Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии (стр. 11 из 11)

Работы Эйлера дали толчок к постановке и решению различных проблем, способствовали развитию многих разделов математики. Математики последующих поколений учились у Эйлера. Например, французский ученый П. С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он учитель всех нас».

В 1752 году Эйлером была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Она была помещена в работе «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

Рассмотрим различные доказательства этой теоремы. В дальнейшем данный материал можно использовать как для факультативных и кружковых занятий, так и для самостоятельного изучения учениками.

Прежде чем рассматривать доказательство, обратимся к следующей таблице (Г- число граней многогранника, В – вершин, Р - ребер ):

Название многогранника	Г	В	Р
Тетраэдр	4	4	6
Четырехугольная призма	6	8	12
Семиугольная пирамида	8	8	14
Пятиугольная бипирамида	10	7	15
Правильный додекаэдр	12	20	30

Теперь найдем сумму Г+В-Р для каждого из представленных в таблице многогранников. Во всех случаях получилось: Г+В-Р=2. Справедливо это только для выбранных многогранников? Оказывается это соотношение справедливо для произвольного выпуклого многогранника. Это свойство впервые было подмечено и затем доказано Л. Эйлером.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2 (*), где Г – число граней, В – число вершин и Р – число ребер данного многогранника.

Доказательство. Существует множество различных доказательств теоремы Эйлера. Предлагается рассмотреть три наиболее интересных из них.

1)

Наиболее распространенный способ, берущий свое начало в работе самого Эйлера и развитый в работе французского математика Огюста Коши (1789 - 1857) «Исследование о многогранниках» (1811 г.), заключается в следующем.

Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность «растянем» на плоскость. Тогда на плоскости получается сетка (рис 3), содержащая Г′=Г-1 областей (которые по-прежнему назовем гранями), В вершин и Р ребер (которые могут искривляться).

Для данной сетки нужно доказать соотношение

Г′+В-Р=1, (**)

тогда для многогранника будет справедливо соотношение (*).

Докажем, что соотношение (**) не меняется, если в сетке провести какую-либо диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребро, т.е.

(Г′+1)+В-(Р+1)=Г′+В-Р.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники (на рисунке 3 диагонали изображены пунктирами), и докажем соотношение (**) методом математической индукции по числу n треугольников в сетке.

Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда Г′=1, В=3, Р=3 и выполняется соотношение(**). Пусть теперь соотношение (**) имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить следующими способами:

1. как ∆ABC(рис 3). Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно,

(Г′+1)+(В+1)-(Р+2)=Г′+В-Р;

2. Как ∆MNL. Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребер, и, следовательно,

(Г′+1)+В-(Р+1)=Г′+В-Р.

Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение (**) не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение (**) имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение (*). Такое доказательство предложено в [18].

2)Способ доказательства теоремы Эйлера, связанный с нахождением суммы плоских углов выпуклого многогранника. Обозначим ее ∑_а. Напомним, что плоским углом многогранника являются внутренние плоские углы его граней.

Например, найдем ∑_а для таких многогранников:

а) тетраэдр имеет 4 грани – все треугольники. Таким образом, ∑_а

= 4π;

б) куб имеет 6 граней – все квадраты. Таким образом, ∑_а = 6∙π = 12π;

в) возьмем теперь произвольную пятиугольную призму. У нее две грани – пятиугольники и пять граней – параллелограммы. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 3π. (Напомним, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна π (n-2).) Сумма углов параллелограмма равна 2π. Таким образом,

S₁ = 2∙3π+5∙2π=16π.

Итак, для нахождения ∑_а мы вычисляли сначала сумму углов, принадлежащих каждой грани. Воспользуемся этим приемом и в общем случае.

Введем следующие обозначения: S₁, S₂, S₃, …, S_r– число сторон 1, 2, 3-й и т.д. последней грани многогранника. Тогда

∑_а = π (S₁-2)+ π (S₂-2)+…+ π (S_r-2) = π (S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r - 2Г ).

Далее найдем общее число сторон всех граней многогранника. ОноравноS₁ +S₂ +S₃ +…+S_r . Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, имеем:

S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r = 2∙Р

(Напомним, что через Р мы обозначили число ребер данного многогранника.) Таким образом получаем:

∑_а = 2π (Р-Г). (1)

Сосчитаем теперь ∑_а другим способом. Для этого будем менять форму многогранника таким образом, чтобы у него не менялось число Г, В и Р. При этом может измениться каждый плоский угол в отдельности, но число ∑_а останется прежним. Выберем такое преобразование многогранника: примем одну из его граней за основание, расположим его горизонтально и «растянем» для того, чтобы на него можно было спроектировать Другие грани многогранника. Например, на рисунке 4.а показано, к чему мы придем в случае тетраэдра, а на рисунке 4.б – в случае куба. На рисунке 5 показан многогранник произвольного типа.

Заметим, что спроектированный многогранник представляет слившиеся две наложенные друг на друга многоугольные пластины с общим контуром, из которых верхняя разбита на (Г-1) многоугольник, а нижняя на грани не делится. Обозначим число сторон внешнего окаймляющего многоугольника через r. Теперь найдем ∑_а спроектированного многогранника. ∑_а состоит из следующих трех сумм:

1) Сумма углов нижней грани, у которой r сторон, равна π (r-2).

2) Сумма углов верхней пластины, вершинами которых являются вершины нижней грани, тоже равна π (r-2).

3) Сумма «внутренних» углов верхней пластины равна 2π (В-r), так как верхняя пластина имеет (В-r) внутренних вершин и все углы группируются около них. Итак,

∑_а = π (r-2) + π (r-2) + 2π (В-r) = 2πВ - 4π. (2)

Таким образом, сравнивая выражения (1) и (2), получаем:

Г + В – Р = 2,

что и требовалось доказать.

Этот способ доказательства теоремы Эйлера рассмотрен в книге американского математика и педагога Джорджа Пойа. [10]

3)Способ, предложенный математиком Л.Н. Бескиным. [5]

Здесь, как и в случае 1), вырезаем одну грань многогранника и оставшуюся поверхность растягиваем на плоскость. При этом на плоскости получается некоторая плоская фигура, например, изображенная на рисунке 6.

Представим себе, что эта плоская фигура изображает собой остров, который со всех сторон окружен морем и состоит из отдельных полей – граней, отделенных друг от друга и от воды плотинами – ребрами.

Начнем постепенно снимать плотины, чтобы вода попала на поля. Причем плотину можно снять только в том случае, если она граничит с водой лишь с одной стороны. Снимая очередную плотину, мы орошаем ровно одно поле. Покажем теперь, что число всех плотин (т.е. Р – число ребер взятого многогранника) равно сумме чисел снятых и оставшихся плотин.

Итак, число снятых плотин равно (Г-1). Действительно, снимая плотины, которые омывает вода только с одной стороны, мы оросили все поля (т.е. грани, число которых равно (Г-1), так как одна грань была сначала вырезана). На рисунке 6 номера 1, 2, 3, … , 15 показывают порядок снятия плотин. Число оставшихся плотин равно (В-1). Покажем это. На рисунке 7 наша система изображена после снятия всех возможных плотин. Больше ни одну плотину снять нельзя, так как они омываются с двух сторон. Далее никакие две вершины системы, например Bи D (рис. 7), не могут соединяться двумя путями, так как в противном случае получился бы замкнутый контур (рис 8), внутри которого не было бы воды, что противоречит тому, что все поля орошены водой. Отсюда следует, что в оставшейся системе плотин должен быть тупик, т.е. вершина, в которую ведет одно единственное ребро. Выберем какую-либо вершину, например вершину А (рис 7), и пойдем по пути, составленному из плотин, причем не будем проходить никакую вершину дважды. В конце концов, так как число вершин конечно, мы придем в тупик (например в вершину G на рис 7). Тогда отрезок-тупик, т.е. вершину G и прилежащее к ней ребро-плотину, отрежем. В оставшейся системе опять выберем какую-нибудь вершину, пойдем от нее и отрежем получившийся тупик. Поступая так, мы наконец придем к системе, в которой нет плотин, а имеется только одна вершина, которая останется после отрезания последнего тупика. Таким образом, число оставшихся плотин равно (В-1).

Окончательно получаем:

Р = ( Г - 1 ) + ( В – 1 ),

откуда

Г + В – Р = 2.

Теорема доказана.