Векторные многоугольники в физических задачах (стр. 2 из 4)
1) изобразить вектор графически в избранном масштабе; указать на рисунке начало координат и координатную ось;
2) спроецировать на ось начальную и конечную точки вектора;
3) найти длину отрезка между проекциями этих точек на ось; если можно, выразить длину отрезка через модуль вектора;
4) обозначить наименьший угол между положительным направлением оси и направлением вектора; определить этот угол;
5) если указанный угол острый, то приписать проекции знак “+", если нет, то приписать проекции знак “-".
6) записать проекцию вектора: длину отрезка, определенную в п.3, со знаком, установленным в п.5 (или: вычислить проекцию вектора по формуле ax = |a|×cosa, если известен |a|).
Таким образом, при решении задач школьного курса по кинематике и динамике применяется координатный способ, предполагающий использование, по крайней мере, двух алгоритмов.
Предлагаемый в последующих разделах данной работы векторный (геометрический) способ решения в ряде случаев имеет преимущество перед координатным. Решение задач с использованием векторного способа предполагает построение векторных многоугольников скоростей, перемещений, ускорений, сил, импульсов. Решение векторных многоугольников (т.е. таких, сторонами которых являются векторы) производится по тем же правилам, что и решение обычных многоугольников. При этом, если получившаяся при построении фигура является косоугольным треугольником, ее решение сводится к применению теоремы синусов и теоремы косинусов. Если же треугольник получается прямоугольным, решение упрощается (используются соотношения сторон и углов прямоугольного треугольника, теорема Пифагора). Таким образом, при применении векторных многоугольников для решения некоторых задач механики отпадает необходимость в проекцировании векторных величин на оси координат, чем, в первую очередь, и упрощается решение конкретной задачи.
2. О векторных способах решения задач механики
2.1 Векторные треугольники скоростей и перемещений в задачах
Кинематика изучает „геометрию” движения - математическое описание движения без анализа причин, его вызывающих. Другими словами, без выяснения вопроса, почему рассматриваемое движение происходит именно так, а не иначе, устанавливается математическое соотношение между его различными характеристиками, такими как перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение, время движения.
При движении тела (материальной точки) его перемещение можно рассматривать как геометрическую сумму нескольких последовательных перемещений, например,
. (2.1 1)Соответствующий (2.1 1) многоугольник (треугольник) перемещений представлен на рис.1. Изменение скорости тела
; (2.1 2)этому выражению соответствует треугольник скоростей (рис.2).
Если тело движется с постоянным по величине и направлению ускорением
, то выражение для скорости в любой момент tвремени имеет вид: 
; (2.1 3)где
при t = 0. В общем случае направления векторов начальной скорости 
и ускорения могут не совпадать. Треугольник скоростей, соответствующий выражению (2.1 3), приведен на рис.3. Вектор перемещения при этом определяется следующим образом: 
. (2.1 4) 
Рисунок 1. Рисунок 2. Рисунок 3.
Векторные треугольники перемещений представлены на рис.4 - 6.
Рисунок 4. Рисунок 5. Рисунок 6.
Наиболее эффективно применение векторного способа, основанного на построении векторных треугольников скоростей и перемещений, в тех случаях, когда известны направления векторов ускорения и одной из скоростей (например, начальной). Это относится, в частности, к задачам о движении тепа под действием сипы тяжести.
При движении двух тел (материальных точек), зная их перемещения
и 
относительно некоторой системы отсчета, можно вычислить перемещение второго тепа относительно первого: 
. (2.1 5)Разность скоростей теп (относительная скорость) определяется при этом выражением:
, (2.1 6)
соответствующим закону сложения скоростей Галилея:
, (2.1 7)где
и v2 - скорости первого и второго теп в неподвижной системе отсчета ("неподвижность" системы относительна), 
- скорость второго тела относительно первого. Векторные треугольник и параллелограммы скоростей, соответствующие формулам (2.1 6) и (2.1 7), представлены на рисунке 7. 
а) б) в) 
Рисунок 7.
Заметим, что в задачах об одновременном движении двух или нескольких тел целесообразно, как правило, связывать систему отсчета с одним из этих тел и использовать понятия относительных скорости и перемещения.
2.2 Векторные многоугольники сил в задачах
Основное уравнение динамики материальной точки является математическим выражением второго закона Ньютона и имеет вид:
, (2.2.1)где
- масса материальной точки, - ее ускорение, 
- действующая на материальную точку сила (или равнодействующая нескольких сил, определяемая их геометрической суммой). Таким образом, при наличии нескольких складываемых сил можно построить их векторный многоугольник. При этом ускорение равно нулю, если равнодействующая сила равна нулю.