарифм	2.1.Узагальнене поняття степеня
Ф	3.Ілюстративні вправи	3.1. Показникова рівність ab=N
Ф	4. Задачі на логарифм
П	5. Десяткові логарифми
Ф	6. Ілюстративні задачі
Т	7. Основна логарифмічна	7.1. Властивості степеня з
	тотожність	дійсним показником
		7.2. Показникова рівність
Ф	8. Ілюстративні вправи
Т	9. Основні властивості
	логарифмів
СД	10. Логарифмування виразів
Т	11. Тотожності, що містять	11.1. Властивості степеня з
	логарифми	дійсним показником
Ф	12. Ілюстративні вправи
СД	13. Потенціювання
Ф	14. Ілюстративні вправи
СД	15. Перехід від однієї основи
	логарифмів до іншої
Ф	16. Ілюстративні вправи
П	17. Натуральні логарифми
П	18. Логарифмічна функція	18.1. Узагальнене поняття степеня
Т	19. Зв'язок між показниковою	19.1. Узагальнене поняття степеня
	і логарифмічною функціями	19.2. Поняття оберненої функції
Ф	20. Ілюстративні вправи
Т	21. Властивості логарифмічної	21.1. Властивості показникової
	функції	функції
Т	22. Спільні властивості
	логарифмів для конкретних
	випадків
Ф	23. Ілюстративні вправи	23.1. Область визначення функції
П	24. Логарифмічні рівняння
П	25. Застосування
	логарифмічної функції до
	розв'язування рівнянь і
	нерівностей.

3. ^{Використаннянових інформаційнихтехнологіїпри вивченнітем показниковіі логарифмічнірівняння танерівності.}

Хочу поділитися своїми враженнямивід нової форминавчання - задопомогоюкомп’ютера.Звичайно, неможна все зводитидо нього, - ікількістьгодин, проведеннихза екраном, неможе служитикритеріємякості навчання,як це намагаютьсяпредставитив деяких приватнихшколах. Алебезсумнівноодне - комп’ютервідміннийпомічник дляорганизаціїіндивідуальногонавчання. Бояк тільки педагогперестає бачитьв учені простососуд, якийтреба наповнитизнаннями тавміннями, йомудоводитьсяшукати індивідуальнийпідхід до кожного,підстраюватисядо його інтересів,темп засвоєнняматеріалу,особисті особливостіпсихіки. Наприклад,в деяких школахкожен ученьможе вибратидля себя непросто курс,який його цікавить,але навітьокремі предмети.Комп’ютер,як відомо, виконуєту программу,яка в ньогозакладена, інадає великийвибір тем длявивчення. Сучасніметоди представленняінформаціїв комп’ютерахвключають всебе не простотекст, але ікартинки, відео,звукові фрагменти.Це дозволяєзадіяти практичновсі органипочуттів,використовуваємихдля сприйняттяінформації,при цьомуздійснюєтьсяїї дублюванняпо різним каналамсприйняття,що різко підвищуєшвидкість іякість засвоєнняматеріалу.Комп’ютерныйпідручникнеможна вжепорівнюватиз книгою, як цебуло всьогодекілька роківтому - заразбільшістьнавчаючихпрограм неможливовідрізнитивід ігр, і длятого, щоб перемогтив такій грі,будуть потрібнізнання, якідитині важкоприїняти якнеобхідні йомутільки зараз- але ж всім нампритаманновідкладати"на потім"рішення багатьохпроблем. А такийелемент сучаснихкомп’ютернихдокументів,як гипертекстовассилка дозволяєпри необхідностізвернутисядо будь-якогомісця документаза додатковоюінформацією,і втой же часпри повторномувивченні неперевантажуєпочатковийтекст документу.Доречі, по принципугіпертекстувлаштованавсесвітняінформаційнамережа Internet, задопомогою якоївже зараз проводитсятак зване"дистанціоненавчання" - колипрофесорипрестижнихуніверситетіввиступаютьз лекціями івідповідаютьна питання незвичної студентськоїаудиторії, аперед тими, хтов цей моментпідключен доїх вузлу мережи.Недивлячисьна тишу і візуальнувідстутністьслухачів, якихможе бути неменше, чим глядачіву телеекрана,але на відмінувід книги чителепередачізберігаєтьсязворотнійзв’язокміж викладачемі учнями. Це -реальністьсьогоднішньогодня. Цікаво, щонас (і нашихдітей) чекаєв недалекомутретьому тисячолітті.

^{Широке впровадженняв навчальнийпроцес новихінформаційнихтехнологійвідкриваєширокі перспективищодо поглибленняі розширеннятеоретичноїбази знань,надання результатамнавчання практичногозначення, активізаціїпізнавальноїдіяльності,створення умовдля повногорозкриттятворчого потенціалуучнів з урахуваннямвікових особливостей,індивідуальнихнахилів.}

^{На сьогоднірозробленозначну кількістьпрограмнихзасобів, щодозволяютьрозв’язуватиза допомогоюкомп’ютерадосить широкеколо математичнихзадач різнихрівнів складності.Це такі програмияк DERIVE, EURIKA, GRAN1,Maple, MathCad. Причомуодні з цих програмрозрахованіна фахівцівдосить високоїкваліфікаціїв галузі математики,інші - на учнівсередніх навчальнихзакладів тастудентів.}

^{Можливістьпровести необхіднийчисельнийексперимент,швидко виконатипотрібні обчисленнячи графічніпобудови, перевірититу чи іншу гіпотезу,випробуватитой чи іншийметод розв’язуваннязадачі, вмітипроаналізуватита пояснитирезультати,отримані задопомогоюкомп’ютера,з’ясувати межіможливостейзастосуваннякомп’ютерачи обраногометоду розв’язуваннязадачі маєнадзвичайнезначення увивченні математики.}

^{Не торкаючисьдокладно всіхтем, які вивчаютьсяв курсі математикизагальноосвітньоїсередньоїшколи, можназауважити, щокомп’ютерніпрограми згаданоготипу можутьбути використаніпрактично навсіх урокахматематики,починаючи вжез п’ятих-шостихкласів, зокремапід час вивченнясистеми координатна прямій і наплощині, поняттяфункції, елементарнихфункцій таїхніх властивостей,методів розв’язуваннярівнянь і нерівностейта їх систем,елементівтеорії границьчисловихпослідовностей,диференціальногота інтегральногочислень та їхзастосування.}

^{Використовуючипрограму Arbeitя розробилапрограму, якаможе бути використанапри вивченнітем «Показниковаі логарифмічнафункції». Цеконтролюючапрограма, вякій передбаченосамокотрользнань та контрользнань. Тобтоза допомогоюцієї програми учень може самперевірятинабуті знання,і вчитель можеперевірятизнання певногоучня.}

Вступ.

МЕТА РОБОТИ- системазувати відомості про показниковіта логарифмічнірівняння йнерівностіта їх системив шкільномукурсі алгебристаршої школиі розкрити рольі місце вивченняпоказниковихта логарифмічнихрівняньтанерівностейв школі та вибратиметодику поданняцієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувативідомості пророзв’язуванняпоказниковихта логарифмічнихрівнянь йнерівностейта їх системв шкільномукурсі алгебристаршої школи.

2. З’ясуватимісце показниковихта логарифмічнихрівнянь йнерівностейта їх системв діючій тапроекті новоїпрограми зматематики,конкретизувативимоги до знань,умінь і навичокучнів.

3. Проаналізуватисучасні діючіі пробні підручникиз алгебри.

4. Запропонуватиметодичнірекомендаціі щодо викладаннятем “Показниковафункція” та«Логарифмічнафункція» всереднійзагальноосвітнійшколі.

5. Підібрати диференційованусистему вправ.

6. Подати прикладирозв’язуваннярівнянь танерівностейрізної складності та задачісамостійногорозв’язування.

7. Опробуватирозроблену методикув сучаснійшколі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницькийметод при вивченніпсихологопедагогічної, наукової та методичноїлітературиз предметудослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізаціязапропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІУРОКІВ В ШКОЛІПРОПОНУЄТЬСЯЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• дослідницький.

Історичнадовідка.

Логарифми:Винайденнялогарифмівзначною міроюприскорилосьпотребамиудосконаленняобчислень.Винайшли логарифмиі майже одночаснопочали їхзастосовуватишотландськийматематик ДжонНепер (1550-1617) і швейцарськийматематик,астроном імеханік ЙостБюргі (1552-1632). Протеперший крокдо спрощенняобчисленьзробив німецькийматематикМихаель Штіфель(1487-1567), у якого поняттялогарифмаз’явилосяв результатізіставленнягеометричноїі арифметичноїпрогресій. Цяідея бере свійпочаток у працяхАрхімеда (бл.287-212 до н.е.).

Таблицілогарифмівдуже спрощувалиобчислення,дії другогоступеня (множення,ділення) звелисядо дій першогоступення (додавання,віднімання)над відповіднимилогарифмами.При цьому довелосявиконуватидії із значноменшими числами.Але у зв’язкуз впровадженнямсучасних ЕОМобчисленняза допомогоюлогарифміввтаратило своєзначення.

Показниковафункція:До початку XVIIст. у математиціуникали вживаннядробових тавід’ємнихпоказниківстепенів. Лишев кінці XVIIст. у зв’язкуз ускладеннямматематичнихзадач виникланеобхідністьпоширити областьвизначенняпоказникастепеня на всідійсні числа.Узагальненняпоняття степеня

,де n- будь-яке дійснечисло, далозмогу розглянутипоказниковуфункцію на множинідійсних чиселі степеневуфункцію на множинідодатних чисел( для цілих nстепеневафункція визначенаі для x,до других .

Кваліфікаційнаробота написанана тему «Показниковіі логарифмічнірівняння інерівностіта їх системи».

МЕТА РОБОТИ- системазувати відомості про показниковіта логарифмічнірівняння йнерівностіта їх системив шкільномукурсі алгебристаршої школиі розкрити рольі місце вивченняпоказниковихта логарифмічнихрівняньтанерівностейв школі та вибратиметодику поданняцієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувативідомості пророзв’язуванняпоказниковихта логарифмічнихрівнянь йнерівностейта їх системв шкільномукурсі алгебристаршої школи.

2. З’ясуватимісце показниковихта логарифмічнихрівнянь йнерівностейта їх системв діючій тапроекті новоїпрограми зматематики,конкретизувативимоги до знань,умінь і навичокучнів.

3. Проаналізуватисучасні діючіі пробні підручникиз алгебри.

4. Запропонуватиметодичнірекомендаціі щодо викладаннятем “Показниковафункція” та«Логарифмічнафункція» всереднійзагальноосвітнійшколі.

5. Підібрати диференційованусистему вправ.

6. Подати прикладирозв’язуваннярівнянь танерівностейрізної складності та задачісамостійногорозв’язування.

7. Опробуватирозроблену методику всучасній школі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницькийметод при вивченніпсихологопедагогічної, наукової та методичноїлітературиз предметудослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізаціязапропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІУРОКІВ В ШКОЛІПРОПОНУЄТЬСЯЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• дослідницький.

Робота складається з таких частин:Вступ, 3 розділи,які включаютьв себе 7 параграфів.

РозділI- Загальна теоріярівнянь

§1-це основнівиди рівняння,означення,твердження.

§2- розглядаєтьсякласифікаціяі способи розв’язанняпоказниковихрівнянь танерівностей.

§3- розглядаєтьсякласифікаціяі способи розв’язаннялогарифмічнихрівнянь танерівностей.

РозділII-Місце показниковихта логарифмічнихрівняннь вшкільному курсіалгебри.

§1Місце в діючийпрограмі.

§2Аналіз діючихпідручниківта тестів

РозділIII-Методика навчаннярозв’язанняпоказниковихта логарифмічнихрівнянь.

§1методичніособливостинавчання.

§2Диференційованасистема вправ.

§3^{Використаннянових інформаційнихтехнологіїпри вивченнітем показниковіі логарифмічнірівняння танерівності.}

В даннійкваліфікаційнійроботі проаналізованірізни підходипри вивченніпоказниковихта логарифмічнихрівнянь, а такожвзагалі прививченні теми«Показниковаі логарифмічнафункції». Такожпроведенийлогіко- дидактичнийаналіз тем«Показниковафункція»,«Логарифмічнафункція» зановим підручником «Алгебра іпочатки аналізу10-11» під редакцієюШкіль М.І., СлєпканьЗ.І., ДубінчукО.С. Проведенопорівняльнухарактеристикувивчення данноїтеми в підручникахпід редакцієюА.Н. Колмогоровата під редакцієюШкіль М.І., СлєпканьЗ.І., ДубінчукО.С. А токожприведеніфрагментиуроків, розробленотематичнийплан до цихтем, розробленоплан-конспектуроку формуваннянавичок тавмінь на тему«Розв’язуваннялогарифмічнихрівнянь», атакож складенасистема задач.

Актуальністьтеми полягаєв тому, що тема«Показниковаі логарифмічнафункції» займаєвелике місцев шкільнійпрограмі зматематикив 11 класі, їїприділяєтьсябагато часу.У процесі вивченняцього розділуучні систематизують,узагальнюютьі поглиблюютьзнання простепені і кореніта їх властивості,засвоюютьпоняття показниковоїі логарифмічноїфункцій, їхвластивостіта графік, навичкита вміння виконуватитотожні перетвореннявиразів показниковоїта логарифмічноїфункціями,розв’язуватипоказниковіі логарифмічнірівняння йнерівностіта їх системи.

Останнімчасом розв’язуваннюзадач, а точнішерівнянь абонерівностей,показниковихта логарифмічних,приділяєтьсябагато уваги,осбливо навступних екзаменах до ВУЗів таінших навчальнихзакладах. Томурозгляд цієїтеми дуже важливий.

План-конспект урокуформування навичок тавмінь на тему«Розв’язуваннялогарифмічнихрівнянь».

Тема: Розв’язування логарифмічнихрівнянь.

Мета уроку: Навчити учніврозв’язуватилогарифмічнірівняння

різними методами.

Обладнанняуроку: Таблицівластивостейлогарифмів.

Хід уроку.

1. Актуалізаціяопорних знань.

А) Пропонуєтьсяучням відповістина поставленізапитання.

1. Що називаєтьсялогарифмомчисла за даноюосновою ?

Очікуванавідповідь:Логарифмомчисла

за основою ( і )називаєтьсяпоказник степеня ,до якого требапіднести ,щоб дістатичисло .

2. Записати основнулогарифмічнутотожність?

Очікуванавідповідь:

.

3. Перерахуйте основні властивостілогарифмів?

Очікуванавідповідь:

Т1: Логарифм добутку двохдодатних множниківдорівнює суміїх логарифмів.

Т2: Логарифмчастки двохдодатних чисел(дробу) дорівнюєрізниці логарифмівділеного ідільника (чисельникаі значенника).

Т3: Логарифмстепеня додатногочисла дорівнюєпоказникустепеня , помноженогона логарифмоснови цьогостепеня.

Т4: Логарифмкореня з додатногочисла дорівнюєлогарифмупідкореневоговиразу, поділеномуна показниккореня.

4) Що таке потенціювання?

Очікуванавідповідь:Перетворення,за допомогоюякого за данимлогарифмомчисла (виразу)визначаютьсаме число(вираз), називаєтьсяпотенціюванням.Це перетворенняє оберненимдо логарифмування.

5. Записати формулупереходу відоднієй основилогарифма доіншої?

Очікуванавідповідь:

, , , , .

6. Які рівнянняназиваютьлогарифмічними?

Очікуванавідповідь:Логарифмічниминазиваютьрівняння, якімістять зміннупід знакомлогарифма.

7. Який вигляді розв’язокмає найпростішелогарифмічнерівняння?

Очікуванавідповідь:Найпростішелогарифмічнерівняння маєвигляд

, де , , -будь-яке число.Воно має єдинийрозв’язок ,який можнадістати задопомогоюпотенціювання.

8. Яка причинапояви сторонніхкоренів?

Очікуванавідповідь: Підчас розв’язування логарифмічнихрівнянь можестатися розширенняобласті визначенняі можуть з’явитисясторонні корені.

Б) Математичнийдиктант.

Читається кожнезавдання окремо.Числові данізаписуютьсяна дошці (можнавикористовуватикодоскоп).

1. Знаючи

   ,знайти
   .

2. Знайти

   ,якщо
   .

3. Чи правильно,що

   ?Чому?

4. Довести,що

   .

5. Чи правильно,що

   ?Чому?

Пропонуєтьсяучням ( на кожнійпарті) обмінятисявиконанимизавданнямиі здійснитиперевіркудиктанта.

Правильнівідповіді навсі завданнядиктантадемонструютьсяна дошці ( булинаписані попередньо)або за допомогоюкодоскопа.

Учні самі виставляютьоцінки за такиминормами: правильнорозв’язанезавдання - «+»,неправильнорозв’язанезавдання - «-»,залежно відкількості «+» і «-» виставляєтьсяоцінка: 5 «+» - «5»,4 «+» - «4», 3 «+» - «3», менше 3 «+» - 2.

ІІ. Постановказадачі урока.

Завдання даногоуроку - навчитисьрозв’язуватилогарифмічнірівняння різнимиметодами.

ІІІ. Вивченнянового матеріалу.

А) Первиннезастосуваннянабутих знань.

Спочатку нагадуємо,що для розв’язаннярівняння

( , )(1) досить розв’язатирівняння (2) і його розв’язкипідставитив систему нерівностей (3), яка задаєобласть визначеннярівняння. Коренямирівняння (1) єтільки ті розв’язкирівняння (2), якізадовольняютьсистему (3), тобтоналежатьобластівизначеннярівняння, заданогоформулою (1).

Завдання 1 і 2розв’язуютьсяколективнопід керівництвомвчителя.

Завдання 1:Розв’язаннярівняння

Розв’язання:

Вчитель ставитьряд запитань,щоб проаналізуватирозв’язуваннярівняння.

1. Уважно розглянувшиправу і лівучастини рівняння,ми бачимо,щооснови логарифміводнакові і миможемо пропотенціюватиобидві частини.Що для цьоготреба зробити?

(ВикористовуючивластивостіТ1: Логарифм добутку двохдодатних множниківдорівнює суміїх логарифмів,Т3: Логарифмстепеня додатногочисла дорівнюєпоказникустепеня , помноженогона логарифмоснови цьогостепеня, отримаємо

)

Після потенціюванняодержимо

.Звідсі , .

2. Зробимоперевірку:Підставимов дане рівняннязамість невідомогочисла -9. У лівійчастині дістанемовирази

   і
   ,чи може такебути?

( Вирази

і не мають смислу,бо логарифмивід’ємнихчисел не існують)

Отже значення

є стороннімкоренем. Теперперевіримо,чи є коренемданого рівняннячисло 2. Лівачастина рівняннямає вигляд:

.

Ліва частинадорівнює правій.Отже,

- корінь даногорівняння.

Прийом потенціюванняшироко застосовуєтьсяпід час розв’язуваннялогарифмічнихрівнянь.

Завдання 2: Розв’язтирівняння

Розв’язання: Скористаємосявже відомимвам методомзаміни зміної.

Що нам зручноприйняти за

?( )

Тоді ми дістанемоквадратнерівняння

.Знаходимо йогокорені: , .Дістанемо дварівняння: ,

За означеннямлогарифмазнаходимо розв’язкипершого і другогорівняння. (самостійнов зошитах),

, .

За допомогоюперевіркиз’ясовуємо,що обидва знайденихзначення

є корнями даногорівняння. (Перевіркуучні роблятьсамостійнов зошитах).

Відповідь:

,16.

Б) Коментованерозв’язування вправ.

Завдання 3:Розв’язатирівняння

(№52(6))

Завдання 4:Розв’язатирівняння

(№53(4))

Завдання 5:Розв’язатирівняння

(№53(12)

Завдання 6:Розв’язатирівняння

(№53(13)).

Учні розв’язуютьрівняння самостійно.Більш підготовленомуучню вчительпропонуєпрокоментуватирозв’язування.

Наведемо дляприкладу одинз можливихваріантівкоментуванняучнем розв’язуваннярівняння 3. (взалежностівід класу вчительможе допомогатипри розв’язуванні,підказуючи,якщо виникаютьскладнощі,спосіб розв’язування).

Це рівнянняможна розв’язатиза допомогоюозначеннялогарифма, тобто рівнянняможна переписатитак

,і розв’язуємоце рівняння.Отримуємо, що є коренем рівняння,який належитьобласті визначеннярівняння.

Розв’язаннязавдання 4:

.

Відповідь:

.

Розв’язаннязавдання 5:Розв’язатирівняння

Область визначеннярівняння

3 6

Відповідь:Розв’язківнемає.

Розв’язаннязавдання 6:

.

Рівняння такоготипу розв’язуютьсялогарифмуваннямі називаютьсяпоказниково-логарифмічними.

,робимо замінузмінної

,

і

і

Відповідь: 10; 100.

В) Самостійнерозв’язуваннязадач .

Завдання 7:Розв’язатирівняння

Завдання 8:Розв’язатирівняння

Завдання 9:Розв’язатирівняння

.

Самостійнаробота перевіряєтьсяна уроці

ІV.Підсумкиуроку.

1. Як працювавклас.

2. Оцінка роботиокремих учнів.

3. Домашнєзавдання.

Підручник підредакцієюМ.І.Шкіль, З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук «Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.» К: Зодіак-ЕКО,1995р

Розділ V, №№ 52(8,12,14), 53(1, 2, 3, 6, 11, 16)

^{І. Загальнатеорія рівнянь:}

1. ^{Рівнянняосновні означення,твердження}

1) В алгебрірозглядаютьдва види рівностей- тотожностіі рівняння.Розглянемофункції y=f(x),визначену намножині M,і y=g(x),визначену намножині N.

Якщо на деякіймножині R,яка є підмножиноюяк М, так і N,має місто рівність

f(x)=g(x),

то говорять,що ці функціїтотожно рівніна множині R,а рівність

f(x)=g(x)

при цьомуназиваєтьсятотожністюна множині R.

Часто приходитьсярозглядатифункції, проякі невідомо,якою є множиназначень аргументу,на якій вонитотожно рівні.В такому випадкурівність

f(x)=g(x)

називаютьрівнянням. Воновиражає задачупошуку тихзначень х, прияких f(x)і g(x) рівні.Шукані значеннях при цьомуназиваютькоренями(розв’язками)рівняння. Значенняневідомих, якіналежать множинідопустимихзначень рівнянняі задовольняютьйого (тобтоперетворюютьрівняння вправильнурівність(тотожність),називаютькоренямирівняння.Областювизначеннярівняння (1) будемоназивати перетинобластей визначенняфункцій fі g.

Букви, яківходять в рівняння,за умовою задачіможуть бутинерівноправними:одні можутьприймати всісвої допустимізначення іназиваютьсякоефіцієнтами(інколи параметрами)рівняння; інші,значення якихпотрібно знайти,називаютьсяневідомими(їх майже завждипозначаютьостаннімибуквами латинськогоалфавіту: x,y,z,або тими ж буквами,але з індексами:x₁,x₂,...,x_nабо y₁,y₂,...,y_k).

В загальномувигляді рівнянняз nневідомимиx₁,x₂,...,x_nможе бути записаноу вигляді

f(x₁,x₂,...,x_n)=g(x₁,x₂,...,x_n), (1)

де f(x₁,x₂,...,x_n),g(x₁,x₂,...,x_n)- функції вказанихзмінних. В залежностівід кількостіневідомихрівняння називаютьрівнянням зодним, двомаі більше невідомими.

Рівняннявважаєтьсярозв’язаним,якщо знайденовсі його кореніабо показано,що рівняннякоренів немає.

Методи розв’язуваннярівнянь базуютьсяна поняттірівносильності(еквівалентності).

Якщо всірозв’язкирівняння f(х)=g(x)є розв’язкамирівняння j(x)=y(x),то говорять,що рівнянняj(x)=y(x)є наслідкомрівняння f(х)=g(x),і записують

f(х)=g(x)Юj(x)=y(x).

Два рівнянняf(х)=g(x)і j(x)=y(x)називаютьеквівалентними,якщо кожне зних являєтьсянаслідкомдругого, і записують

f(х)=g(x)Ыj(x)=y(x).

Таким чиномдва рівняннявважаютьсяеквівалентними,якщо множинирозв’язківцих рівняньспівпадають.

Рівнянняf(х)=g(x)вважаютьеквівалентнимдвом (або декільком)рівняннямf₁(x)=g₁(x),f₂(x)=g₂(x),якщо множинарозв’язківрівняння f(х)=g(x)співпадаєз сукупністюмножин розв’язківрівняньf₁(x)=g₁(x),f₂(x)=g₂(x).

Можна сказати,що рівняннярівносильні,якщо кожне зних є наслідкомдругого.

Деякі еквівалентнірівняння:

1.РівнянняF+G=Gеквівалентнерівнянню F=0,яке розглядаєтьсяна множинідопустимихзначень вихідногорівняння.

2.Рівняння

еквівалентнерівнянню F=0,яке розглядаєтьсяна множинідопустимихзначень вихідногорівняння.

3.РівнянняFґG=0еквівалентнедвом рівняннямF=0і G=0,кожне з якихрозглядаєтьсяна множинідопустимихзначень вихідногорівняння.

4.РівнянняFⁿ=0еквівалентнерівнянню F=0.

5.РівнянняFⁿ=Gⁿпри непарномуnеквівалентнерівнянню F=G,а при парномуnеквівалентнедвом рівнянням:F=G і F=-G.

Заміна рівняння рівносильнимйому рівняннямабо замінарівняння рівносильноюйому сукупністюрівнянь називаєтьсярівносильнимпереходом.

Наведемоосновні теоремипро рівносильністьрівнянь.

ТеоремаІ.Рівняння

f(х)=g(x)і f(х)+j(x)=g(x)+j(x)

рівносильні,якщо j(x)існує в областівизначеннявихідногорівняння (1).

З цієї теоремивипливає, щододанки можнапереноситиз однієї частинирівняння віншу, змінюючизнак цьогододанку напротилежний.

Теорема ІІ.Якщо обидвічастини рівняння

f(х)=g(x)(1)

помножитина вираз j(x),який існує вобласті визначеннярівняння (1), тоотримаєморівняння

f(х)ґj(x)=g(x)ґj(x) ( 2),

яке є наслідкомрівняння (1).

Якщо при цьомуj(x)№0,то рівняння(1) і (2) рівносильні.

Теорема ІІІ.Рівняння

fⁿ(х)=gⁿ(x),(*)

де nі2(натуральне),є наслідкомрівняння f(х)=g(x).

Це значить,що будь-якийкорінь рівняння(1) є коренем ірівняння fⁿ(х)=gⁿ(x), але рівнянняfⁿ(х)=gⁿ(x),може мати щей інші корені,які не задовольняютьрівняння (1). Іншимисловами, припіднесеннідо натуральногостепеня обохчастин рівняння(1) можуть з’явитисьзайві корені.

Розрізняютьрівняння алгебраїчніі трансцендентні.В алгебраїчнихрівняннях надневідомимиможуть здійснюватись,причому в скінченійкількості,тільки операціїдодавання,віднімання,множення, діленнята піднесеннядо раціональногостепеня.

Якщо надневідомимиздійснюютьсяй інші операції,то рівнянняназиваютьтрансцендентним.

Прикладамитрансцендентнихрівнянь єпоказникові,логарифмічні,тригонометричнірівняння, атакож рівняння,що містятьоберненітригонометричніфункції.

У загальномувипадку трансцендентнірівняння неможуть бутирозв’язанніалгебраїчно,тобто за допомогоюпослідовноговиконання рядуаріфметичнихта алгебраїчнихдій над данними,які належатьдо їх складу.Елементарнаматематикарозглядаєокремі видитрансцендентнихрівнянь, допускаючиханалітичнерішення. Зокрема,до них відносятьсяпоказниковіта логафмичнірівняння.

В процесірозв’язуваннярівняння задопомогоюрізних перетвореньзамінюютьпростішим,рівносильнимйому рівнянням.Якщо це не вдається,то можливі дватакі випадки.

1. Під час переходудо нового рівнянняможе трапитисьвтрата коренів.

2. Нове рівнянняможе міститикорені, що неє коренямивихідногорівняння (зайвікорені). Зайвікорені можнавиявити задопомогоюперевірки(підстановкоювсіх коренівнового рівнянняу вихідне).

Нехай f(x) - числовафункція однієїчи декількохзмінних (аргументів).Вираз, в якомує знаки ">"(і"(Ј),називаютьнерівністю.

Розв’язатинерівність

f(x)>0)(4)

- це значитьзнайти всізначення аргументу(аргументів)функції f , прияких нерівність(4) справедлива.Множина всіхзначень аргументуфункції f, прияких нерівність(4) справедлива,називаєтьсямножиноюрозв’язківнерівностіабо просторозв’язкомнерівності.

Множинарозв’язківнестрогоїнерівності

f(x)Ј0 (f(x)і0)(5)

представляєсобою сукупністьмножини розв’язківнерівності(4) і множинирозв’язківрівняння f(x)=0.

Дві нерівностіf₁(x)1(x))і f₂(x)2(x))називаютьсяеквівалентними,якщо множиниїх розв’язківспівпадають.

При цьомупишуть

f₁(x)1(x)) Ыf₂(x)2(x)).

Якщо двінерівностіне мають розв’язків,то за означеннямвони такожвважаютьсярівносильними.

Під множиноюдопустимихзначень невідомих,які входятьв нерівність,розуміютьобласть визначенняфункції f(x).

Рівносильнінерівностіможуть матирізні областідопустимихзначень (наприклад,нерівністьx>1рівносильнанерівності

>1,при цьому мибачимо, що ОДЗнерівностіx>1є множина всіхдійсних чисел,а ОДЗ нерівності >1- множина невід’ємнихчисел).

З означеньрівносильнихнерівностейвипливає, щозамість даноїнерівностіможна розв’язуватинерівність,рівносильнуданій.

Дві нерівностіназиваютьсярівносильнимина множині А,якщо співпадаютьмножини їхрозв’язківна цій множиніА.

Дві нерівностіможуть бутинерівносильними,але можуть бутирівносильнимина деякій множині.Прикладомможуть бутинерівностіx²>1і x>1,які рівносильніна множинідодатних чисел,але не є рівносильнимина множині всіхдійсних чисел.

Якщо будь-якийрозв’язокоднієї нерівностіє розв’язкомдругої нерівності,то говорять,що друга нерівністьє наслідкомпершої нерівності,при цьому записують

f₁(x)Юf₂(x)

Якщо замінитинерівністьїї наслідком,то множинарозв’язківдругої нерівностібуде складатисьз множини розв’язківвихідної нерівностіі ще може матидеякі числа,які називаютьзайвимирозв’язкамивихідної нерівності.Тому якщо підчас розв’язуваннянерівностіпереходятьдо її наслідків,то в кінці необхіднопровести перевірку.

Твердженняпро рівносильністьнерівностей:

1. Нерівностіf(x)>f(x)рівносильні.

2. Нерівностіf(x)

3. Нерівностіf(x)j(x)j(x)рівносильні,якщо функціяj(x)визначена наОДЗ нерівностіf(x)

Можна записати,що нерівності

f(x)aрівносильнідля будь-якогочисла a.

4. Якщо функціяj(x)додатна привсіх значенняx з ОДЗ нерівностіf(x)j(x)ґf(x)ґg(x)рівносильні.Якщо функціяj(x)від’ємна привсіх значенняхх з ОДЗ нерівностіf(x)j(x)ґf(x)>j(x)ґg(x).

5. Нерівності

   іf(x)ґg(x)>0рівносильні.

Нерівностівиду (4) або (5), складенідля будь-якихфункцій f_і(x),можуть бутизведені в системунерівностей.

Розв’язатисистему нерівностей- це значитьзнайти множинувсіх значеньаргументівфункцій f_і(x),при яких справедливівсі нерівностісистеми одночасно.

Говорять,що системинерівностейеквівалентні,якщо множиниїх розв’язківспівпадають.

2. ^{Класифікаціяі способи розв’язанняпоказниковихрівнянь танерівностей.}

Функція,задана формулою

де а и а називаєтьсяпоказниковоюфункцією.

Сформулюємоосновні властивостіпоказниковоїфункції .

1. Областьвизначення- множина Rдійснихчисел або всячислова пряма.Властивістьпідкреслює,що степінь

   визначена прибудь-якомудійсному показникух.

2. Областьзначень - множинаR₊всіхдодатних дійснихчисел (0;+Ґ).

3. Функція неє ні парною,ні непарною.Це слідує зтого, що

   і
   .

4. Якщо а

   ,функція зростаєна всій числовійпрямій, тобтоякщо
   ,то
   .Якщо
   функція спадаєна множині R,тобто якщо
   ,то
   .

5. Графікифункцій длявипадків а

   ,
   зображені намалюнках.

Показниковафункція - цестрого монотоннафункція, визначенана всій числовійпрямій.

Показниковірівняння відносятьсядо трансцендентнихрівнянь. Показниковиминазиваютьсярівняння, вяких невідомевходить тількидо показниківстепенів припостійнихосновах.

Показниковіі логарифмічнірівняння немають загальногометоду розв’язування.

Розв’язуванняпоказниковихрівняннь наосновні властивостейстепенів: двастепеня з однимі тим же додатнімі відміннимвід одиниціоснованиемрівні тоді ітільки тоді,коли рівні їхпоказники.

Теорема:Нехай

и .Рівняння рівносильнорівнянню .

Доведення:Доведемо, щоякщо

,то .Дійсно, так якпоказниковафункція строгомонотонна, тоз рівності їїзначень ,слідує рівність показників .Навпаки: якщо , .

Властивостістепеня

1. 

2. 

3. ;

Використовуяці властивості,рівняння

,де ,(1)

потрібнорозв’язуватитак:

.

Якщо замістьxу показникустепеня стоїтьдеяка функціяf(x),тобто рівняннямає вигляд

(2)

то за допомогоюлогарифмированияобох частинцього рівняння(це можливо,тому що обидвічастини рівняннядодатні), приходимодо еквівалентногорівняння

.

Деякі показниковірівняння приводятьсядо виду (1) або(2) за допомогоюрівностей

Приклад 1.Розв’язатирівняння

Розв’язок:Оскільки

то

Рівняннявиду

рівносильнорівнянню

.

Приклад 2.Розв’язатирівняння

Розв’язок:Данне рівняннярівносильнерівнянню

.З цього данне рівняння маєдва корня:

Приклад 3.Розв’язатирівняння

Розв’язок:Перепишемоданне рівнянняу вигляді

.

Використовуючивластивостічленів пропорції,маємо

після спрощення

Перетворившиданне рівняннядо виду отримуємо4-х=0,звідки слідує,що х=4.

Розв’язуванняпоказниковихрівняннь, якізводятьсязаміною зміннихдо алгебраїчногорівняння. Якщопоказниковерівняння маєвигляд

(3)то заміною вого зводитьсядо рівняннявиду де -корні рівняння .Так, наприклад,рівняння де -деякі числа, зводиться дорозв’язуваннярівносильноїйому совокупностірівняннь -де -корнірівняння

Приклад 4.Розв’язатирівняння

Розв’язок:Позначимо

і роблячи замінузмінних, отримуємоквадратнерівняння

корнями якогобудуть

Таким чиномрозв’язанняданного рівняннязвелося дорозв’язуваннярівнянь

Друге рівняннярозв’язківне має, тому що

привсіх допустимихзначеннях х.З першого рівнянняотримуємо

, підносимообидві частинирівняння уквадрат маємо .Приведемоподібні члени,отримуємоєдиний корінь .Перевіркоюпереконуємося,що цей коріньзадовольняєпочатковомурівнянню.

Показниковірівняння, основистепенів якихє послідовнимичленами геометричноїпрогресії, апоказникистепеня однакові,приводятьсядо рівнянь виду(3) діленням набудь-який зкрайніх членів.

Приклад 5.Розв’язатирівняння

Розв’язок:Розділіимобидві частинирівняння на

.Маємо

Позначаючи

і виконуючизаміну змінних,отримуєморівняння коренями якогобудуть Таким чиномрозв’язокрівняння зводитьсядо розв’язуваннядвох простішихпоказниковихрівнянь

Відповідь:

Рівняннявиду

,де -дійснічисла, а основиaтаb є взаємооберненимидодатнімичислами (ab=1),можна розв’язуватислідуючимчином. Ввестизмінну та, використовуючирівність (ab=1),перейти відрівняння до рівняння

Тоді рівняння

буде рівносильносовокупностідвох показниковихрівнянь: де -корні рівняння ,якщо це рівняннянемає розв’язків,то і рівняння також не маєрозв’язків.

Рівняннявиду

де функціїневідомогох, називаютьсястепенево-показниковимирівняннями.Еквівалентніцьому рівнянню =1та системі Тобто розв’язуютьсяслідуючимчином:

1. Перевіряємо,чи не будутьдля

   >0корні рівняння
   =1корнями рівняння
   ;

2. Перевіряємо,якщо при

   ,функції
   ,
   одночаснодорівнюютьабо парному,або непарномучислу, то корнірівняння
   ,будуть і корнямирівняння
   .

3. Тоді для

   рівняння
   еквівалентнорівнянню
   

Приклад 6.Розв’язатирівняння

Розв’язок:

1) Знаходимокорніпочатковогорівняння середрозв’язківрівняння

Перевіркоюпереконаємось,що х=0 належитьобласті допустимихзначень тазодовольняєпочатковомурівнянню, тобтоє коренем рівняння.

2. Для

   данне рівнянняеквівалентнорівнянню

Отримуємоневірну числовурівність. Цеговорить проте, що у данномувипадку рівнянняне має розв’язків.

Відповідь:х=0.

Приклад 7:Розв’язатирівняння

.

Розв’язок:

1. x-2=1Ы

   .Бачимо, що
   
   ізадовільняєданому рівнянню,тобто є йогокоренем.

2. Ы
   .Перевіряємозначення
   при
   ,
   ,
   ;
   ,
   .Отримали, щофункції набуваютьодночаснонепарні значення.Тобто
   є коренем рівняння.

3. для

   початковерівнянняеквівалентнорівнянню

Відповідь:

Тобто коренямирівняння

вважаютьсятільки розв’язкизмішаної системи ,

і ті значеннях, дляяких

=1,якщо при цихзначенняхвизначені та ,та додатковоперевіряють,якщо при ,функції , одночаснодорівнюютьабо парному,або непарномучислу, то корнірівняння ,будуть і корнямирівняння .Функціявиду визначенатільки при >0,тому те значення х, якеформальнозадовольняєрівності але при яких ,не прийнятосчитать корнямирівняння .

Деякіспеціальніметоди розв’язуванняпоказниковихрівнянь. Деякі рівняння зводятьсядо розглянутихвище, якщоперетворитиокреми їх елементи,використавшиосновне логарифмічнетождество.

Приклад 8.Розв’язатирівняння

Розв’язок:Перетворимодругий доданоку лівій частинірівняння:

Підставляючиодержаний виразв початковерівняння, отримаємо

Рівняння

еквівалентнорівнянню яке в свою чергуеквівалентнодвом рівнянням

Розв’язуючиостанні рівняння,отримуємо

Відповідь:

Деякі рівняння,які містятьневідоме упоказникустепеня, вдаєтьсярозв’язатиза допомогоюдослідженняфункції, яківходять до долівої та правоїчастини рівняння.Монотонністьфункції частодозволяє визначитичисло кореніврівняння, аіноді і знайтизначення.

Приклад 9.Розв’язатирівняння

Розв’язок:Корінь x=5може бутизнайденимпідбором. Іншихрозв’язківрівняння немає, так як функція

монотонноспадає, а монотоннозростає, тобтографіки цихфункцій можутьперетинатисяне більше ніжодин раз.

Тобто графічнимспособом неважко знайтинаближеннірозв’язкирівннянь такоговиду

.Знання графиківфункції та не рідко дозволяєвизначити числорозв’язківрівняння таїх наближені,а іноді і точнізначення.

Означення:Нерівності,де хоча б одназ функційпоказникова,називаються показниковиминерівностями.

Розв’язуваннянайпростійшихпоказниковихнерівностейбазується навикористаннівластивостеймонотонностіпоказниковоїфункції.

Розглянеморозв’язаннянайпростійшихпоказниковихнерівностей.

1. Нерівність

   ,де
   ,
   

а) якщо

,то нерівністьвиконуєтьсяпри будь-якомузначенні х(оскільки длябудь-якогозначення х );

б) якщо

,то записавшинерівністьу вигляді ,дістанемо:

коли

, ,

коли

, ,

2. Нерівність

   ,де
   ,
   

а) якщо

,то нерівністьне має розв’язку;

б) якщо

,то записавшинерівністьу вигляді ,дістанемо:

коли

, ,

коли

, ,

Приклад10:Розв’язатинерівність

Розв’язання:Оскільки

,то

, ,і, нарешті,

Відповідь:

.

3. Нерівностівиду

   ,де
   ,
   

а) якщо

,то нерівністьеквівалентна

б) якщо

,то нерівністьеквівалентна

4. Нерівностівиду

   ,де
   ,
   

а) якщо

,то нерівністьеквівалентна

б) якщо

,то нерівністьеквівалентна

Приклад 11:Розв’язатинерівність

Розв’язання:Данна нерівністьрівносильнанерівності

Таким чином,початковійнервностізадовільняютьвсі дійснічисла.

Відповідь:

.

Розв’язаннябудь-якої нестрогоїпоказниковоїнерівностівідмінно відрозв’язаннявідповідноїстрогої нерівностітільки включенняму множину всіхрозв’язківкоренів відповідногорівняння.

Нерівністьвида

,де , , ,може бути розв’язаназа допомогоюлогарифмуванняобох частин( це можливо,тому що обидвічастини нерівностідодатні). Привсіх нерівністьсправедливадля будь-якого з ОДЗ нерівності.А нерівність при , , розв’язківне має.

Приклад 12:Розв’язатинерівність

Розв’язання:Обидві частининерівностідодатні прибудь-якомузначенні

.Прологарифмувавшиобидві частининерівностіза основою 3,отримаємонерівність рівносильнупочатковій.

Таким чином

.Звідсі з врахуваннямтого, що ,знаходимо всірозв’язкипочатковоїнерівності- проміжок

Відповідь:

.

Деякіспеціальніметоди розв’язуванняпоказниковихнервностей.

Нерівностівиду

,де -будь-які дійснічисла, а основи і єпротилежнимивзаємно оберненимичислами ,можливо розв’язатиза допомогоюзаміни (так як і рівняння).

Деякіпоказниковінерівностімістять виразивиду

(степенево-показникова).Нагадаємо, щоза означенням = , , ,тобто функція визначена тоді,коли визначеніобидві функції , і , крім того, >0.

Тобто

,або

А такожрозв’язуютьсяшляхом логарифмуванняз обов’язковим дослідженнямобласті допустимихзначень. Прицьому знакнерівностізберігається,якщо логарифмуємоза основою

,і змінюєтьсяна протилежний,якщо .

^{3.Класифікаціяі способи розв’язаннялогарифмічних рівнянь танерівностей.}

Рівняння

де а>0іа ,це рівнянняне має розв’язків,якщо ,і має єдинийкорінь у випадку .Цей коріньназиваютьлогарифмомbза основою аі позначають ,тобто

Логарифмомчисла bза основою аназиваєтьсяпоказник степеня,до якого требапіднести основуа,щоб дістатичисло b.Формулу

(де і )називаютьосновноюлогарифмічноютотожністю.

Фунцкію,задану формулою

називаютьлогарифмічноюфункцією заосновою а.

Якщодеякий виразА, який складаєтьсяз додатніхчисел за допомогоюоперацій множення,ділення тапіднесеннядо степеня, товикористовуювластивостілогарифмів,можно виразити

через логарифмивходящих увираз А чисел.Таке перетворенняназиваєтьсялогарифмуванням.Розв’язокоберненоїзадачі , тобтознаходженнявиразу за йогологарифмом,називаєтьсяпотенціюванням.

Під час роботиз логарифмамизастосовуютьсятакі їх властивості,що випливаютьз властивостейпоказниковоїфункції:

Для будь-якого

і будь-якихдодатних хі yвиконуютьсярівності

1. Логарифмодиниці рівеннулю

2. Логарифмоснови дорівнюєодиниці

3. Основналогарифмічнатотожність.

Якщо

то .

4. Формула длялогарифмадобутку.

Якщо

і ,то

Логарифмдобутку дорівнюєсумі логарифмів.

Якщо

і ,то

5. Формула длялогарифмучастки

Якщо

і ,то

Логарифмчастки дорівнюєрізниці логарифмів.

Якщо

і ,то

6. Формулалогарифмастепеня.

Якщо

,то

Логарифмстепеня дорівнюєдобутку показникастепеня налогарифм основицього степеня.

7. Формулапереходу відодної основилогарифму додругой.

Якщо

,то для будь-якогодійсного числаb>0та b№1

Таким чиномми бачимо, щопри зміні основизначення логарифмівзмінюютьсяпропорційно.Коефіцієнтпропорційності

називаютьмодулем переходу.

Частиннівипадки :

або ;

, .

Властивостістепенів ілогарифмівтісно пов’язаніміж собою. Вонифактично виражаютьодне і теж тількиодин раз мизвертаємо увагуна поведінкусамих степенів,а другий - наповедінкупоказниківстепеня:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Основнівластивостілогарифмічноїфункції:

1. Областьвизначеннялогарифмічноїфункції - множинавсіх додатнихчисел R₊,тобто D(log_a)=R₊.(0; +Ґ).Справді, кожнедодатне числох маєлогарифм заосновою а.

2. Областьзначень логарифмічноїфункції - множинавсіх дійснихчисел

(Ґ;+Ґ).Для будь-якогодійсногоyвиконуєтьсярівність

тобто функція

набуває значення

в точці

.

3. Логарифмічнафункція монотоннана всій областівизначення.Якщо

   функція зростає, тобто якщо
   ,то
   .Якщо
   функція спадає,тобто якщо
   ,то
   .

4. Логарифмічнафункція

   ,де
   та
   -це функціяобернена допоказниковоїфункції
   .Графіки показниковоїі логарифмічноїфункції, щомають однаковуоснову, симетричнівідносно прямої
   .

Логарифмічнимрівняннямназиваєтьсярівняння, щомістять невідомувеличину підзнаком логарифмаабо в основілогарифма (аботе і другеодночасно).Найпростійшими логарифмічнимирівнянняминазвемо рівняннявиду:

та

Для рівняння

,де

,

,

Це основанона наступнійважливій властивостілогарифма :

Логирифмдвох додатніхчисел по одійі тій же додатнійі не рівнійнулю основірівні тоді ітільки тодіколи рівні цічисла.

При розв’язуваннілогарифмічнихрівнняньвикористовуютьсяозначеннялогарифма тайого властивості,дії логарифмуваннята потенціювання,різні логарифмічнітотожності.

Логарифмічнерівняння , вякому під знакомлогарифмастоїть деяка функція

,

,

,

,

має множинудопустимихзначень х,заданих нерівністю

еквівалентнорівнянню

.

Приклад13: Розв’язатирівняння

Розв’язок:Початковерівняння рівносильнорівнянню

,звідки

.Число (-9) -єдинийкорінь данногорівняння.

До простійшихлогарифмічнихрівнянь відносятьсятакож рівняннявиду

,де

,яке

а) при

і

має єдинийкорінь

;

б) при

і

має розв’язкомбудь-яке додатне,відмінне відодиниці число;

в) при

і

коренів немає;

г) при

і

коренів не має.

Приклад14:

Розв’язок:Оскільки

,то

,тобто початковерівняння рівносильнорівнянню

,звідки

.Число 4 -єдинийкорінь данногорівняння.

Розв’язуваннялогарифмічнихрівнянь зведеннямдо простійшихлогарифмічнихрівнянь.

Рівняння,що розв’язуютьсяза допомогоюозначеннялогарифма:

Приклад15: Розв’язатирівняння

Розв’язок:За означеннямлогарифмаотримуємо

Перевірка:

Логарифмічнірівняння ,щорозв’язуютьсяпотенціюванням

Приклад16: Розв’язатирівняння

Розв’язання:Знаходимообласть визначення:

.

Рівняннянабирає вигляду

звідки

А данне рівняннярівносильнотакому :

.Розглядаючидва випадкиі розв’язуючивідповіднірівняння матимемо:

1)

,

,

2. ,
   ,
   .

Відповідь:

,

.

Теорема:Рівняння

рівносильнорівнянню

при обмеженнях

,

.

Доведення:Нехай

-розв’язокрівняння

.Тоді визначенілогарифмичисел

та

,тобто ці числаповинні бутибільше нуля.Потенцируярівність

,отримуєморівність

.Навпаки, нехай

-розв’язокрівняння

,причому

та

.Тоді рівність

можно прологарифмувати,і ми отримаємо

.

Логарифмічнерівняння

(

)

Рівносильнокожній з наступнихсистем:

або

Для розв’язкурівняння

переходятьтільки до одноїз цих систем( та, яка легше)або розв’язуютьрівняння

,яке може матикорні лишнідля початковогорівняння , іперевіряютькожне з них підстановкоюв початковерівняння.

Для розв’язуваннярівнянь

,

Використовуючивластивостілогарифма , їхприводятьвідповіднодо виду:

і далі розв’язуютьсятак, як вказанопопередньо.Із знайденихкоренів слідуєвключити довідповіді ті,для яких

,

,

,або перевіритикожен з нихпідстановкоюдо початковогорівняння.

Якщо прирозв’язуванныза допомогоюформул виконуютьсяперетвореннявиду

,

,

,де

-парне число,то виникає можливістьвтрати коренівзаданого рівняння.Для того щобуникнути можиливої втрати коренів,треба користуватисявказанимиформулами утакому вигляді:

=

=

=

,

-парне число.

Приклад17: Розв’язатирівняння

Враховуючиобласть визначеннялогарифмічноїфункції, квадратногокореня, отримуємосистему , рівносильнузаданому рівнянню:

або

Обидві частинирівняння розділимона х( при цьому небуде втратикоренів, такяк

)та помножимона

(при чому нез’являтьсязайві корені,так як

).Тоді отримаємосистему

.З рівняння

знаходимо

,

,оскільки

.Далі маємо

або

.Значить,

,звідки х=9>1;

,що неможливо.Отримаємовідповідь

.

Аналогічнорівняння виду

,

можна замінитирівносильноюсистемою

або

Для розв’язкурівняння

переходятьтільки до одноїз цих систем( та, яка легше)або розв’язуютьрівняння

,яке може матикорні лишнідля початковогорівняння , іперевіряютькожне з них підстановкоюв початковерівняння.

Приклад18:Розв’язатирівняння

.

Розв’язування: Рівняння

рівносильнозмішаній системі

Рівняннясистеми маєдва корені:

.Число

задовольняєвсім співвідношеннямсистеми , а длячисла

не виконуєтьсяумова

.Таким чиномрівняння

має один корінь- число

.

Зведеннялогарифмічнихрівнянь допростійшихрівнянь, нерівностей,систем.

Рівняннявиду

,

,

рівносильносукупностірівнянь

,де

-всі коренірівняння

.

Приклад19: Розв’язатирівняння

Розв’язування:Позначимо

і проведемозаміну невідомогоу рівнянні

.Отримаємо

Таким чином,рівняння

рівносильносукупностідвох простійшихрівнянь

Тобто, множинавсіх розв’язківрівняння

складаєтьсяз чисел

та 10.

Рівняннявиду

,

,рівносильносукупностірівнянь

,де

-всі коренірівняння

.

Приклад20: Розв’язатирівняння

Розв’язок:Позначимо

і зробимо замінуневідомогоу рівнянні

Тоді

Таким чином,

Тобто, множинавсіх розв’язківрівняння

складаєтьсяз чисел

та

.

Рівняннявиду

рівносильномішаній системі

Приклад21: Розв’язатирівняння

Розв’язок: Данне рівняннярівносильне системі

Тобто, єдинимкорнем рівнянняє число 4.

Рівняннявиду

можна замінитисистемами

або

Рівняннявиду

можна замінитисистемами

або

Рівняннявиду

рівносильнесистемі

,яка в свою чергурівносильнасистемі

Приклад22: Розв’язатирівняння

Розв’язок:Данне рівняннярівносильнесистемі

тобто системі

Розв’яжеморівняння цієїсистеми :

Число -3 незадовольняєумові

.Число (-1) задовольняєвсім умовамсистеми. Тобто,данне рівняннямає єдинийкорінь

.

Розв’язуваннялогарифмічнихрівнянь задопомогоювластивостейлогарифмічноїфункції.

Деякі логарифмічнірівняння вдаєтьсярозв’язатиза допомогоюдослідженняповедінкифункції, якіналежать доправої та лівоїчастини рівняння.Монотонністьфункції частодозволяє визначитичисло кореніврівняння, аіноді і знайтизначення.

Приклад23: Розв’язатирівняння

Розв’язання:Підстановкою(підбором)перевіряємо,що х=5є розв’язкомрівняння. Іншихрозв’язків рівняння немає, так як функція,яка знаходитьсяв лівій частині,зростає , а вправій - спадає,з цього випливає, що графікицих функціїне можуть матибільше одногоперетину, тобтомає один єдинийкорінь.

Означення:Нерівності,де хоча б одназ функційлогарифмічна,називаються логарифмічниминерівностями.

Розв’язаннялогарифмічнихнерівностейпотребує міцьнихзнань з багатьохрозділів алгебри.Потрібно вмітисвідомо користуватисяозначеннямлогарифма,логарифмуваннямта потенціюваннямі, що дуже важливо,пам’ятатипро те, що властивостілогарифмічноїфункції різніпри основах,менших абобільших одиниці.Суттєвим прирозв’язуваннітаких нерівностейє обмеженістьобласті визначеннялогарифмічноїфункції.

1. Нерівністьвиду

   ,де
   ,
   зводиться дорозв’язуваннясистем:

а)

б)

2. Розв’язуваннянерівностейвиду

   де
   ,
   зводиться дорозв’язуваннясистем:

а)

б)

3. Розв’язуваннянерівностейвиду

   ,де
   ,
   зводиться дорозв’язуваннясистем:

а)

б)

4. Розв’язуваннянерівностейвиду

   ,де
   ,
   зводиться дорозв’язуваннясистем:

а)

б)

В розглянутихперходах віднайпростійшоїлогарифмічноїнерівностідо рівносильнихсистем нерівностей,які не містятьзнака логарифма,врахованаобласть допустимихзначень початковоїнерівності.

Розв’язаннябудь-якої нестрогоїлогарифмічноїнерівностівідрізняєтьсявід розв’язаннявідповідноїстрогої логарифмічноїнерівностітільки включенняму множину всіхїї розв’язківмножину кореніввідповідногологарифмічногорівняння.

Приклад24: Розв’язатинерівність

Розв’язання:Користуючисьвластивістюлогарифмічноїфункції, дістаємо,що дана нерівністьрівносильнанерівності

або

Розв’яжемоці нерівності:

-1 1 3 5

Відповідь:

.

Існуютьрізні способиоформленнярозв’язаннялогарифмічноїнерівності.Найбільш поширеніз них - методпереходу дорозв’язаннярівносильнихсовокупностейнерівностейі метод розбиттяОДЗ даної нерівностіна проміжки,на яких розв’язуютьсявідповіднірівносильні(на проміжку,що розглядається)нерівності.По суті, ці методирозв’язуванняоднакові ірозрізняютьсятільки способомоформлення.

Приклад25: Розв’язатинерівність

Розв’язання:

Перший спосіб:Данна нерівністьрівносильнанерівності

,яке рівносильносукупностідвох систем

а)

б)

Розв’язкамисистеми а) єпроміжки

і

.

Розв’язкамисистеми б) єпроміжки

і

.

Об’єднавшиотримані множинирозв’язківсистем сукупності,знаходимомножину всіхрозв’язківпочатковоїнерівності- всі

з чотирьохпроміжків:

,

,

,

.

Другий спосіб:Область допустимихзначень данноїнерівностівизначється

системою

, звідки знаходимоОДЗ нерівності:

,

,

,

а) Розглянемоспочатку даннунерівністьна множині

.На цій множинівона рівносильнанерівності

(так як

),розв’язкомякої на ціймножині є проміжки

,

.

б) На множині

дананерівністьравносильнанерівності

(так як

), розв’язкамиякого на ціймножині є проміжки

і

.

Об’єднавшиотримані розв’язки,отримуємомножину розв’язківпочатковоїнерівності- всі

з чотирьохпроміжків:

Відповідь:

,

,

,

.

При розв’язуваннілогарифмічнихнерівностейслід уникатиперетворень,які можутьпривести довтрати абопояви сторонніхрозв’язків,так як в протилежномувипадку обгрунтуванняправильностівідповіді, якправило, є більшскладною задачею,чим розв’язанняпочатковоїнерівності.Тим самим, посуті, єдинимметодом розв’язуваннялогарифмічнихнерівностейє метод переходудо рівносильнихнерівностей( системам абосукупностям)

Приклад26:Розв’язатинерівність

.

Розв’язок:Областідопустимихзначень нерівності належать всізначення

,які задовільняютьумові

.При цих значенняхневідомого

та

тому початковунерівністьможна записатиу вигляді

,

або

.

Таким чином,початкованерівністьрівносильнасистемі нерівностей:

Розв’язкомпершої нерівностіцієї системиє проміжок

.З цих значень

другій нерівностізадовольняютьтільки ті

,які належатьінтурвалу

.Тобто, множиноювсіх розв’язківпочатковоїнерівностіє інтервал

.

Відповідь:

.

45

Література.

1. Методика викладанняматематики.Під ред. БевзГ.П.-К.: Рад.школа,1974.

2. Методикавикладанняматематики.Практикум./зазаг. ред. доц.Г.П. Бевз, -К.:Вищашкола,1991.

3. Програми зматематикидля 5-9 кл. основноїта 10-11 кл. старшоїшколи.- К, 1994.

4. Груденов Я.І.Психолого-дидактичніоснови методикивикладанняматематики.-М:Педагогіка,1987.

5. Образование:идеалы иценности(историко-теоретическийаспект) Под ред. З.И.Равкина.- М.: ИТПиО РАО,1995.- С. 361.

6. ЛитвиненкоГ.М., ФедченкоЛ.Я., Швець В.О.- «Збірник завданьдля екзаменуз математикина атестат просередню освіту»,частина І.

7. «Алгебра іпочатки аналізу10-11 клас» підредакцієюМ.І.Шкіль, З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук-К: Зодіак-ЕКО,1995р.

8. «Алгебраі початки аналізу 10-11 клас» ^{заредакцієюКолмогороваА.М. та ін}

9. ^{Швець В.О.Навчальні ціліі методика їхформування/ методикавикладанняматематикиі фізики. Респ.наук. метод.зб.} К.:^{Рад. шк., 1992 р.}

10. ^{Особливостіпоглибленоговивчення математикив 11 класі /Навчально-методичнийпосібник / К.:Освіта, 1992 р.}

11. ВавиловВ.В. и др. Задачипо математике.Уравнения инеравенства./ М.: Наука, 1988г.

12. ^{Сліпкань З.І.Психолого-педагогічніоснови навчанняматематики./Київ:"Вища школа".}

13. ^{Ципкін О.Г.,Пінський О.І.Довідник пометодам розв’язаннязадач зматематики./Москва:"Наука",1989 р.}

14. ^{Гайштут О.Г.,ЛитвиненкоГ.М. Розв’язуванняалгебраїчнихзадач./Київ:"Радянськашкола",1991р.}

    
    

2.НАВЧАЛЬНІЦІЛІ ПРИ ВИВЧЕННІТЕМИ ПОКАЗНИКОВАІ ЛОГАРИФМІЧНАФУНКЦІЇ.

Зміст і структуруосвіти визначаютьцілі. Своє вираженнявони завждиприймають увигляді перелікупевних вимог,які характеризуютькінцевий результатпроцесу навченняі виховання.

У програмі зматематикидля середньоїшколи, зокремав розділі «Тематичнеплануваннянавчальногоматеріалу»,зміст освітипо кожному ізкурсів (математика,геометрія,алгебра, алгебраі початки аналізу)розбито нанавчальні теми.Вивчаючи кожнуз них, вчительі учні ставлятьперед собоюпевні цілі.Саме їх ми ібудемо називатинавчальними.

Навчальні цілі-ідеальне уявленнярезультату,який має бутидосягненимв ході вивченнятієї чи іншої навчальноїтеми.

Слід відмітити,що навчальнаціль як ідеальнийрезультатмайбутньоїдіяльностіпроектуєтьсяпри вивченніматематикитакими п’ятьманапрямками.

1. формуваннясвітоглядуі особистостіучня;

2. Формуваннямислення імовної культуриучня;

3. Розвитокприкладнихі політехнічнихвмінь;

4. Розвитокзагальнотрудовихі навчальнихвмінь;

5. вимогидо математичноїпідготовкиучнів.

Кожний із цихнапрямків,очевидно, тежвизначає цілі,які будутьпохідні віднавчальної.Їх у дидакитиціприйнятоподілятина три групи,відповідноназиваючи кожнуз груп: дидактичнаабо освітнямета, виховнамета і розвиваюча.Формуютьсянавчальні цілізавжди свідомоі мають бутинауково-обгрунтованимита прктичнодосяжними.

Визначимонавчальні ціліякі повиннібути поставленніперед вчителемі учнями в процесівивчення теми«Показниковаі логарифмічнафункції»:

1. Учніповинні вмітизображатиграфік показниковоїі логарифмічноїфункцій, повиннізнати основніпоказниковіта логарифмічнітотожності.

2. Учніповинні вмітироз’вязуватитипові вправина використанняосновнихпоказниковихта логарифмічнихтотожностей.Вміти розв’язуватиосновні плказниковіта логарифмічнірівняння, нерівностіта їх системи.

Сформульованіцілі визначаютьпевний рівеньнавчально-пізнавальноїдіяльностіучнів під часвивчення данноїтеми. Це такзваний рівеньвмінь і навичок.У дидактицівиділяютькілька такихрівнів. Будемодотримуватиськласифікаціїрівнів, якадана в посібнику():

І-й рівень - рівеньзнайомства,

ІІ-й рівень -рівень відтворення,

ІІІ-й рівень- рівень умньі навичок,

IV-йрівень - рівеньтворчості.

Учень, якийдосяг І-го рівнянавчально-пізнавальноїдіяльності,здатний впізнатипредмет, об’єкти,процеси, властивості,але тільки заїх виглядомописом, зображенням,характеристикою.Кажуть, що вінволодієзнаннями-знайомствами.

Іноді цізнання умовноподіляють назнання прооб’єктищо вивчаютьсяі оперативнізнання (прозв’язкиміж об’єктами).

Учень, якийдосягнув ІІ-горівня, повиненвміти відтворити(повторити)інформацію,операції, дії,засвоєнні підчас навчання.В цьому випадкукажуть, що вінволодіє знаннями-копіями.Розділяютьбуквальне іреконструктивневідтворення.

На ІІІ-му рівніучень повиненуміти виконуватидії, загальнаметодика іпослідовність(алгоритм), якихвивченні назаняттях, алезміст і умовиїх виконаннянові.

Успішнонавчаючисьучень можедосягнути IV-горівня. Тоді вінздатний самостійноорієнтуватисьв нових, нестандартнихситуаціях,складати програмудій і виконуватиїх, пропонуватинові, невідомійому ранішерозв’язання.Його діяльністьносить пошуковийхарактер.

Визначеніцілі, очевидно,будуть цілямиІІІ-го рівня,саме того, якийповинен бутидосгнутий всімаучнями в процесівивчення теми«Показниковаі логарифмічнафункція». Протепроцесзасвоєнняпідпорядкованийієрархії рівнівдіяльності:учень не можеперейти наІІІ-й рівень,минувши рівніІ і ІІ. Тому, крімвизначенихцілей ІІІ-горівня, повиннібути сформульованіцілі І-го і ІІ-горівнів. Вонибезпосердньопроектуютьсявже виділенимицілями ІІІ-горівня. Так, внашому випадкуще дві цілі:«Учні повиннізнати означенняпоказниковоїі логарифмічноїфункцій», «Учніповинні знатиі вміти доводитивластивостілогарифмічноїта показниковоїфункцій». Щодоцілей IV-горівня, то їхвизначитипотрібно, алевідносити докласу дидактичнихне варто. Оскількидосягнути їхвсі учні класуне можуть. Правильнобуде, якщо віднестиїх до класурозвиваючих.

Підкоригувавшиформулюваннячотирьох визначенихцілей та встановившивідповіднодо принципуієрархії порядокїх досягнення,матимемо:

Тема: «Показниковата логарифмічнафункції».

(20 (30)год)

Мета:Вивчивши темуучні повиннізнати означенняпоказниковоїта логарифмічноїфункції;

вміти доводитиїх властивості,будувати графікиданних функції,розв’язувативправи навикористанняосновних властивостейданих функційз достатнімобгрунтуваннямв ході розв’язання.

Теоретичнийматеріал темине весь вивчаєтьсяна одному йтому ж рівні.Певна йогочастина вивчаєтьсяна рівні знайомства,інша на рівнізнань чи уміньі навичок. Длятого, щоб знатина якому рівніяка частинаматеріалувивчається(щоб виділитиголовне і знатидругорядне)здійснюютьрозбиття всьогоматеріалу наелементи знань.

Під елементомзнань розуміютьлогічно завершенупорцію інформації.В математицікожному елементузнань встановлюютьйого статус: поняття - П; факт-Ф; твердження-Т; ознака -О; метод-М; спосіб дії-СД.

Розбиттянавчальногоматеріалу наелементи знаньі побудоваграфічної схемивзаємозв’язкуміж ними називаєтьсялогіко-дидактичниманалізом навчальногоматеріалу.

Проведемологіко-дидактичнийаналіз прививченні теми«Показниковафункція» зановим підручником«Алгебра іпочатки аналізу10-11кл» Шкіль М.І.,Слєпкань З.І.,Дубінчук О.С.

47

И в заключениехотелось быподелитьсясвоими впечатлениямиот новой формыобучения - спомощью компьютера.Конечно, нельзявсе сводитьк нему, - и количествочасов, проведенныхза экраном, неможет служитькритериемкачества обучения,как это пытаютсяпредставитьв некоторыхчастных школах.Но несомненноодно - компьютеротличный помощникдля организациииндивидуальногообучения. Ведькак толькопедагог перестаетвидеть в ученикепросто сосуд,который нужнонаполнитьзнаниями иумениями, емуприходитсяискать индивидуальныйподход к каждому,подстраиватьсяпод его интересы,темп усвоенияматериала,личные особенностипсихики. Например,в некоторыхшколах каждыйученик можетвыбрать длясебя не простоинтересующийего курс, нодаже отдельныепредметы. Компьютерже, как известно,выполняет тупрограмму,которая в негозаложена, ипредоставляетогромный выбортем для изучения.Современныеметоды представленияинформациив компьютерахвключают в себяне просто текст,но и картинки,видео, звуковыефрагменты. Этопозволяетзадействоватьпрактическивсе органычувств, используемыхдля восприятияинформации,при этом происходитее дублированиепо различнымканалам восприятия,что резко повышаетскорость икачество усвоенияматериала.Компьютерныйучебник нельзяуже сравниватьс книгой, какэто было всегонесколько летназад - сейчасмногие обучающиепрограммыневозможноотличить отигр, и для того,чтобы победитьв такой игре,понадобятсязнания, которыеребенку труднопринять какнеобходимыеему именносейчас - ведьвсем нам свойственнооткладывать"на потом"решение многихпроблем. А такойэлемент современныхкомпьютерныхдокументов,как гипертекстоваяссылка позволяетпри необходимостиобратитьсяв любое местодокумента задополнительнойинформацией,и в то же времяпри повторномизучении неперегружаетисходный текстдокумента.Кстати, по принципугипертекстаустроена всемирнаяинформационнаясеть Internet, с помощьюкоторой ужесейчас проводитсятак называемое"дистанционноеобучение" -когда профессоракрупнейшихуниверситетоввыступают слекциями иотвечают навопросы непривычнойстуденческойаудитории, аперед теми, ктов данный моментподключен ких узлу сети.Несмотря натишину и видимоеотсутствиеслушателейпоследних можетбыть не меньше,чем зрителейу телеэкрана,но в отличиеот книги илителепередачисохраняетсяобратная связьмежду преподавателеми учениками.Это - реальностьсегодняшнегодня. Интересно,что нас (и нашихдетей) ждет внедалекомтретьем тысячелетии.

Образование:идеалы иценности(историко-теоретическийаспект) Под ред. З.И.Равкина.- М.: ИТПиО РАО,1995.- С. 361.

^План.

^{Вступначастина.}

^{І. Загальнатеорія рівнянь:}

1. ^{Рівнянняосновні означення,твердження.}

2. ^{Класифікаціяі способирозв’язанняпоказниковихрівнянь танерівностей.}

3. ^{Класифікаціяі способирозв’язаннялогарифмічнихрівнянь танерівностей.}

^{ІІ. Місцепоказниковихі логарифмічнихрівнянь танерівностейв шкільномукурсі алгебри:}

1. ^{Місце в діючійпрограмі і впроекті новоїпрограми.}

2. ^{Навчальніцілі при вивченні тем показниковаі логарифмічнафункції.}

3. ^{Аналіз діючихпідручниківта тестів.}

^{ІІІ. Методиканавчання розв’язанняпоказниковихі логарифмічних рівнянь танерівностей.}

1. ^{Методичніособливості навчання.}

2. ^{Диференційованасистема вправ:}

^{а) показниковірівняння інерівності;}

^{б) логарифмічнірівняння інерівності;}

^{Використаннянових інформаційнихтехнологіїпри вивченнітем показниковіі логарифмічнірівняння танерівності.}

^{ІV.Висновки.}

^{V.Списоквикористаноїлітератури.}

2

^{3. Аналіздіючих підручниківта тестів.}

Порівняльнахарактеристикатем.

Останнійчас тема «Показниковаі логарифмічнафункція» вивчаєтьсяв середнійшколі за підручникомпід редакцієюА.Н.Колмогорова.На сьогоднішнійдень з’явивсяновий підручникавторами якогоє М.І.Шкіль, З.І. Слєпкань,О.С. Дубінчук,в якому даннатема вивчаєтьсядещо по іншому.Проведемопорівняльнухарактеристикувивчення данноїтеми в згаданихпідручниках.

Тема:«Показниковафункція».

Підручникпід редакцієюА.Н.Колмогорова«Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.»	Підручникпід редакцієюМ.І.Шкіль,З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук «Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.»
§1Показниковафункція n.1.Степіньз ірраціональнимпоказником Фіксуютьдодатнє числоа і ставлятькожному числу число .Цим самимотримуютьчислову функцію ,визначенуна множеніQраціональнихчисел. Зазначається,що при а=1 функція стала, так як для будь-якогораціональногочисла. Будуютьсяграфіки функцій і і порівнюються.Далі описуєтьсяяк визначаєтьсячисло для ірраціональних при а>1,в загальнихрисах. Аналогічноописуєтьсявизначеннячисла ,для .Крім цьоговважають, що для будь-якого і для	§1Поняття показниковоїфункції. n.1. Означення іграфік показниковоїфункції. Даєтьсяозначення:Функція ,де а>0, називаєтьсяпоказниковою(з основою а). Вивченняпоказниковоїфункції починаєтьсяз функції ,потім розглядається ,будуютьсяїхні графікиі порівнюються.Далі розглядаєтьсяфункція .Порівнюютьсяграфіки функції і .З графікивзчитуютьсяспільні властивості.Далі порівнюютьсяграфіки функцій ( )і ( ).З графіківзчитуютьсявластивостіфункцій.
n.2.Властивостіпоказниковоїфункції. Означення:Функція, заданаформулою (де a>0, ),називаєтьсяпоказниковоюз основою а.Формулюютьсяосновні властивості: Областьвизначеннямножина Rдійснихчисел. Областьзначень множинаR+ всіхдодатніх дійснихчисел. При функція зростаєна всій числовійпрямій; при функція спадаєна множиніR. Прибудь-якихдійсних значенняхх і у справедливірівності ; .	n.2.Загальнівластивостіпоказниковоїфункції. D(y)=R якщоx=0,показниковафункція Зазначенівище властивостідоводяться,розглядаютьсявсі можливівипадки. Далінаводятьсявластивостібез доведення. якщо і то . якщо і ,то якеб не булододатнє числоN,існує, і до тогож єдине, такезначення х,що
	n.3.Властивостіграфіка показниковоїфункції. Графікрозміщенийу верхнійпівплощині,тобто там деординатидодатні. Будь-якапряма, паралельнаосі 0Y,перетинаєграфік і дотого ж тількив одній точці. Кривапроходитьчерез точку(0;1), тобто колих=0, функціячисельнодорівнює 1. Здвох точокграфіка вищерозміщената , яка лежитьправіше, тобтов міру просуваннязліва на правовін піднімається вгору. Награфіку є точки,які лежатьвище будь-якоїпрямої, паралельноїосі 0х. На графікує точки, щолежать нижчебудь-якоїпрямої, проведеноїу верхніїпівплощиніпаралельноосі Х. Будь-якапряма, що паралельнаосі Х і лежитьу верхнійпівплощині,перетинаєграфік, і причому в однійточці.
	n.4.Прикладизастосуваннявластивостейпоказниковоїфункції. Вцьому пунктінаводятьсяприклади вправна показниковуфункцію іваріанти їхрозв’язування.
	n.5.Використанняпоказниковоїфункції підчас вивченняявищ навколишньогосередовища Задачапро радіоактивнийрозпад. Задачапро змінуатмосферноготиску. Задачапро розмноженнябактерій. Задачапро вакуумування. Задачапро прирістдеревини. Всізапропонованізадачі наводятьсяз розв’язанням.
	n.6.Основні показниковітотожності. Длябудь-яких дійснихзначень х іу справедливірівності: ;
§2Розв’язуванняпоказниковихрівнянь інерівностей. n.1.Рівняння. Розглядаєтьсянайпростішепоказниковерівняння , і .Кажуть, що увипадку або рівняння немає розв’язків. Нехай .Функція на проміжку зростає при (спадає при )і набуваєдодатних значень.Застосувавшитеорему прокорінь, дістаємо,що рівняння при будь-якому , ,має єдинийкорінь. Щобйого знайтитреба податиу вигляді .Очевидно, що є розв’язкомрівняння , демонструєтьсяна графікуфункції.Розглядається4 приклади.	§2Розв’язуванняпоказниковихрівнянь інерівностей. n.1.Показниковірівняння.Показниковимназиваютьрівняння, вяких невідомевходить лишедо показниківстепенів присталих основах.Найпростішимрівнянням є і .Говорять, щозагальногометоду розв’язування показниковихрівнянь немає.Виділяютькілька типівпоказниковихрівнянь інаводять схеми(приклади) їхрозв’язання. Найпоширенішийспосіб: зведенняобох частихпоказниковогорівняння доспільної основи.Приклади. Спеціальніспособи розв’язання:зведення доспільногопоказника. А такожпоказниковерівнянняперетворюютьвідомимиметодами: заміни,зведення доквадратногорівняння, апотім вжевикористовуютьпевну схему.
n.2.Нерівностіі системирівнянь. Розв’язаннянайпростійшихпоказниковихпоказниковихнерівностейгрунтуєтьсяна відомійвластивостіфункції ;ця функціязростає, якщо ,і спадає, якщо .Розглядаютьсяприклади.	n.2.Розв’язуваннянерівностей,які містятьпоказниковуфункцію. Найпростішимиє нерівностівиду .Під час розв’язуваннявикористовуютьвластивістьмонотонностіпоказниковоїфункції. Ікажуть, що для розв’язуванняданої нерівностізведетьсядо розв’язування нерівності ,а для зводитьсядо розв’язуваннянерівності .Прикладирозв’язаннянерівностей.

Тема:«Логарифмічнафункція».

Підручникпід редакцієюА.Н.Колмогорова«Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.»	Підручникпід редакцієюМ.І.Шкіль,З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук «Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.»
§1Логарифми іїх властивості.	§1Логарифми.
n.1.Логарифм. Даэтьсяозначення:Логарифмомчисла bза основоюа називаєтьсяпоказник степеня,до якого слідпіднести основуа, щоб отриматичисло b. Тутже зазначається,що формулу ( де b>0, a 1)називаютьосновноюлогарифмічноютотожністю.	n.1.Поняття логарифма. Даєтьсяозначення:Корінь рівняння ,де a>0, a 1,називаютьлогарифмомчисла Nза основоюа. Логарифмомчисла Nза основоюа (a>0, a 1)називаєтьсяпоказник степенях, до якого требапіднести а,щоб дістатичисло N. Далінаводитьсялогарифмічнарівність і показниковарівність і зазначається,що ці рівностівизначаютьодне і тежспіввідношення.Наводятьсятри основнізадачі: Знайтичисло Nза даним йогологарифмомbі за основоюа. Знайтиоснову а заданим числомNі його логарифмомb. Знайтилогарифм відданого числаN заданною основоюа. Далінаводятьприклади.
	n.2.Основна логарифмічнатотожність. Розглядаєтьсяпоказникова рівність (1).За означеннямлогарифма (2), (3).Рівність (3)називаєтьсяосновноюлогарифмічноютотожністю.
n.2.Основні властивостілогарифма. Длябудь-яких a>0(a№1) ібудь-якихдодатніх хі у виконуютьсярівності Далінаводитьсяформула переходувід однієїоснови логарифмадо іншої Далідається означеннядесятковогологарифмана описовомурівні: Десятковимназиваєтьсялогарифм заосновою10 іпозначається .Але більшконкретнона десятковихлогарифмахне зупиняються.	n.3.Основні властивостілогарифма. Т.1.Логарифм добуткудвох додатнихмножниківдорівнює суміїх логарифмів,тобто де Т.2.Логарифм часткидвох додатнихчисел (дробу)дорівнює різницілогарифмівділеного ідільника(чисельникаі знаменника),тобто ,де Наслідок:Логарифм дробу,чисельникякого дорівнюєодиниці, дорівнюєлогарифмузнаменникавзятого зпротилежнимзнаком. Т.3.Логарифм степенядодатногочисла дорівнюєпоказникустепеня, помноженомуна логарифмоснови цьогостепеня, тобто ,де m-будь-яке число, Т.4.Логарифм кореняз додатногочисла дорівнюєлогарифмупідкореневоговиразу, поділеногона показниккореня, тобто 5. Всівластивостідоводяться.
	n.4.Деякі важливітотожності,що містятьлогарифми. Всітотожностідоводяться.
	n.5.Потенціювання Перетворенняза допомогоюякого за данимлогарифмомчисла (виразу)визначаютьсаме число(вираз), називаютьпотенціюванням.
	n.6.Перехід відоднієї основилогарифмадо іншої. Вводитьсяформула
	n.7.Натуральнілогарифми зосновою еназиваютьнатуральним,або неперовим.
§2Логарифмічнафункція Функціязадана формулою ,називаєтьсялогарифмічноюз основою а. Перечисляютьосновні властивостіцієї функції.Властивостіаналогічнідо перших трьохвластивостейлогарифмічноїфункції наведеніу підручнику Шкіля М.І. Далізазначається,що графікипоказниковоїі логарифмічної,що мають однаковуоснову, симетричнівідносно прямоїу=х. Потімрозглядаютьсяприкладизастосуваннявластивостейлогарифмічноїфункції. Нацьому вивченнятеми логарифмічнафункція впідручникупід редакцієюКолмогоровазакінчується.	§2Логарифмічнафункція n.1.Поняття логарифмічноїфункції: Функцію ,називаютьлогарифмічноюфункцією заосновою а (a>0,a№1).Зазначається,що графік функції можна дістатиз графіка функції ,симетричновідобразившиостанній відноснопрямої у=х. n.2.Властивостілогарифмічноїфункції. Областьвизначеннялогарифмічноїфункції множинавсіх додатніхчисел. Областьзначень- множинавсіх дійснихчисел. Логарифмічнафункція навсій областівизначенняR+ зростає,якщо a>1 іспадає, якщо0 Длябудь-якогоa>0 (a№1)виконуютьсярівності ,якщо ,якщо длябудь-якого і будь-якогоpОR Далірозглядаютьсявластивостідля випадків і ;властивостілогарифмівчисел за основою ;Властивостілогарифмівчисел за основою . Наводятьсяприклади вправта їх розв’язання.
§3Розв’язуваннялогарифмічнихрівнянь інерівностей. Найпростішелогарифмічнерівняння .Логарифмічнафункція зростає(або спадає)на проміжку і набуває нацьому проміжкувсіх дійснихзначень (демонструєтьсяна графіку).За теоремоюпро коріньзвідси випливає,що для будь-якого данерівняння маєі притому тількиодин розв’язок.З означеннялогарифмачисла випливає,що іє таким розв’язком.Приклади.	§3Розв’язуваннялогарифмічнихрівнянь інерівностей. n.1.Логарифмічнірівняння.Прикладирозв’язуваннялогарифмічнихрівнянь. Логарифмічниминазиваютьрівняння, якімістять зміннупід знакомлогарифма.Найпростішерівняння де і , -будь-яке число.Воно має єдинийрозв’язок ,який можнадістати задопомогоюпотенціювання.Розв’язуваннярівняння (1)рівносильносистемі ,інакше кажучірінвосильнекожній іззмішаних систем , . Тобтодля розв’язуваннярівняння (1)досить розв’язатирвняння і його розв’язкипідставитив системунерівностей ,яка задає областьвизначеннярівняння.Говоритьсяі про можливістьвтрати кореніві появі стороніхкоренів тарозглядаютьце на прикладі.Розглядаютьсяприклади розв’язуваннярівняньрізними способами(потенціювання,логарифмування). Розглядаютьсятакож показниково-логарифмічнірівнняня.
Логарифмічнінерівності та системилогарифмічнихрівнянь інерівностейрозглядаютьсятільки наприкладах,і нічого проних не говориться.	n.2.Розв’язуваннясистем логарифмічнихрівняннь. Прирозв’язуваннісистем логарифмічнихрівняньвикористовуютьсяті самі способи,що й при розв’язуванніалгебраїчнихсистем.
	n.3.Логарифмічнінерівності. Логарифмічнінерівностівиду (1). Кажуть,що якщо ,то (1) рівносильнасистемі аякщо ,то (1) рівносильнасистемі . Розв’язуютьсяприклади.

Провівшипорівняльнухарактеристикувивчення темпоказниковаі логарифмічнафункції в обохпідручниках,можна зробитислідуючи висновки:

1. В обохпідручникахтема «Показниковафункція» і«Логарифмічнафункція» вивчаютьсяна основі однихі тих понять.

2. Понятійнийапарат більшширший в новомупідручникупід редакцієюМ.І.Шкіль, З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук «Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.». В підручникупід редакцієюА.Н.Колмогорова«Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.» понятійнийапарат дужевузький. Томудля глибокогоі досконалоговивчення заданихтем бажановикористовуватиновий підручник.

3. Більшстрогий викладтеорії спостерігаєтьсяв підручникупід редакцієюМ.І.Шкіль, З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук «Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.». В ньомудоводятьсявсі властивостіі розглядаютьсявсі можливівипадки здоведенням.В підручникуА.Н. Колмогоровау доведеннявластивостейне дуже заглиблюються.Детально доводятьсялише базовівластивості.Все інше даєтьсябез доведення.

4. Розв’язуванняпоказникових,логарифмічнихрівнянь інерівностейбільш широкоі доступновикладено впідручникупід редакцієюМ.І.Шкіль, З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук «Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.» томуйого бажановикористовуватидля більшпоглибленоговивчення даноїтеми.

Впідручникупід редакцієюМ.І.Шкіль, З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук «Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.» властивостіі теореми доводятьсядетальніше,тому він можебути використанийдля самостійноговивчення темучнями.

^{ІІ. Місцепоказниковихі логарифмічнихрівнянь танерівностейв шкільномукурсі алгебри.}

^{1.Місце вдіючій програміі в проектінової програми.}

^{Провідноюідеєю організаціїпроцесу вивченняматематикиу середніхнавчально-виховнихзакладах єрівнева і профільнадиференціація.На цій основістворюютьсяумови для йогогуманізації,демократизаціїта реалізаціїкультуротворчоїфункції національноїшколи. Програмивизначаютьбазовий змістматематичноїосвіти в основнійі старшій школіз урахуваннямкількості годинна математику,передбаченихбазовим таіншими навчальнимипланами і діючимипідручникамита навчальнимипосібниками.}

^{Програмипередбачаютьможливістьреалізаціїбазової математичноїосвіти з різнимступенемобгрунтованостіі повноти наосновному(обов’язковомудля всіхучнів) та підвищеному(для тих, хтомає здібностіта інтерес доматематики)рівнях, яківизначаютьмінімальнийі максимальнийобсяги навчальногоматеріалу умасовій школі.Їх засвоєння- необхіднаумова для одержанняучнем відповіднопозитивноїта відмінноїоцінок з математики.}

^{Вивченнятеоретичногоматеріалу наосновномурівні, як правило,не потребуєвідтвореньдоведень іобгрунтувань,але бажанняі спроби роботице необхідновсіляко підтримуватита заохочувати,як і спробирозв’язуватизадачі і вправискладніші, ніжобов’язковідля всіх учнів.}

^{Зрозуміло,що підвищеннийрівень засвоєнняучнями теоретичногоматеріалу,оволодінняпрактичнимиуміннями інавичкамирозв’язування задач і вправхарактеризуєтьсядосить високимрівнем обгрунтованостіі пояснення.Учні, які претендуютьна відміннуоцінку з математики,повинні вмітирозв’язуватипрактично весьзадачний матеріалпідручникаабо навчальногопосібника, крімвключеногодо додатковихрозділів абопозначеногозірочками.}

^{Показниковій логарифмічнірівняння танерівностівивчаютьсяв 11 класі загальноосвітньоїшколі у розділі«Показниковаі логарифмічна функції». Запідручником«Алгебра іпочатки аналізу10-11 кл» за редакцієюКолмогороваА.М. та ін. Навивчення розділу« Показникова,логарифмічнаі степеневафункції» відводиться28 годин. Цей розділмістить в собітакі теми:Узагальненепоняття степеня.Поняття простепінь зірраціональнимпоказником,розв’язуванняірраціональнихрівнянь і їхсистем. Показниковафункція, їївластивостіі графік. Основніпоказниковітотожності:}

^{, .Тотожні перетворенняпоказниковихвиразів. Розв’язуванняпоказниковихрівнянь, нерівностейі систем.}

^{Поняттяпро оберненуфункцію. Логарифмічнафункція, їївластивостіі графік. Основнілогарифмічнітотожності.}

^,

^{Тотожніперетвореннялогарифмічнихвиразів. Розв’язування логарифмічнихрівнянь, нерівностейі систем. Похіднапоказниковоїфункції. Числоеі натуральнийлогарифм. Похіднастепеневоїфункції. Диференціальнерівняннярадіоактивногорозпаду.}

^{За підручником} під редакцієюМ.І.Шкіль, З.І.Слєпкань,О.С.Дубінчук «Алгебра іпочатки аналізуу 10-11 кл.» тема«Показниковаі логарифмічнафункція» вивчаєтьсяв школі 20(30) годин.В цій темі вичається: Поняття простепінь зірраціональнимпоказником.^{Показниковафункція, їїграфік і властивості.Розв’язуванняпоказниковихрівнянь, нерівностейта їх систем.Логарифм числа.Основні властивостілогарифмів.Розв’язуваннялогарифмічнихрівнянь, нерівностейта їх систем.}

У процесі вивченняцього розділуучні систематизують,узагальнюютьі поглиблюютьзнання простепені кореніта їх властивості,засвоюютьпоняття показниковоїі логарифмічноїфункції, їхвластивостіта графіки,навички тавміння виконуватитотожні перетвореннявиразів показниковоїі логарифмічноїфункції, розв’язуватипоказниковіі логарифмічнірівняння йнерівностіта їх системи,здійснюватиобчисленнячислових виразівз логарифмамиі степенями.

Учні повиннінавчитисясхематичнозображатиграфіки показниковихі логарифмічнихфункцій прирізних основах,пам’ятатиосновні властивостіцих функційта вміти використовуватиїх при розв’язанніпоказниковихі логарифмічнихрівнянь і нерівностейта їх систем.Бажано ознайьмитиучнів на факультативнихчи гуртковихзаняттях ізсхематичнимзображеннямграфіків показниковихта логарифмічнихфункцій з модулями.

У процесірозв’язуванняпоказниковихі логарифмічнихрівнянь та їхсистем корисносистематизуватизнання учнівпро рівносильністьрівнянь і систем,виділити операції,які можутьпорушуватирівносильність.Слід звернутиувагу на причинивиникненнясторонніхкоренів прирозв’язуваннірівнянь і взв’язкуз цим на необхідністьперевіркизнайденихрозв’язків,а також на причинивтрати коренів.

Засвоенняучнями новихзнань при вивченнірозділу базуєтьсяна раніше вивченномуматеріалі простепені й корені,розв’язаннісистеми алгеьраїчнихрівнянь інерівностей,тощо. Бажано,щоб актуальніпитання ранішевивченногоматеріалугрунтовносистематизувалисяза рахунокчасу, виділеногона узагальнюючеповторення.При плануванніузагальнюючогоповторюванняце слід урахувати,і до повторенногоматеріалубезпотребиможна не повертатися.

Зона1

Зона2

Зона1

Зона2

---

Overview

Лист1
Лист2

---

Sheet 1: Лист1

Тематичний план вивчення теми " Показникова функція".
№	Дата	Зміст	в класі			дома
п/п		уроку	А.О.З	Власт.	Задачі	Задачі	Питання	Повторити
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1		Означення і графік показникової функції; властивості показникової функції.	Р.3. §3, п.1,2	-	1,2,3,4	3,11,12	Р.4. 1, 2, 3, 4, 5	-
2		Властивості графіка показникової функції; приклади застосування властивостей показникової функції. Розв'язування вправ. С/р.	Р.4. §1, §2	-	2, 7(а,б), 8, 9	7(б, г), 18, 22, 23	Р.4. 6, 7, 8, 9, 14	Р.3. §3, п.1, 2
3		Основні показникові тотожності. Розв'язування вправ	Р.3. §3, п.1,2,3	-	15(а, в, д), 16(а, в) 13	15(б, г, е), 16(б, г) 24	28	-
4		Розв'язування вправ; самостійна робота	-	-	26, 20, 19.	25, 26	-	-
5		Показникові рівняння	Р.4. §1		1(2, 3, 5, 7, 10,	1(1, 4, 6, 8, 9, 11)	Р.4 29, 30, 31	Р.4. §1
6		Показникові рівняння. Розв'язування вправ. Тести.	Р.4. §1		1(12, 15, 17, 19, 20, 24, 28)	1(13, 14, 16, 18, 21, 25)	Р.4 32, 33, 34	-
7		Розв'язування вправ; самостійна робота	-		1(22, 29, 30, 32)	1( 23, 26, 27, 31)	-	-
8		Розв'язування нерівностей, які містять показникову функцію.	Р.4. §1 п.1, 2	-	2(2, 4, 6, 8, 9)	2(1, 3, 5, 7, 10)	Р.4 35, 36.
9		Розв'язування вправ	-	-	2(13, 15, 17, 19, 21, 22), 1(32,33)	2(11, 12, 14, 16, 18, 20)	-
10		Розв'язування вправ, самостійна робота	-	-	1(39, 41), 2( 24, 26, 28, 31)	1(40, 42), 2(23, 25, 27)	-

---

Sheet 2: Лист2

Тематичний план вивчення теми " Логарифмічна функція".
№	Дата	Зміст	в класі			дома
п/п		уроку	А.О.З	Власт.	Задачі	Задачі	Питання	Повторити
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1		Поняття логарифма; Основна логарифмічна тотожність	Р.4 §1	-	1(3,4), 2(1, 2, 3, 4) 5(1, 3, 5)	1(1, 2, 5, 6), 4(2, 4), 5(2, 4, 6)	1, 2, 3, 8, 7	Обернена функція
2		Основні властивості логарифмів	Р.5 §1	Т.1, 2, 3, 4	11(1), 16(1), 27	11(2), 16(2)	9, 11, 12	-
3		Розв'язування вправ, самостійна робота	Р.5 §1	-	8, 28	сусідній варіант с/р	-	-
4		Важливі тотожності, що містять логарифми; потенціювання; с/р.	-	-	9, 5, 31(1, 3)	31( 2, 4)	14, 15
5		Перехід від однієї основи логарифмів до іншої; натуральні логарифми. С/р.	Р.5 §1	-	39(1, 2), 38, 36(1, 2, 3)	39(3, 4), 36(5, 6, 7, 8, 9)	-	Р.4. §1, п.1, 2
6		Поняття логарифмічної функції	Р.4 §1		45(1, 3, 5), 49(1)	45(2, 4), 49(2)	15, 19, 20	Р.4. §1
7		Розв'язування вправ			45(1, 3, 5), 49	45(2, 4), 49(2)	15, 19, 20	Р.4. §1
8 9		Властивості логарифмічної функції	Р.4 §1		40(1, 3), 48(1)	40(2, 4), 48(2)	17, 18, 21, 22	-
10		Розв'язування вправ; самостійна робота			48(3, 4), 46(1, 2)	46(3, 4), сусідній варіант с/р	23, 24	Р.5 §1
11		Логарифмічні рівняння. Приклади розв'язування логарифмічних рівнянь.	Р.5 §1, §2	-	52(2, 4, 6, 8)	52(1, 3, 5, 7), 53(1)	26, 27, 28
12		Розв'язування вправ.	Р.5 §1, §2	-	52(9, 11, 13), 53( 2, 4, 6, 8, 10)	52(10, 12, 14), 53(3, 7, 9, 14, 15)	29, 30, 31.
13		Розв'язування вправ. Самостійна робота.	-	-	54(2, 4, 5, 11, 19, 22)	54(1, 3, 7, 8, 9, 10, 17, 20)	-	-
14		Розв'язування систем логарифмічних рівнянь.	Р.5 §3, п.1	-	55(1, 3), 56(2, 3)	55(2, 4), 56(1, 4), 57(1)	32
15		Розв'язування вправ.Самостійна робота.	-	-	57(2, 3, 5, 6, 8, 11, )	57(4, 7, 9, 10, 12)	-
16		Логарифмічні нерівності.	Р.5 §1, §2	-	58(1, 3, 5, 8, 10, 11)	58(2, 4, 6, 7, 9, 12), 59(2)	33, 34
17		Розв'язування вправ.	-	-	59(1, 4, 5, 8, 10, 12), 60(2, 3, 6)	59(3, 6, 7,9), 60(1, 4, 5,7)	-
18		Розв'язування вправ. Самостійна робота.	-	-	60(9, 10, 13, 16), 54(23, 6, 12)	54(13, 14, 15, 16), 60(11, 12, 14, 15).	-

^{ІІІ. Методиканавчання розв’язанняпоказниковихі логарифмічних рівнянь танерівностей.}

1.^{Методичніособливості навчання.}

Показниковірівняння.

Приступаючидо розв’язуваннянайпростійшихпоказниковихрівнянь, доцільновписати надовідковійтаблиці абона дошці основніформули дійіз степенями.

Спочаткудоцільно розглянутинайпростішірівняння виду

.Записуючи правучастину рівнянняяк степіньчисоа 2, дістаємо .Оскільки основиданих степеніврівні і самістепені рівні,то маємо змогуприрівнятипоказники: .Тоді дістаємо:

Звертаємоувагу учнівна те, що записанівище формули,якщо їх застосовуватизліво направо,дають змогузамість двохстепенів записатиодин степінь.Отже, якщов лівій і правійчастинах даногопоказниковогорівняння тількидобутки, частки,степені абокорені, то можнаце рівняннязавжди звестидо найпростійшогорівняння виду

,

.Цей орієнтирбажано занотуватив зошитах учнів,щоб вони в подальшомувільно пізнавалитакі показниковірівняння, якібезпосередньозводяться донайпростійших.

Приклад:Розв’язатирівняння

.

Розв’язання:Звертаємо увагуучнів на те, щов лівій і правійчастинах цьогорівняння єдобуток, частка,степінь абокорінь із степенячисла 3. Отже,це рівнянняможна безпосередньозвести донайпростішого.Тобто післяперетвореннястепенів дістаємо:

Звідси

.

Розв’язавшице рівняннядістаємо:

.

Після відпрацюваннярозв’язаннянайпростійшихрівнянь бажанозапропонуватиучням загальнусхему пошукурозв’язкускладнішихпоказниковихрівнянь. Цясхема можебути, наприклад,такою:

1. Звільняємосьвід числовихдоданків упоказникахстепенів.

2. Пробуємо всістепені звестидо однієї основи.

3. Якщо не вдаєтьсязвести до однієїоснови, то пробуємозвести до двохоснов так, щобдістати одноріднерівняння.

4. В іншихвипадкахвикористовуємоспеціальніприйоми розв’язування:а) використовуємомонотонністьпоказниковоїфункції; б) оцінюємомножину значеньфункції, у лівійі правій частинірівняння і т.д.

Приклад: Розв’язатирівняння

.

Розв’язання:Звільнившисьвід числовихдоданків упоказниках,дістаємо:

Як бачимо,звести всістепені дооднієї основине вдається,тому пробуємозвести всістепені до двохоснов. Помічаємо,що

,а .Тоді наше рівнянняперетворюєтьсяв таке:

Звертаємоувагу учнівна те, що всічлени цьогорівняння маютьоднаковийсумарний степінь-

.Згадуємо означенняі ідею розв’язкуоднорідногорівняння.(Рівняння, всічлени якогомають однаковийсумарний степінь,називаєтьсяоднорідним.Розв’язуєтьсяодноріднерівняння діленнямна найвищийстепінь.)

Після відпрацюваннязазначнихприйоміврозв’язування показниковихрівняньдоцільно звернутиувагу учнівна те, що длярозв’язуваннядеяких показниковихрівнянь доречновикористовуватитеорему прокорінь. Нагадаємоцю теорему:

Якщофункція

зростає (абоспадає) на деякомупроміжку, торівняння

не може матибільше ніж одинкорінь у цьомупроміжку.

Приклад: Розв’язатирівняння

Розв’язання:Зведемо церівняння довиду

,

-зростаюча абоспадна функція.Для цього поділимообидві частиницього рівнянняна

,дістаємо:

Але

і спадні функції,отже, і їх сума теж спаднафункція. Тодіза теоремоюпро корінь данерівняння можемати тількиодин корінь.Безпосередньоюпідстановкоюперевіряємо,що є коренем даногорівняння. Іншихкоренів рівнянняне має.

Відповідь:

.

Доцільновиділити дляучнів загальнуідею виконаногорозв’язування,наприклад, утакому вигляді:

1. За допомогоюпідстановкиконкретнихзначень змінноїзнаходимо одинабо кількакоренів даногорівняння.

2. Доводимо, щодане рівнянняінших коренівне має.

При доведеннітого, що рівнянняне має іншихкоренів, крімзнайдених,поряд з теоремоюпро коріньінколи використовуєтьсятака властивість:якщо на деякіймножині

функція зростає, а функція спадає, то рівняння не може матина множині більш ніж одинкорінь.

Приклад: Розв’язатирівняння

.

Розв’язання:Підбором знаходимо,що

-корінь рівняння.

Доведемо,що інших коренівце рівнянняне має. Рівнянняне може мативід’ємнихкоренів, бо при

ліва частина - додатнє число,а права частина- від’ємне.При функція спадає,а функція зростає як сумадвох зростаючихфункцій. Отжеколи ,рівняння маєтільки одинкорінь .

Відповідь:

.

Розв’язуючипоказниковірівняння, можнавикористовуватиті загальніприйоми, яківикористовувалисьпри розв’язуванніінших типіврівнянь. Наприклад,розв’язуючирівняння виду

,можна розкласти на множникиі використатиумову рівностідобутку нулю.

Показниковінерівності.

При розв’язуваннінайпростішихпоказниковихнерівностей,що дуже доступновикладено впідручнику,доцільно звернутиувагу учнівна те, що інодіпотрібен спеціальнийаналіз дляоцінки основипоказниковоїфункції.

Приклад: Розв’язатинерівність

Розв’язання:Оскільки

(очевидно, що ,отже, ,крім того, ),то показниковафункція є спадною. Припереході вданій нерівностідо аргументузнак нерівностізмінюєтьсяна протилежний,тобто дананерівністьрівносильнанерівності .Розв’язуючицю квадратнунерівність,дістаємо: .

Розв’язуючискладнішіпоказниковінерівності,бажано звернутиувагу учнівна доцільністьвикористаннятієї самоїсхеми розв’язуваннянерівностей,що й для показниковихрівнянь.

Бажанопоказати учнямможливістьзастосуванняузагальненогометоду інтервалівдо розв’язуванняпоказниковихнерівностей.Доцільно нагадативідому їм зкурсу 10-го класусхему розв’язаннянерівностейвиду

( де - неперервнана кожномуінтервалі своєїобласті визначенняфункція) методомінтервалів,а саме:

1. Знаходимообласть визначеннянерівності.

2. Знаходимо нуліфункції.

3. Позначаємонулі функціїна областівизначенняі знаходимо знак у кожномуінтервалі, наякі розбиваєтьсяобласть визначення.

Приклад: Розв’язатинерівність

Розв’язання.Перенесемовсі члени нерівностів ліву частинуі розв’яжемонерівність

методом інтервалів.

1. Областьвизначення:

   -будь-яке число.

2. Нулі функції:

   

або

або

або .

3. Позначимо нуліфункції наобласті визначенняі знайдемознаки лівоїчастини нерівностів кожному інтервалі.

-+-

02

Відповідь:

.

Іноді під часрозв’язування складнішихнерівностейвикористовуютьвластивостімонотонностіфункцій.

Приклад: Розв’язантинерівность

Розв’язання: Функція

зростає намножині всіхдійсних чиселяк сума зростаючихфункцій. Знайдемокорінь рівняння .За теоремоюпро корінь церівняння маєєдиний корінь.Легко бачити,що - корінь цьогорівняння. Враховуючизростанняфункції ,дістаємо, щопри , ,де ;при , ,де .Отже, розв’язкомданої нерівностібуде .

Логарифмічнірівняння інерівності.

При введенніпоняття логарифмуі властивостейлогарифмічноїфункції необхіднозначну увагуприділитивмінню застосовувати основну логарифмічнутотожність,а також формулупереходу відоднієї основилогарифма доіншої.

Приступаючидо розв’язуваннялогарифмічних рівнянь, требавраховувати,що всі властивостілогарифмічноїфункції булидоведені заумови, що вирази, які стоять підзнаком логарифма,додатні.

Наприклад,

тільки при і .

Якщо ж урівнянні абонерівностізнаходитьсявираз-добуток

,то він будедодатнім нетільки тоді,коли і додатні, алей тоді,, коли та будуть одночасновід’ємні.У цьому випадкуформулу «логарифмдобутку» невикористовують,бо можливавтрата коренів.

Структурарівносильнихперетвореньрівнянь абонерівностей.

1. Область визначення.

2. Обмеження, якінеобхідні длягарантуванняпрямих і оберненихперетворень.

3. Відповіднівластивостічислових рівностейабо нерівностейабо властивостівідповіднихфункцій.

Як бачимо, щобвиконуваніперетвореннябули рівносильні,необхідно, щобвиконувалисяі оберненіперетворенняна областівизначенняданого рівняння.

Бажано по можливостіне використовуватиформули логарифмуваннядобутку, частки,і парного степеня,якщо це призводитьдо звуженняобластівизначеннярівняння, акористуватисяцими формуламитільки справаналіво, що приводитьдо розширенняобласті визначення(в цьому випадкумодлива хібащо поява сторонніхкоренів, алеїх можна відсіятиперевіркою).

Приклад: Розв’язатирівняння

(1).

Розв’язання:На областівизначеннярівняння

це рівняннярівносильнерівнянню (2)

яке в свою чергурівносильнерівнянню

(3)

Усі перетвореннярівносильні,бо на областівизначенняданого рівнянняможна виконуватиперетворення(1) - (2) - (3) і оберненіперетворення(3) - (2) - (1). Скоротившив рівнянні (3)дріб на

( на областівизначення),дістанеморівносильнерівняння: (4).

Це рівнянняза означенням логарифмарівносильнерівнянню

(5).

Звідси

.Оскільки цізначення входятьв область визначеннярівняння ініяких додатковихобмежень у насне було, то - корені даногорівняння.

Слід звернутиувагу учнівна те, що прирозв’язуваннілогарифмічнихрівнянь можнакористуватисяне тількирівносильнимиперетвореннями,але й діставатирівняння-наслідки(коли ми гарантуємотільки пряміперетворенняі не гарантуємообернені). Учніповинні розуміти,що при використаннірівнянь-наслідківможлива появастороніх коренівьі тому в цьомувипадку перевіркає складовоючастиноюрозв’язування рівняння.

Слід звернутиувагу учнівна те, що певноїакуратностіпотребує використанняформули переходувід однієїоснови до іншої:

де

, , , .

Якщо

і -числа, що недорівнюютьодиниці, то цюформулу можназастосовуватиі зліва направоі справа наліво( при ),тобто використанняцієї формулипри розв’язуваннірівнянь абонерівностейприводить дорівняння(нерівності),рівносильногоданому. Якщож новою основоюлогарифма євираз із змінною,то може виявитися,що цей виразна областівизначенняпочатковогорівняннядорівнюватимеодиниці, а післязастосуванняформули переходувід однієїоснови до іншоївираз, що стоїтьв основі логарифма,вже недорівнюватимеодиниці. В цьомувипадку застосуванняформули переходувід однієїоснови до іншоїможе привестидо втрати тихкоренів початковогорівняння, дляяких нова основалогарифмадорівнює одиниці.

Підсумовуючиці міркування,робимо висновки:якщо при переходівід однієїоснови логарифмівдо іншої новаоснова - число(звичайно більшевід нуля і недорівнює одиниці),то дістанеморівняння, рівносильнеданому на йогообласті визначення.

Якщо доводитьсявикористовувативираз із змінноюяк нову основулогарифма, тощоб не втратитикорені рівняння,необхіднорозглядатидва випадки:

1. вираз, якийбереться якнова основа,дорівнює одиниці(якщо це можливона областівизначеннярозглядуваногорівняння), іперевіряємо,чи будуть цізначення змінної,при яких вираздорівнює одиниці,коренями даногорівняння;

2. нова основане дорівнюєодиниці - в цьомувипадку користуємосяформулою переходувід однієїоснови логарифмадо іншої.

Бажано звернутиувагу учнівна те, що деякілогарифмічнірівняння, якізведені довигляду

можна розв’язатиза допомогоюрозкладаннялівої частинирівняння намножники.

Досить частозустрічаютьсярівняння, членияких є степенями,в яких основаі показникстепеня - функціївід змінноївеличини.

Приклад:Розв’язатирівняння

.

Розв’язання:Область визначення:

.Тоді ліва іправа частиницього рівняннядодатні наобласті визначення.Прологарифмуємообидві частиниза основою 4:

.

Дістаємо рівняння,рівносильнеданому на областівизначення:

.

Позначимо

і, врахувавши,що ,маємо:

Звідсі

або .

Тоді

або .Отже, або .

Оскількиці значеннявходять дообласті визначення,то

і -корені даногорівняння.

Підводячипідсумкирозв’язуванняцього рівняння,бажано звернутиувагу учнівна те, що в цьомурівнянні (вйого лівійчастині) зміннавходить і воснову, і в показникстепеня. Доцільнозафіксуватив зошитах учнів,що рівняння,в якому зміннавходить і воснову, і в показникстепеня, найчастішерозв’язуєтьсялогарифмуваннямобох частинрівняння.

Слово «найчастіше»присутне внаведеномуправилі в зв’язкуз рівняннямитипу:

.

На його областівизначення

це рівняннярівносильнерівнянню: ,яке за основноюлогарифмічноютотожністюрівносильне(на областівизначення)рівнянню .

Звідси

(не входить дообласті визначення)або (входить дообласті визначенняі є коренем).

Після відпрацюванняцього правилуна прикладахдоцільнозапропонуватиучням більшзагальнийпідхід (він, якправило, використовуєтьсятоді, коли немаєможливостівзяти логарифмвід обох частинрівняння) - перехідвід степеня,в основі якогостоїть виразіз змінною, достепеня з числовоюосновою

за формулою

,де , .

Зауваження.Очевидно, щопри

цю формулуможна застосовувати як зліва направо,так справаналіво. Якщо ми використаємоцю формулу прирозв’язуваннірівняння, наобласті визначенняякого ,то ми гарантуємоі прямі, і оберненіперетворення,тобто гарантуєморівносильністьутвореногорівняння наобласті визначенняданого.

Необхіднозвернути увагуучнів на те, щоідея логарифмуванняобох частинрівняння (абонерівності)є досить плідноюі може використовуватисьдля розв’язуваннярізних типіврівнянь (нерівностей),починаючи знайпростійшихпоказниковихтипу

(за означеннямлогарифма абопрологарифмувавшиобидві частиниза основою 2,маємо: ,тобто ).

Враховуючите, що в останні40-50 років у старшихкласах середньоїшколи реалізуєтьсяфункціональнийпідхід до рівняння,будемо вважати,що степені,в яких і основа,і показникстепеня є функціямивідзміноївеличини, означенітільки для тихзначень змінних,при яких їхоснови додатні(якщо всамій умовізадачі не сказанопротилежне).

Логарифмічнінерівності.

Розв’язуючилогарифмічнінерівності,доцільно використатизагальну схемурівносильнихперетвореньнерівностей.Ця схема інодідає надмірнусистему обмежень,яку можна суттєвоспростити. Длярівносильностірівнянь надмірністьсистеми обмеженьмайже не впливаєна об’ємроботи щодорозв’язування цих рівнянь- можна не знаходитивідповіднізначення змінноїз цих обмежень,а тільки перевірятидля кожногознайденогокореня. Розв’язкомнерівності,як правило, єінтервал (абокілька інтервалів),які містятьнескінченумножину чисел,а всі їх перевіритинеможливо. Отжедля розв’язуваннянерівностідоведетьсязнаходитивідповіднізначення змінноїз усіх записанихобмежень, ітому чим меншезалишитьсяцих обмежень,тим краще. Бажанозапропонуватиучням не знаходитиокремо областьвизначеннянерівності,а спочаткузаписуватиповну системуобмежень ірівносильнунерівность,а потім намагатисяспороститиутворену систему.

Приклад:Розв’язати нерівность

Розв’язання:Оскільки

,то .Тоді функція -спадна,і наша нерівностьрівносильнасистемі:

Нерівність(2) є наслідкомнерівностєй(3) і (1)

.Отже, ця системарівносильнасистемі, щоскладаєтьсятільки з нерівностей(1) і (3), тобто

Розв’язуючиокремо нерівності(1) і (3), дістаємо:для

(1) -

;для (3) - .Тоді загальнимрозв’язкомсистеми буде .

Слід звернутиувагу учнівна те, що прирозв’язуваннілогарифмічнихнерівностейможна використовувативсі ті прийоми,які використовувалисяпри розв’язуваннілогарифмічнихрівнянь.

Розв’язування деяких нерівностейза допомогоюрівносильнихперетвореньдосить громіздке,і тому використовуємодля розв’язуваннядеяких нерівностейузагальненийметод інтервалів.

Приклад:Розв’язати нерівность.

Розв’язання:Методомінтервалів.

1. Областьвизначення.

тобто

2. Корені

   .Це рівнянняна областівизначеннярівносильнерівнянню
   .Звідсі
   або
   (входять дообласті визначення).

3. Позначимокорені на областівизначення(на малюнку) ізнайдемо знаку кожному інтервалі,на які розбиваєтьсяобласть визначення.

+ - + - - +

0

1 2 3

Відповідь:

82