РЕШЕНИЕ: всего гвоздей 24 штуки,
за все гвозди купец должен заплатить 1 + 2 + 2*2 + 2*2*2+ +...+2*2*...*2 полушек
23 раза и того получаем 41943 рубля и 15 полушек.
7. "П О Л Т О Р А Ж Д Ы П О Л Т О Р А ".
"Купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяжды полтретьи гривны: сколько дати за полдевятажды полдевята аршина"?
В этой задаче "полторажды полтора" означает
3/2 * 3/2 = 9/4 ,
"полтретьяжды полтретьи" означает
2.5 * 2.5 = 25/4
"полдевятажды полдевята" -
8.5 * 8.5 = 289/4 .
Следовательно, текст задачи следует понимать так:
Куплено 9/4 аршина сукна и за них уплачено 25/4 гривны.
Сколько надо уплатить за 289/4 аршина сукна?
РЕШЕНИЕ: поскольку за 9/4 аршина уплачено 25/4 гривны, то 9 аршин стоят 25 гривен,а, значит, один аршин стоит 25/9 гривны, то 289/4 аршина сукна стоят 289/4 * 25/9 = 200 25/36 гривны
8. П О К У П К А П Т И Ц.
Хозяин послал работника на базар купить 20 птиц: гусей, уток и малых чирков. Он дал работнику 16 алтын. Гусей велел покупать по 3 копейки за штуку, уток по копейке, а малых чирков по два за копейку. Сколько гусей, сколько уток и сколько чирков купил работник?
РЕШЕНИЕ: Работник отправившись на базар, имел 16 алтын, что составляет 48 копеек, так как за гуся велено платить по 3 копей-
ки, то взятых денег хватило на 16 гусей, но тогда нельзя будет
купить ни уток, ни чирков, итак, работник купил не более 15 гусей.
Допустим, что работник уже купил чирков и уток, если бы гуси стоили по 1 копейке, то за все покупки работник заплатил бы менее 20 копеек и у него осталось бы более 28 копеек, эти оставшиеся копейки работник должен фактически потратить на гусей,доплатив за каждого гуся по 2 копейки, по условию работник израсходовал все деньги, значит, он купил более 14 Гусей, потратив на них 45 копеек.
Итак, работник протратил 3 копейки на покупку 5 птиц - уток и чирков, если бы чирки стоили по 1 копейке за штуку, то покупка обошлась бы в 5 копеек, лишние 2 копейки возникли потому, что пришлось бы переплатить за каждого чирка по половине копейки, поэтому было куплено 4 чирка и, значит, 1 утка.
Значит, работник купил 15 гусей, 1 утку и 4 чирка.
9. Х О З Я И Н И Р А Б О Т Н И К.
Хозяин нанял работника с таким условием: за каждый рабочий день будет кому платить по 20 копеек, а за каждый нерабочий день
- вычитать 30 копеек, по прошествии 60 дней работник ничего не заработал. Сколько было рабочих дней?
РЕШЕНИЕ: если бы работник работал без прогулов, то за 60 дней он заработал бы 20 * 60 = 1200 копеек, за каждый нерабочий день у него вычитают 30 копеек и он не зарабатывает 20 копеек, то есть за каждый прогул он теряет 20 + 30 = 50 копеек. Поскольку за 60 дней он ничего не заработал, то потеря за все нерабочие дни составила 1200 копеек, то есть число нерабочих дней равно 1200 :
50 = 24 дня, количество рабочих дней поэтому равно 60 - 24 = 36 дням.
10. С К О Л Ь К О У К О Г О Д Е Н Е Г ?
Три человека собрались покупать товару на 54 рубля, и говорит первый второму: "Дай мне из своих денег 1/4 часть, и я один заплачу за товар". А второй обращается к третьему: "Дай мне 1/3 часть твоих денег, тогда и я один смогу заплатить за товар".Также и третий человек обратился к первому, но попросил 1/2 часть его денег. Сколько у кого денег?
РЕШЕНИЕ: Допустим, что у первого человека 50 рублей, тогда четвертая часть денег второго равна 4 рублям и ,значит, у второго 16 рублей, но тогда третья часть денег третьего человека равна 54
- 16 = 38 рублей и, значит у третьего человека 38 * 3 = 114 рублей, если он получит половину денег первого человека, то у него станет 114 + 25 = 139 рублей, что на 139 - 54 = 85 рублей больше стоимости покупки.
Положим теперь, что у первого человека 46 рублей, тогда у второго человека 4 * ( 54 - 46 ) = 32 рубля, у третьего 3 * ( 54
- 32 ) = 66 рублей, после того как третий получит половину денег первого человека, у него станет 66 + 23 = 89 рублей, что на 89 - 54 = 35 рублей больше стоимости покупки.
С помощью "фальшивого" правила находим:
50 85 85 - 35 = 50, 85 * 46 - 50 * 35 = 2160
46 35 2160 : 50 = 43.2
Таким образом у первого человека было 43 рубля и 20 копеек, тогда у второго также будет 43.2 рублей, а у третьего 32.4 рублей.
11. З А Д У М А Й Ч И С Л О.
Найти объяснение для следующей математической забавы :
Будем придерживаться следующей нумерации дней недели: воскресенье - первый день, понедельник - второй день, и так
далее.
Пусть кто- нибудь из собравшихся задумает какой-нибудь день недели, а затем про себя выполнит действия:
1) умножит номер задуманного дня на 2;
2) прибавит к произведению 5;
3) умножит сумму на 5;
4) припишет к полученному числу справа ноль.
Ведущий, осведомившись о результате, отнимает от названного ему числа 250, полученная разность разность всегда выражается трехзначным числом, две последние цифры которого - нули, цифра сотен позволяет назвать задуманный день недели.
РЕШЕНИЕ: какой бы день недели не был задуман, ему соответствует однозначное число, обозначим его через j, выполним над числом j указанные действия, записывая решения в виде числовой формулы:
1) j * 2;
2) j * 2 + 5;
3) ( j * 2 + 5 ) * 5;
4) ( ( j * 2 + 5 ) * 5 ) ) * 10;
так как умножение числа на 10 равносильно приписыванию нуля в
конце этого числа, но (( j * 2 + 5) * 5)*10 = 100 * j + 250.
Вычитая из этого числа 250, получаем 100 * j,
где j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - есть номер задуманного числа
12. Д В Е Н А Д Ц А Т Ь Ч Е Л О В Е К.
Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина - по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?
РЕШЕНИЕ: подумаем, как могут распределиться 12 хлебов между мужчинами, женщинами и детьми, попробуем мысленно распределить хлеба между ними, сначала дадим всем по половине хлеба, при этом будет роздано 6 хлебов, чтобы удовлетворить условию задачи, нужно раздать оставшиеся 6 хлебов мужчинам, а затем взять у каждого из детей по четверти хлеба и также распределить между мужчин, каждому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба, шесть хлебов по полтора хлеба можно распределить между четырьмя мужчинами, после чего каждый из них будет нести по два хлеба, отсюда следует, что мужчин не менее 5, иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому было бы нести, но если бы мужчин было 6, то они сами несли бы весь хлеб, а женщинам и детям ничего бы не осталось, итак, имеется всего 5 мужчин, поэтому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба, и именно эти полтора хлеба нужно собрать по четверти у каждого из детей. Так как полтора хлеба состоят из шести четвертей, то детей имеется всего шестеро и, значит, количество женщин равно 12 - 5 - 6 = 1. Следовательно,хлеба несли 5 мужчин, одна женщина и 6 детей.
. Д В А В О И Н А.
Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый день 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого, через сколько дней второй воин настигнет первого?
РЕШЕНИЕ: В первый день второй воин отстает на 12 - 1 = 11 верст, во второй еще на 12 - 2 = 10 верст, в третий еще на 12 - 3 = 9 верст и так далее, на двенадцатый день отставание составит ( 11 + 10 + 9 +...+ 2 + 1 + 0 ) верст, а затем расстояние между ними начнет сокращаться, в 13-й день на 1 версту 13 - 12 = 1, в 14-й день еще на 14 - 12 = 2 версты, в 15-Й день еще на 15 - 12 = 3 версты и наконец в 23-й день на 23 - 12 = 11 верст, на 23-й день расстояние между ними уменьшится на ( 1 + 2 + ... + 10 + 11 ) верст, это значит, что второй воин по прошествии 23 дней достигнет первого.
14. С К О Л Ь К О Я И Ц В Л У К О Ш К Е.
Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц, торговцы его спросили: "Много ли у тебя в том лукошке яиц?", крестьянин
молвил им так: " Я всего не помню на перечень, сколько в том
лукошке яиц, только помню: перекладывал я те яица в лукошко по
2 яица, то одно лишнее осталось на земле; и я клал в лукошко по
3 яица, то одно же яицо осталось; и я клал по 4 яица, то одно же яицо осталось; и я клал по 5 яиц, то одно яицо же яицо осталось; и я их клал по 6 яиц, то одно же яицо осталось; и я их клал по 7 яиц, то ни одного не осталось, сочти мне, сколько в том лукошке
яиц было?"
РЕШЕНИЕ: задача сводится к нахождению такого числа, которое делится нацело на 7, а при делении на 2,3,4,5,6 дает в остатке 1, если искомое число уменьшить на 1, то получится число делящееся на 2,3,4,5,6 без остатка.
Наименьшее число, которое делится без остатка на числа 2,3,4,5,6 есть 60, нужно значит найти такое число, которое делилось бы на 7 нацело и было бы вместе с тем на 1 больше числа делящегося на 60, рассмотрим числа 61,121,181, 241, 301 и так далее, Первое из написанных чисел, делящееся на 7, есть 301, кроме этого числа, условию задачи удовлетворяют 721, 1141, 1561 и так далее, ряд чисел, удовлетворяющих условию задачи, бесконечен. Каждое из них получается прибавлением к предыдущему 420 - наименьшего числа, делящегося на 4,5,6,7.
15. Д В И Ж Е Н И Е П А Л Ь Ц А.
Это один из способов помочь памяти с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1 , второй за ним- цифрой 2, затем 3,4, ... до десятого пальца, если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается 9; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.
ПРИМЕР: Пусть надо найти произведение 4 * 9
Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо, тогда до поднятого пальца находятся три пальца, а после поднятого - 6 пальцев, следовательно результат
произведения равен 36.
РЕШЕНИЕ: проще всего убедиться в справедливости этого правила, поднимая по очереди пальцы от первого до десятого и сравнивая результат "ручного умножения" с таблицей умножения, а вот доказательство, если поднимаемый палец имеет номер n, то слева от него лежит ( n - 1 ) палец, а справа ( 10 - n ). Следовательно, получаем тождество: